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中考数学一轮复习核心考点精讲精练专题14 一次函数（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份中考数学一轮复习核心考点精讲精练专题14 一次函数（2份打包，原卷版+解析版），文件包含中考数学一轮复习核心考点精讲精练专题14一次函数原卷版doc、中考数学一轮复习核心考点精讲精练专题14一次函数解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
专题14 一次函数
一、一次函数图象与系数的关系
【核心考点精讲】
1．在一次函数中，当k＞0时，y随x增大而增大。
（1）当b＞0 时，直线交y轴于正半轴，过一、二、三象限。
（2）当b＜0 时，直线交y轴于负半轴，过一、三、四象限。
2．在一次函数中，当k＜0时，y随x增大而减小。
（1）当b＞0 时，直线交y轴于正半轴，过一、二、四象限。
（2）当b＜0 时，直线交y轴于负半轴，过二、三、四象限。
【热点题型精练】
1．（2022•邵阳中考）在直角坐标系中，已知点A（，m），点B（，n）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，则m，n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．m≤n
解：点A（，m），点B（，n）是直线y＝kx+b上的两点，且k＜0，
∴一次函数y随着x增大而减小，
∵，
∴m＜n，
答案：A．
2．（2022•安徽中考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
解：∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，
∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，
∴两直线的交点的横坐标为1，
若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；
若a＜0，则一次函数y＝ax+a2经过第一、二、四象限，y＝a2x+a经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1；
答案：D．
3．（2022•辽宁中考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ）
A．k1•k2＜0 B．k1+k2＜0 C．b1﹣b2＜0 D．b1•b2＜0
解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过一、二、三象限，
∴k1＞0，b1＞0，
∵一次函数y＝k2x+b2的图象过一、三、四象限，
∴k2＞0，b2＜0，
∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意；
B、k1+k2＞0，故B不符合题意；
C、b1﹣b2＞0，故C不符合题意；
D、b1•b2＜0，故D符合题意；
答案：D．
4．（2022•柳州中考）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
解：∵点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，
∴点P在直线y＝2上，如图所示，
当P为直线y＝2与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y＝2与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y2＝﹣x+3中令y＝2，则x＝1，
y1＝x+3中令y＝2，则x＝﹣1，
∴m的最大值为1，m的最小值为﹣1．
则m的最大值与最小值之差为：1﹣（﹣1）＝2．
答案：B．
5．（2022•宿迁中考）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 y＝﹣x+2（答案不唯一） ．
解：∵函数值y随自变量x增大而减小，且该函数图象经过点（0，2），
∴该函数为一次函数．
设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），则k＜0，b＝2．
取k＝﹣1，此时一次函数的表达式为y＝﹣x+2．
答案：y＝﹣x+2（答案不唯一）．
6．（2022•天津中考）若一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是 1（答案不唯一，满足b＞0即可） （写出一个即可）．
解：∵一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，
∴b＞0，
可取b＝1，
答案：1．（答案不唯一，满足b＞0即可）
7．（2022•盘锦中考）点A（x1，y1），B（x2，y2）在一次函数y＝（a﹣2）x+1的图象上，当x1＞x2时，y1＜y2，则a的取值范围是 a＜2 ．
解：∵当x1＞x2时，y1＜y2，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2，
答案：a＜2．
8．（2022•德阳中考）如图，已知点A（﹣2，3），B（2，1），直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0）．试探究：直线与线段AB有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是 k≤﹣3或k ．
解：当k＜0时，
∵直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0），A（﹣2，3），
∴﹣2k+k＝3，
∴k＝﹣3；
∴k≤﹣3；
当k＞0时，
∵直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0），B（2，1），
∴2k+k＝1，
∴k．
∴k；
综上，直线与线段AB有交点时，猜想k的取值范围是：k≤﹣3或k．
答案：k≤﹣3或k．
二、一次函数图象上点的坐标特征
【核心考点精讲】
一次函数的图象是一条直线，它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b），直线上任意一点的坐标都满足函数关系式。
【热点题型精练】
9．（2022•株洲中考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（ ）
A．（0，﹣1） B．（，0） C．（，0） D．（0，1）
解：∵当x＝0时，y＝1，
∴一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（0，1），
答案：D．
10．（2022•绍兴中考）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）
A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0
C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0
解：∵直线y＝﹣2x+3，
∴y随x的增大而减小，当y＝0时，x＝1.5，
∵（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，
∴若x1x2＞0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意；
若x1x3＜0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意；
若x2x3＞0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意；
若x2x3＜0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2＞0，故选项D符合题意；
答案：D．
11．（2022•陕西中考）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），
∴原方程组的解为，
答案：B．
12．（2022•宁夏中考）如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应点E恰好落在直线y＝2x﹣3上，则点A移动的距离是 3 ．
解：当y＝2x﹣3＝3时，x＝3，
∴点E的坐标为（3，3），
∴△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，
∴点A与其对应点间的距离为3．
答案：3．
13．（2022•辽宁中考）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为 2 ．
解：当x＝0时，y＝2×0+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），OB＝4．
∵点D为OB的中点，
∴ODOB4＝2．
∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，
∴DE∥x轴．
当y＝2时，2x+4＝2，
解得：x＝﹣1，
∴点E的坐标为（﹣1，2），
∴DE＝1，
∴OC＝1，
∴▱OCDE的面积＝OC•OD＝1×2＝2．
答案：2．
14．（2022•菏泽中考）如图，在第一象限内的直线l：yx上取点A1，使OA1＝1，以OA1为边作等边△OA1B1，交x轴于点B1；过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2；过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，以OA3为边作等边△OA3B3，交x轴于点B3；……，依次类推，则点A2022的横坐标为 22020 ．
解：∵OA1＝1，△OA1B1是等边三角形，
∴OB1＝OA1＝1，
∴A1的横坐标为，
∵OB1＝1，
∴A2的横坐标为1，
∵过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2，过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，
∴OB2＝2OB1＝2，
∴A3的横坐标为2，
∴依此类推：An的坐标为：（2n﹣2，2n﹣2），
∴A2022的横坐标为22020，
答案：22020．
三、一次函数图象与几何变换
【核心考点精讲】
1．一次函数图象的平移
直线可以看做由直线平移|b|个单位得到的。b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移。
（1）如果两条直线平行，那么两条直线的斜率k相等，反过来，如果两条直线的斜率k相等，那么两条直线平行。
（2）平移规律：上加下减，左加右减。
2．一次函数图象的对称
（1）直线关于x轴对称的另一条直线的解析式为。
推导过程：x不变，y变成﹣y，即 。（横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
（2）直线关于y轴对称的另一条直线的解析式为。
推导过程：y不变，x变成﹣x，即 。（纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
（3）直线关于原点对称的另一条直线的解析式为。
推导过程：x和y都变成相反数，即 。（横、纵坐标都变成原来的相反数）
3．一次函数图象的旋转
（1）直线旋转90°所得另一条直线与原直线垂直，斜率乘积为﹣1，另一条直线的解析式为。
（2）直线旋转其他特殊角，例如30°、45°、60°，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理求出旋转后的坐标，或者直接利用三角函数求解。
（3）如果两条直线相交，那么交点坐标同时适用于两条直线。
【热点题型精练】
15．（2022•广安中考）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1
解：将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式为y＝3x+2﹣3＝3x﹣1，
答案：D．
16．（2022•西安模拟）在平面直角坐标系中，将一次函数yx的图象沿x轴向左平移m（m≥0）个单位后经过原点O，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．
解：将一次函数yx的图象沿x轴向左平移m（m≥0）个单位后得到y（x+m），
把（0，0）代入，得到：0m，
解得m．
答案：D．
17．（2022•苏州模拟）在直角坐标系中，一直线a向下平移3个单位后所得直线b经过点A（0，3），将直线b绕点A顺时针旋转60°后所得直线经过点B（，0），则直线a的函数关系式为（ ）
A．yx B．yx C．yx+6 D．yx+6
解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（0，3），B（，0），
∴，解得，
∴直线AB的解析式为yx+3．
由题意，知直线yx+3绕点A逆时针旋转60°后得到直线b，则直线b经过A（0，3），（，0），
易求直线b的解析式为yx+3，
将直线b向上平移3个单位后得直线a，所以直线a的解析式为yx+3+3，即yx+6．
答案：C．
18．（2022•绵阳模拟）如图，一次函数y＝x的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A． B．3 C．2 D．
解：∵一次函数y＝x的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y，令y＝0，则x，
则A（，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴ACx，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BDx，
又BD＝AB+AD＝2+x，
∴2+xx，
解得：x1，
∴ACx（1），
答案：A．
19．（2022•兰州模拟）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y＝kx+3上，把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 y＝﹣5x+5 ．
解：∵点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，
∴P′（1，﹣2），
∵P′在直线y＝kx+3上，
∴﹣2＝k+3，
解得：k＝﹣5，
则y＝﹣5x+3，
∴把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为：y＝﹣5x+5．
答案：y＝﹣5x+5．
20．（2022•阜新中考）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．
（1）如图1，将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了 1 个单位长度；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 左 （填“左”或“右”）平移了 个单位长度；
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向 右 （填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向 左 （填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式 m＝n|k|（或：当k＞0时，m＝nk，当k＜0时，m＝﹣nk） ．
解：（1）∵将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x+2﹣1＝（x﹣1）+2，
∴相当于将它向右平移了1个单位长度，
答案：1；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度得到y＝﹣2x+4﹣1＝﹣2（x）+4，
∴相当于将它向左平移了个单位长度；
答案：左；；
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向右（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向左（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式m＝n|k|．
答案：右；左；m＝n|k|（或：当k＞0时，m＝nk，当k＜0时，m＝﹣nk）．
21．（2022•宁夏模拟）如图，将直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，﹣4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为 （，0） ．
解：如图所示，作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，
设直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线解析式为y＝﹣x+a，
把A（2，﹣4）代入可得，a＝﹣2，
∴平移后的直线为y＝﹣x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，即B（0，﹣2）
∴B'（0，2），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
把A（2，﹣4），B'（0，2）代入可得，
，解得，
∴直线AB'的解析式为y＝﹣3x+2，
令y＝0，则x，
∴P（，0），
答案：（，0）．
22．（2022•杭州模拟）已知一次函数y＝k（x﹣3）（k≠0）．
（1）求证：点（3，0）在该函数图象上．
（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点（4，﹣2），求k的值．
（3）若k＜0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数图象上，且y1＜y2，判断x1﹣x2＜0是否成立？请说明理由．
解：（1）在y＝k（x﹣3）中令x＝3，得y＝0，
∴点（3，0）在y＝k（x﹣3）图象上；
（2）一次函数y＝k（x﹣3）图象向上平移2个单位得y＝k（x﹣3）+2，
将（4，﹣2）代入得：﹣2＝k（4﹣3）+2，
解得k＝﹣4；
（3）x1﹣x2＜0不成立，理由如下：
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在y＝k（x﹣3）图象上，
∴y1＝k（x1﹣3），y2＝k（x2﹣3），
∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
∵y1＜y2，
∴y1﹣y2＜0，即k（x1﹣x2）＜0，
而k＜0，
∴x1﹣x2＞0，
∴x1﹣x2＜0不成立．
四、一次函数与一元一次不等式
【核心考点精讲】
1．一次函数与一元一次不等式的关系
一元一次不等式可以转化为或（a,b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作，当一次函数的值大于0或者小于0时，求相应自变量的取值范围。
2．用画函数图象的方法解不等式或
一次函数的图象与x轴的交点为（，0）
当k＞0时，不等式的解为x＞，不等式的解为x＜。
当k＜0时，不等式的解为x＜，不等式的解为x＞。
【热点题型精练】
23．（2022•南通中考）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1
解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），
所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，
答案：D．
24．（2022•遵义模拟）如图，直线y＝﹣x+2与y＝ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥3 C．x≤﹣1 D．x≤3
解：从图象得到，当x≤3时，y＝﹣x+2的图象对应的点在函数y＝ax+b的图象上面，
∴不等式﹣x+2≥ax+b的解集为x≤3．
答案：D．
25．（2022•鄂州中考）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线yx都经过点A（3，1），当kx+bx时，根据图象可知，x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
解：由图象可得，
当x＞3时，直线yx在一次函数y＝kx+b的上方，
∴当kx+bx时，x的取值范围是x＞3，
答案：A．
26．（2022•扬州中考）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为 x＜﹣1 ．
解：由图象可得，
当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，
答案：x＜﹣1．
27．（2022•徐州中考）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于kxb＞0的不等式的解集为 x＞3 ．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象过点（2，0），
∴2k+b＝0，
∴b＝﹣2k，
∴关于kxb＞0
∴kx（﹣2k）＝3k，
∵k＞0，
∴x＞3．
答案：x＞3．
28．（2022•襄阳中考）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y|x|的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ 1 ．
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
（2）探究函数性质
请写出函数y|x|的一条性质： y|x|的图象关于y轴对称（答案不唯一） ；
（3）运用函数图象及性质
①写出方程|x|＝5的解 x＝1或x＝﹣1 ；
②写出不等式|x|≤1的解集 x≤﹣2或x≥2 ．
解：（1）①列表：当x＝2时，a|2|＝1，
答案：1；
②描点，③连线如下：
（2）观察函数图象可得：y|x|的图象关于y轴对称，
答案：y|x|的图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）①观察函数图象可得：当y＝5时，x＝1或x＝﹣1，
∴|x|＝5的解是x＝1或x＝﹣1，
答案：x＝1或x＝﹣1；
②观察函数图象可得，当x≤﹣2或x≥2时，y≤1，
∴|x|≤1的解集是x≤﹣2或x≥2，
答案：x≤﹣2或x≥2．
五、一次函数的应用
【核心考点精讲】
1．分段函数问题
分段函数是在不同区间内存在不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。
2．函数的多变量问题
解决含有多变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数。
【热点题型精练】
29．（2022•攀枝花中考）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则以下结论错误的是（ ）
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h
C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有20km
解：由题意可知，
货车从西昌到雅安的速度为：240÷4＝60（km/h），故选项B不合题意；
轿车从西昌到雅安的速度为：（240﹣75）÷（3﹣1.5）＝110（km/h），故选项C不合题意；
轿车从西昌到雅安所用时间为：240÷110（小时），
3（小时），
设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：
，
解得x＝1.8，
∴货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；
轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有6040（km），故选项D符合题意．
答案：D．
30．（2022•毕节中考）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶1h到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示．请结合图象，判断以下说法正确的是（ ）
A．汽车在高速路上行驶了2.5h
B．汽车在高速路上行驶的路程是180km
C．汽车在高速路上行驶的平均速度是72km/h
D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40km/h
解：∵3.5h到达目的地，在乡村道路上行驶1h，
∴汽车下高速公路的时间是2.5h，
∴汽车在高速路上行驶了2.5﹣0.5＝2（h），故A错误，不符合题意；
由图象知：汽车在高速路上行驶的路程是180﹣30＝150（km），故B错误，不符合题意；
汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2＝75（km/h），故C错误，不符合题意；
汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220﹣180）÷1＝40（km/h），故D正确，符合题意；
答案：D．
31．（2022•绥化中考）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
解：由图象可得，
小王的速度为米/分钟，
爸爸的速度为：（米/分钟），
设小王出发m分钟两人第一次相遇，出发n分钟两人第二次相遇，
m＝（m﹣4）•，n[n﹣4﹣（12﹣4）÷2]＝a，
解得m＝6，n＝9，
n﹣m＝9﹣6＝3，
答案：C．
32．（2022•苏州中考）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 ．
解：设出水管每分钟排水x升．
由题意进水管每分钟进水10升，
则有80﹣5x＝20，
∴x＝12，
∵8分钟后的放水时间，8，
∴a，
答案：．
33．（2022•阜新中考）快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员的行驶速度是 35 km/h．
解：∵快递员始终匀速行驶，
∴快递员的行驶速度是35（km/h）．
答案：35．
34．（2022•深圳中考）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
解：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，
由题意得，，
解得x＝11，
经检验x＝11是原方程的解，且符合题意，
∴乙类型的笔记本单价为x+1＝11+1＝12（元），
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，
∵购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴100﹣a≤3a，且100﹣a≥0，
解得25≤a≤100，
根据题意得w＝11a+12（100﹣a）＝11a+1200﹣12a＝﹣a+1200，
∵﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝100时，w最小值为﹣100+1200＝1100（元），
答：最低费用为1100元．
35．（2022•南通中考）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．
（1）写出图中点B表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．
解：（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元；
（2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝kx（k≠0），
把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k，
解得k＝20，
∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝20x（0≤x≤120）；
当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝k′x（k′≠0），
把（30，750）代入解析式得：750＝30k′，
解得：k′＝25，
∴y乙＝25x；
当30≤x≤120时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝mx+n（m≠0），
则，
解得：，
∴y乙＝15x+300，
综上，乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙；
（3）①当0≤a≤30时，
根据题意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500，
解得：a＝60＞30，不合题意；
②当30＜a≤120时，
根据题意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a+300＝1500，
解得：a＝80，
综上，a的值为80．
36．（2022•苏州中考）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次
甲种水果质量
（单位：千克）
乙种水果质量
（单位：千克）
总费用
（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
解：（1）设甲两种水果的进价为每千克a元，乙两种水果的进价为每千克b元．
由题意，得，
解得，
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
（2）设第三次购进x千克甲种水果，则购进（200﹣x）千克乙种水果．
由题意，得12x+20（200﹣x）≤3360，
解得x≥80．
设获得的利润为w元，
由题意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，
∵﹣5＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝80时，w的值最大，最大值为﹣35m+1600，
由题意，得﹣35m+1600≥800，
解得m，
∴m的最大整数值为22．
专题14 一次函数
一、一次函数图象与系数的关系
【核心考点精讲】
1．在一次函数中，当k＞0时，y随x增大而增大。
（1）当b＞0 时，直线交y轴于正半轴，过一、二、三象限。
（2）当b＜0 时，直线交y轴于负半轴，过一、三、四象限。
2．在一次函数中，当k＜0时，y随x增大而减小。
（1）当b＞0 时，直线交y轴于正半轴，过一、二、四象限。
（2）当b＜0 时，直线交y轴于负半轴，过二、三、四象限。
【热点题型精练】
1．（2022•邵阳中考）在直角坐标系中，已知点A（，m），点B（，n）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，则m，n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．m≤n
解：点A（，m），点B（，n）是直线y＝kx+b上的两点，且k＜0，
∴一次函数y随着x增大而减小，
∵，
∴m＜n，
答案：A．
2．（2022•安徽中考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
解：∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，
∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，
∴两直线的交点的横坐标为1，
若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；
若a＜0，则一次函数y＝ax+a2经过第一、二、四象限，y＝a2x+a经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1；
答案：D．
3．（2022•辽宁中考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ）
A．k1•k2＜0 B．k1+k2＜0 C．b1﹣b2＜0 D．b1•b2＜0
解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过一、二、三象限，
∴k1＞0，b1＞0，
∵一次函数y＝k2x+b2的图象过一、三、四象限，
∴k2＞0，b2＜0，
∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意；
B、k1+k2＞0，故B不符合题意；
C、b1﹣b2＞0，故C不符合题意；
D、b1•b2＜0，故D符合题意；
答案：D．
4．（2022•柳州中考）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
解：∵点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，
∴点P在直线y＝2上，如图所示，
当P为直线y＝2与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y＝2与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y2＝﹣x+3中令y＝2，则x＝1，
y1＝x+3中令y＝2，则x＝﹣1，
∴m的最大值为1，m的最小值为﹣1．
则m的最大值与最小值之差为：1﹣（﹣1）＝2．
答案：B．
5．（2022•宿迁中考）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 y＝﹣x+2（答案不唯一） ．
解：∵函数值y随自变量x增大而减小，且该函数图象经过点（0，2），
∴该函数为一次函数．
设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），则k＜0，b＝2．
取k＝﹣1，此时一次函数的表达式为y＝﹣x+2．
答案：y＝﹣x+2（答案不唯一）．
6．（2022•天津中考）若一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是 1（答案不唯一，满足b＞0即可） （写出一个即可）．
解：∵一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，
∴b＞0，
可取b＝1，
答案：1．（答案不唯一，满足b＞0即可）
7．（2022•盘锦中考）点A（x1，y1），B（x2，y2）在一次函数y＝（a﹣2）x+1的图象上，当x1＞x2时，y1＜y2，则a的取值范围是 a＜2 ．
解：∵当x1＞x2时，y1＜y2，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2，
答案：a＜2．
8．（2022•德阳中考）如图，已知点A（﹣2，3），B（2，1），直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0）．试探究：直线与线段AB有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是 k≤﹣3或k ．
解：当k＜0时，
∵直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0），A（﹣2，3），
∴﹣2k+k＝3，
∴k＝﹣3；
∴k≤﹣3；
当k＞0时，
∵直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0），B（2，1），
∴2k+k＝1，
∴k．
∴k；
综上，直线与线段AB有交点时，猜想k的取值范围是：k≤﹣3或k．
答案：k≤﹣3或k．
二、一次函数图象上点的坐标特征
【核心考点精讲】
一次函数的图象是一条直线，它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b），直线上任意一点的坐标都满足函数关系式。
【热点题型精练】
9．（2022•株洲中考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（ ）
A．（0，﹣1） B．（，0） C．（，0） D．（0，1）
解：∵当x＝0时，y＝1，
∴一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（0，1），
答案：D．
10．（2022•绍兴中考）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）
A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0
C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0
解：∵直线y＝﹣2x+3，
∴y随x的增大而减小，当y＝0时，x＝1.5，
∵（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，
∴若x1x2＞0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意；
若x1x3＜0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意；
若x2x3＞0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意；
若x2x3＜0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2＞0，故选项D符合题意；
答案：D．
11．（2022•陕西中考）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），
∴原方程组的解为，
答案：B．
12．（2022•宁夏中考）如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应点E恰好落在直线y＝2x﹣3上，则点A移动的距离是 3 ．
解：当y＝2x﹣3＝3时，x＝3，
∴点E的坐标为（3，3），
∴△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，
∴点A与其对应点间的距离为3．
答案：3．
13．（2022•辽宁中考）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为 2 ．
解：当x＝0时，y＝2×0+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），OB＝4．
∵点D为OB的中点，
∴ODOB4＝2．
∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，
∴DE∥x轴．
当y＝2时，2x+4＝2，
解得：x＝﹣1，
∴点E的坐标为（﹣1，2），
∴DE＝1，
∴OC＝1，
∴▱OCDE的面积＝OC•OD＝1×2＝2．
答案：2．
14．（2022•菏泽中考）如图，在第一象限内的直线l：yx上取点A1，使OA1＝1，以OA1为边作等边△OA1B1，交x轴于点B1；过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2；过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，以OA3为边作等边△OA3B3，交x轴于点B3；……，依次类推，则点A2022的横坐标为 22020 ．
解：∵OA1＝1，△OA1B1是等边三角形，
∴OB1＝OA1＝1，
∴A1的横坐标为，
∵OB1＝1，
∴A2的横坐标为1，
∵过点B1作x轴的垂线交直线l于点A2，以OA2为边作等边△OA2B2，交x轴于点B2，过点B2作x轴的垂线交直线l于点A3，
∴OB2＝2OB1＝2，
∴A3的横坐标为2，
∴依此类推：An的坐标为：（2n﹣2，2n﹣2），
∴A2022的横坐标为22020，
答案：22020．
三、一次函数图象与几何变换
【核心考点精讲】
1．一次函数图象的平移
直线可以看做由直线平移|b|个单位得到的。b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移。
（1）如果两条直线平行，那么两条直线的斜率k相等，反过来，如果两条直线的斜率k相等，那么两条直线平行。
（2）平移规律：上加下减，左加右减。
2．一次函数图象的对称
（1）直线关于x轴对称的另一条直线的解析式为。
推导过程：x不变，y变成﹣y，即 。（横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
（2）直线关于y轴对称的另一条直线的解析式为。
推导过程：y不变，x变成﹣x，即 。（纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
（3）直线关于原点对称的另一条直线的解析式为。
推导过程：x和y都变成相反数，即 。（横、纵坐标都变成原来的相反数）
3．一次函数图象的旋转
（1）直线旋转90°所得另一条直线与原直线垂直，斜率乘积为﹣1，另一条直线的解析式为。
（2）直线旋转其他特殊角，例如30°、45°、60°，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理求出旋转后的坐标，或者直接利用三角函数求解。
（3）如果两条直线相交，那么交点坐标同时适用于两条直线。
【热点题型精练】
15．（2022•广安中考）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1
解：将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式为y＝3x+2﹣3＝3x﹣1，
答案：D．
16．（2022•西安模拟）在平面直角坐标系中，将一次函数yx的图象沿x轴向左平移m（m≥0）个单位后经过原点O，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．
解：将一次函数yx的图象沿x轴向左平移m（m≥0）个单位后得到y（x+m），
把（0，0）代入，得到：0m，
解得m．
答案：D．
17．（2022•苏州模拟）在直角坐标系中，一直线a向下平移3个单位后所得直线b经过点A（0，3），将直线b绕点A顺时针旋转60°后所得直线经过点B（，0），则直线a的函数关系式为（ ）
A．yx B．yx C．yx+6 D．yx+6
解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（0，3），B（，0），
∴，解得，
∴直线AB的解析式为yx+3．
由题意，知直线yx+3绕点A逆时针旋转60°后得到直线b，则直线b经过A（0，3），（，0），
易求直线b的解析式为yx+3，
将直线b向上平移3个单位后得直线a，所以直线a的解析式为yx+3+3，即yx+6．
答案：C．
18．（2022•绵阳模拟）如图，一次函数y＝x的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A． B．3 C．2 D．
解：∵一次函数y＝x的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y，令y＝0，则x，
则A（，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴ACx，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BDx，
又BD＝AB+AD＝2+x，
∴2+xx，
解得：x1，
∴ACx（1），
答案：A．
19．（2022•兰州模拟）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y＝kx+3上，把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 y＝﹣5x+5 ．
解：∵点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，
∴P′（1，﹣2），
∵P′在直线y＝kx+3上，
∴﹣2＝k+3，
解得：k＝﹣5，
则y＝﹣5x+3，
∴把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为：y＝﹣5x+5．
答案：y＝﹣5x+5．
20．（2022•阜新中考）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．
（1）如图1，将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了 1 个单位长度；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 左 （填“左”或“右”）平移了 个单位长度；
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向 右 （填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向 左 （填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式 m＝n|k|（或：当k＞0时，m＝nk，当k＜0时，m＝﹣nk） ．
解：（1）∵将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x+2﹣1＝（x﹣1）+2，
∴相当于将它向右平移了1个单位长度，
答案：1；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度得到y＝﹣2x+4﹣1＝﹣2（x）+4，
∴相当于将它向左平移了个单位长度；
答案：左；；
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向右（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向左（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式m＝n|k|．
答案：右；左；m＝n|k|（或：当k＞0时，m＝nk，当k＜0时，m＝﹣nk）．
21．（2022•宁夏模拟）如图，将直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，﹣4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为 （，0） ．
解：如图所示，作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，
设直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线解析式为y＝﹣x+a，
把A（2，﹣4）代入可得，a＝﹣2，
∴平移后的直线为y＝﹣x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，即B（0，﹣2）
∴B'（0，2），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
把A（2，﹣4），B'（0，2）代入可得，
，解得，
∴直线AB'的解析式为y＝﹣3x+2，
令y＝0，则x，
∴P（，0），
答案：（，0）．
22．（2022•杭州模拟）已知一次函数y＝k（x﹣3）（k≠0）．
（1）求证：点（3，0）在该函数图象上．
（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点（4，﹣2），求k的值．
（3）若k＜0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数图象上，且y1＜y2，判断x1﹣x2＜0是否成立？请说明理由．
解：（1）在y＝k（x﹣3）中令x＝3，得y＝0，
∴点（3，0）在y＝k（x﹣3）图象上；
（2）一次函数y＝k（x﹣3）图象向上平移2个单位得y＝k（x﹣3）+2，
将（4，﹣2）代入得：﹣2＝k（4﹣3）+2，
解得k＝﹣4；
（3）x1﹣x2＜0不成立，理由如下：
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在y＝k（x﹣3）图象上，
∴y1＝k（x1﹣3），y2＝k（x2﹣3），
∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
∵y1＜y2，
∴y1﹣y2＜0，即k（x1﹣x2）＜0，
而k＜0，
∴x1﹣x2＞0，
∴x1﹣x2＜0不成立．
四、一次函数与一元一次不等式
【核心考点精讲】
1．一次函数与一元一次不等式的关系
一元一次不等式可以转化为或（a,b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作，当一次函数的值大于0或者小于0时，求相应自变量的取值范围。
2．用画函数图象的方法解不等式或
一次函数的图象与x轴的交点为（，0）
当k＞0时，不等式的解为x＞，不等式的解为x＜。
当k＜0时，不等式的解为x＜，不等式的解为x＞。
【热点题型精练】
23．（2022•南通中考）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1
解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），
所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，
答案：D．
24．（2022•遵义模拟）如图，直线y＝﹣x+2与y＝ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥3 C．x≤﹣1 D．x≤3
解：从图象得到，当x≤3时，y＝﹣x+2的图象对应的点在函数y＝ax+b的图象上面，
∴不等式﹣x+2≥ax+b的解集为x≤3．
答案：D．
25．（2022•鄂州中考）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线yx都经过点A（3，1），当kx+bx时，根据图象可知，x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
解：由图象可得，
当x＞3时，直线yx在一次函数y＝kx+b的上方，
∴当kx+bx时，x的取值范围是x＞3，
答案：A．
26．（2022•扬州中考）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为 x＜﹣1 ．
解：由图象可得，
当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，
答案：x＜﹣1．
27．（2022•徐州中考）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于kxb＞0的不等式的解集为 x＞3 ．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象过点（2，0），
∴2k+b＝0，
∴b＝﹣2k，
∴关于kxb＞0
∴kx（﹣2k）＝3k，
∵k＞0，
∴x＞3．
答案：x＞3．
28．（2022•襄阳中考）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y|x|的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ 1 ．
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
（2）探究函数性质
请写出函数y|x|的一条性质： y|x|的图象关于y轴对称（答案不唯一） ；
（3）运用函数图象及性质
①写出方程|x|＝5的解 x＝1或x＝﹣1 ；
②写出不等式|x|≤1的解集 x≤﹣2或x≥2 ．
解：（1）①列表：当x＝2时，a|2|＝1，
答案：1；
②描点，③连线如下：
（2）观察函数图象可得：y|x|的图象关于y轴对称，
答案：y|x|的图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）①观察函数图象可得：当y＝5时，x＝1或x＝﹣1，
∴|x|＝5的解是x＝1或x＝﹣1，
答案：x＝1或x＝﹣1；
②观察函数图象可得，当x≤﹣2或x≥2时，y≤1，
∴|x|≤1的解集是x≤﹣2或x≥2，
答案：x≤﹣2或x≥2．
五、一次函数的应用
【核心考点精讲】
1．分段函数问题
分段函数是在不同区间内存在不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。
2．函数的多变量问题
解决含有多变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数。
【热点题型精练】
29．（2022•攀枝花中考）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则以下结论错误的是（ ）
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h
C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有20km
解：由题意可知，
货车从西昌到雅安的速度为：240÷4＝60（km/h），故选项B不合题意；
轿车从西昌到雅安的速度为：（240﹣75）÷（3﹣1.5）＝110（km/h），故选项C不合题意；
轿车从西昌到雅安所用时间为：240÷110（小时），
3（小时），
设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：
，
解得x＝1.8，
∴货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；
轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有6040（km），故选项D符合题意．
答案：D．
30．（2022•毕节中考）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶1h到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示．请结合图象，判断以下说法正确的是（ ）
A．汽车在高速路上行驶了2.5h
B．汽车在高速路上行驶的路程是180km
C．汽车在高速路上行驶的平均速度是72km/h
D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40km/h
解：∵3.5h到达目的地，在乡村道路上行驶1h，
∴汽车下高速公路的时间是2.5h，
∴汽车在高速路上行驶了2.5﹣0.5＝2（h），故A错误，不符合题意；
由图象知：汽车在高速路上行驶的路程是180﹣30＝150（km），故B错误，不符合题意；
汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2＝75（km/h），故C错误，不符合题意；
汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220﹣180）÷1＝40（km/h），故D正确，符合题意；
答案：D．
31．（2022•绥化中考）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
解：由图象可得，
小王的速度为米/分钟，
爸爸的速度为：（米/分钟），
设小王出发m分钟两人第一次相遇，出发n分钟两人第二次相遇，
m＝（m﹣4）•，n[n﹣4﹣（12﹣4）÷2]＝a，
解得m＝6，n＝9，
n﹣m＝9﹣6＝3，
答案：C．
32．（2022•苏州中考）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 ．
解：设出水管每分钟排水x升．
由题意进水管每分钟进水10升，
则有80﹣5x＝20，
∴x＝12，
∵8分钟后的放水时间，8，
∴a，
答案：．
33．（2022•阜新中考）快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员的行驶速度是 35 km/h．
解：∵快递员始终匀速行驶，
∴快递员的行驶速度是35（km/h）．
答案：35．
34．（2022•深圳中考）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
解：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，
由题意得，，
解得x＝11，
经检验x＝11是原方程的解，且符合题意，
∴乙类型的笔记本单价为x+1＝11+1＝12（元），
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，
∵购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴100﹣a≤3a，且100﹣a≥0，
解得25≤a≤100，
根据题意得w＝11a+12（100﹣a）＝11a+1200﹣12a＝﹣a+1200，
∵﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝100时，w最小值为﹣100+1200＝1100（元），
答：最低费用为1100元．
35．（2022•南通中考）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．
（1）写出图中点B表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．
解：（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元；
（2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝kx（k≠0），
把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k，
解得k＝20，
∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝20x（0≤x≤120）；
当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝k′x（k′≠0），
把（30，750）代入解析式得：750＝30k′，
解得：k′＝25，
∴y乙＝25x；
当30≤x≤120时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝mx+n（m≠0），
则，
解得：，
∴y乙＝15x+300，
综上，乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙；
（3）①当0≤a≤30时，
根据题意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500，
解得：a＝60＞30，不合题意；
②当30＜a≤120时，
根据题意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a+300＝1500，
解得：a＝80，
综上，a的值为80．
36．（2022•苏州中考）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次
甲种水果质量
（单位：千克）
乙种水果质量
（单位：千克）
总费用
（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
解：（1）设甲两种水果的进价为每千克a元，乙两种水果的进价为每千克b元．
由题意，得，
解得，
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
（2）设第三次购进x千克甲种水果，则购进（200﹣x）千克乙种水果．
由题意，得12x+20（200﹣x）≤3360，
解得x≥80．
设获得的利润为w元，
由题意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，
∵﹣5＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝80时，w的值最大，最大值为﹣35m+1600，
由题意，得﹣35m+1600≥800，
解得m，
∴m的最大整数值为22．
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