（沪教版2020）2023-2024学年高二数学上学期 必修三 第一次月考A卷.zip

2023-2024学年高二数学上学期第一次月考

A卷·基础知识达标测

一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．线段B1C 2． 3．

4． 5．12 6．

7． 8． 9．

10．2 11． 12．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．D  14．C  15．B  16．B

三、解答题（本大题共5题，共70分）

17．（12分）【解析】（1）因为，，，

所以，即，又D是AB的中点，

所以.（4分）

（2）设与相交于点，连接，（5分）

在中，为的中点，为的中点，

所以，（6分）

因为平面，平面，

所以平面.（8分）

（3）由题可知在直三棱柱中，两两垂直，

所以直三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，

设直三棱柱的外接球的半径为，则，即，

所以三棱柱的外接球的表面积为.（12分）

18．（12分）【解析】（1）取的中点为，连接，过点作平面的垂线，垂足为，连接，如图所示：

由题意易知，

又平面，平面，所以.（1分）

又因为，平面，所以平面；

平面，所以.

又，所以三点共线；

又因为，

所以，，（2分）

所以，因此，

又，所以；

所以点D到平面的距离为.（4分）

（2）由（1）可知，为直线与平面所成的角，

因为，，所以，

因此直线与平面所成的角的大小为.（8分）

（3）因为点在平面内的射影为点，且点到三边所在直线的距离相等，

若点为内切圆圆心，即的内心，

又因为为等边三角形，所以为的中心，即三棱锥为正三棱锥，

所以，即；（10分）

若点为的旁心，易知可得，（11分）

又因为在中，这与且相互矛盾，不合题意；

所以.（12分）

19．（14分）【解析】（1）因为，所以即为底面圆的直径（2分），

，（4分）

所以圆柱的侧面积为.（6分）

（2）连接，

在直三棱柱中，因为平面，平面，

所以，（9分）

又平面，所以平面，（11分）

则即为与平面所成角的平面角，

在中，，

所以，所以，

即与平面所成角的大小为.（14分）

20．（16分）【解析】（1）设，连接EO，（1分）

∵菱形ABCD，∴O是AC中点，（2分）

∵E为PA的中点，∴，

∵平面ABCD，∴平面ABCD，（3分）

又平面EDB，故平面平面ABCD．（4分）

（2）过点O作OF垂直BE于F点，连接AF，

因为平面ABCD，平面ABCD，所以，

又，平面BDE，∴平面BDE，

因为平面BDE，所以，（6分）

又平面AOF，所以平面AOF．

∴二面角的平面角为，（7分）

因为底面ABCD是边长为1的菱形，则为等边三角形，

所以，，又，所以，

所以，（9分）

在中，．（10分）

（3）在底面作，垂足为H，

∵平面ABCD，平面ABCD，所以，

又平面PCB，所以平面PCB，（12分）

由（1）知，，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，

所以点E到平面PBC的距离就是点O到平面PBC的距离OH，（14分）

在中，，，，

所以，即点E到平面PBC的距离为．（16分）

21．（16分）【解析】（1）连接，∵ O为的中点，

∴，,且,

又，O为的中点，（3分）

∴，且，

在中，，（5分）

∴，即，

又平面，∴平面.（8分）

（2）取的中点M，连接，

由E为的中点，知，

∴直线与所成的角就是异面直线与所成角或其补角，（10分）

在中，，，

由平面，平面,所以,（12分）

∵是直角三角形斜边上的中线，∴,（13分）

在中，由余弦定理可得：,

由于异面直线所成角的范围为，（15分）

所以异面直线与所成角的大小为.（16分）