河北省2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份河北省2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知点在圆C，点到直线等内容，欢迎下载使用。
数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第4节。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在棱柱中，（    ）A. B. C. D. 2.直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（    ）A. B. C. D.3.若，，则（    ）A.22 B. C. D.294.已知是空间的一个基底，，，若，则（    ）A.6 B. C.0 D.55.已知点在圆C：外，则实数a的取值范围为（    ）A.  B.C. D.6.点到直线（m为任意实数）的距离的最大值是（    ）A.5 B. C.4 D.7.在长方体中，，，E为的中点，则点A到平面的距离为（    ）A. B. C. D.8.已知，直线与y轴的交点为A，与x轴的交点为B，与的交点为C，则四边形的面积的最小值为（    ）A. B.16 C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.在空间直角坐标系中，点P的坐标为，则下列说法正确的是（    ）A.点P关于原点对称的点是 B.点P关于x轴对称的点是C.点P关于平面对称的点是 D.点P关于点对称的点是10.已知直线，直线，则下列命题正确的有（    ）A.直线恒过点 B.存在m使得直线的倾斜角为90°C.若，则或 D.存在实数m使得11.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（    ）A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是B.将军在河边饮马的地点的坐标为C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是D. “将军饮马”走过的总路程为12.如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（    ）A.E，F，G，H四点共面B.与所成角的大小为C.在线段上存在点M，使得平面D.在线段上任取一点N，三棱锥的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知是平面α的一个法向量，点，在平面α内，则______.14.在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为______.15.已知圆C经过点，，且圆心C在直线上，若P为圆C上的动点，则线段（O为坐标原点）长度的最大值为______.16.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点O是的中点，则线段上的动点E到直线的距离的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知，，.（1）求点A到直线的距离；（2）求的外接圆的方程.18.（本小题满分12分）如图，已知三棱柱中，，，，设，，.（1）若D为的中点，求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值.19.（本小题满分12分）已知直线经过，两点，直线在x轴上的截距为，且.（1）求直线和直线的方程；（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍，求直线的方程.20.（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，底面是正方形，E，F分别在棱，上且，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）已知的顶点B的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为.（1）求点A的坐标；（2）求直线的方程22.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，M为棱的中点.（1）求证：；（2）棱（除两端点外）上是否存在点N，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请求出点N的位置；若不存在，请说明理由. 承德市重点高中高二10月联考·数学参考答案、提示及评分细则1.D  .故选D.2.B设直线，，，的斜率分别为，，，，由图可得直线，的斜率为负值，直线，的斜率为正值，因为直线越陡峭，斜率的绝对值越大，所以，，所以，所以斜率最小的直线是.故选B.3.C  由，，得，，所以.故选C.4.A  ，因为，所以存在实数，使得，所以，所以解得所以.故选A.5.C  由题意得解得.故选C.6.B  将直线方程变形为，所以解得由此可得直线恒过点，所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于.又，所以到直线的距离的最大值为.故选B.7.D  如图，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，所以，，，，则，，设是平面的一个法向量，则令，则，又，所以点到平面的距离为.故选D.8.A  直线，都过点，即点的坐标是.在中，令，得，所以，同理可得，所以，当且仅当，即时等号成立.所以当时，四边形的面积取最小值为.故选A.9.ACD  点关于原点对称的点是，A正确；点关于轴对称的点是，B错误；点关于平面对称的点是，C正确；点关于点对称的点是，D正确.故选ACD.10.ABD  将点代入直线中，等号成立，所以直线恒过点，故A正确；当时，直线的斜率不存在，即倾斜角为90°，故B正确；当时，解得，故C错误；当时，，，此时，故D正确.故选ABD.11.BD  由题可知，在的同侧，设点关于直线的对称点为，则解得即.将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，所以直线的方程为，故A错误；设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点，所以，故B正确；将军从河边回军营的路线所在直线为，又，所以直线的方程为，故C错误；总路程，所以“将军饮马”的总路程为，故D正确.故选BD.12.AD  以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设，则，所以解得故，即E，F，G，H四点共面，故A正确；因为，，所以，所以与所成角的大小为，故B错误；假设在线段上存在点，符合题意.设，则，若平面，则，.因为，，所以此方程组无解，所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；因为，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，又的面积是定值，所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确.故选AD.13.9  由，，得，因为是平面的一个法向量，点，在平面内，所以，所以，解得.14.  由，知，所以梯形的高即为直线和间的距离，所以梯形的面积为.15.  线段中点的坐标为，，所以线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线的方程为，又圆心在直线上，所以解得所以圆心为，，.16.  取的中点为，连接，，，因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，又底面是矩形，所以，以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，由，，，得，所以，，，则，设，则，，，，因此点到直线的距离，当时，取最小值，即线段上的动点到直线的距离的最小值为.17.解：（1）直线的方程为，化简，得，所以点到直线的距离.（2）设的外接圆的方程为，将A，B，C的坐标代入，得即解得故所求圆的方程为.18.（1）证明：由题意知，，，，因为为的中点，所以，，所以，即.（2）解：，，，，，设与所成角为，则，即异面直线与所成角的余弦值为.19.解：（1）直线的斜率为，所以直线的方程为，即.设直线的斜率为，因为，所以，所以，所以直线的方程为，即.（2）联立得所以直线与的交点坐标为.当直线过原点时，直线的方程为.当直线不过原点时，设直线的方程为，又直线经过与的交点，所以，得，所以直线的方程为.综上，直线的方程为或.20.（1）证明：如图，在棱上取点，使得，连接，，因为，所以且，由正方形，，得且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：若，则可设，所以.以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，，则，，，设平面的法向量为，则由得令，得平面的一个法向是为，设直线与平面所成角的大小为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.21.解：（1）设点，则中点的坐标为，由题意知点在直线上，点在直线上，所以解得即点的坐标为.（2）设点关于直线的对称点为，则由角的对称性知点在直线上，设点的坐标为，则点的中点坐标为，则解得即点的坐标为.直线的斜率为，所以直线即的方程为，即.22.（1）证明：取棱的中点，连接，.因为四边形是菱形，所以，又，所以为等边三角形，所以.因为四边形为正方形且，分别是，的中点，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面.以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的间直角坐标系.不妨设，则点，，，.，，设为平面的一个法向量，则由及，得不妨取，则.假设棱上（除端点外）存在点满足题意，令，得，，，设为平面的一个法向量，则由及，得不妨取，得.设平面与平面的夹角为，则，解得或.因为，，所以在棱（除两端点外）上不存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.