黑龙江省双鸭山市第一中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题(Word版附解析)
展开这是一份黑龙江省双鸭山市第一中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题(Word版附解析),共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
双鸭山市第一中学2023-2024学年度高一(上)学期
数学月考试题
本试卷满分150分,考试时间120分钟.
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1 设集合,,则( )
A. B.
C. D.
2. 设命题P:,,则为( )
A. , B. ,
C. , D. ,
3. 设,则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 正实数a,b满足,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 已知不等式的解集为,则不等式的解集是( )
A. B.
C 或 D. 或
6. 若a,R,记,则函数(R)的最大值为( )
A. 0 B. C. 1 D. 3
7 若,,,则( )
A. B.
C. D.
8. 已知定义在上的函数,对,满足,,且对都有,则关于a的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
9. 若集合是全集的真子集,且,则下列命题正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 若a,,则下列命题正确的是( )
A. 若,则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若,则
11. 下列说法正确的是( )
A. 函数的定义域可以是空集
B 函数图像与y轴最多有一个交点
C. 函数的单调递增区间是
D. 若,则定义域、值域分别是,
12. 若定义在上的函数满足,则下列说法成立的是( )
A. 无理数,,
B. 对任意有理数m,有
C. ,
D. ,
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13. 已知集合,,若,则实数s的值是______.
14. 若的定义域为,则函数的定义域为______.
15. 若两个正实数x,y满足,且存在,使不等式有解,则实数k的取值范围为______.
16. 若函数的定义域和值域的交集为空集,则正数取值范围是______.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 解下列不等式:
(1);
(2).
18. 已知集合,.
(1)若,求;
(2)若,求实数m的取值范围.
19. 已知函数.
(1)求,,的值;
(2)若,求m的值;
(3)求不等式的解集.
20. 已知函数的图像过点.
(1)求实数m的值;
(2)判断在区间上的单调性,并用定义证明;
21. 已知定义在上的函数满足,二次函数的最小值为,且.
(1)分别求函数和的解析式;
(2)设,,求的最小值.
22. 已知函数,().
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若对任意,不等式恒成立,求取值范围;
(3)若对任意,存在,使得,求的取值范围.
双鸭山市第一中学2023-2024学年度高一(上)学期
数学月考试题
本试卷满分150分,考试时间120分钟.
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. 设集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集定义求解即可.
【详解】解:因为,,
所以=.
故选:C.
2. 设命题P:,,则为( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.
【详解】命题P:,,
则为,.
故选:B.
3. 设,则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求解一元二次不等式,再由集合的包含关系得出结果.
【详解】设,
或,
所以,所以是充分不必要条件.
故选:A
4. 正实数a,b满足,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得,,再利用基本不等式求解即可.
【详解】,,且,
,当且仅当,即,时,等号成立,
即的最小值为.
故选:A.
5. 已知不等式的解集为,则不等式的解集是( )
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由已知不等式的解集与一元二次根的关系求得,再代入所求不等式后解之即得.
【详解】不等式的解集为,则方程的两根为和3,
所以,解得,
不等式为,即,或.
故选:D.
6. 若a,R,记,则函数(R)的最大值为( )
A. 0 B. C. 1 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意作出函数的图象,进而求出函数的最大值.
【详解】比较函数与函数值的大小,取较小值,得到如图所示的图像:
当时,令,则解得,;
当时,令,则,解得,
所以函数与的交点坐标为,
,
由图可知时,函数有最大值1.
故选:C.
7. 若,,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据构造函数,结合函数的单调性以及和“1”比较大小得出结果.
【详解】设函数,则在上单调递增,
故,即,又,即.
故选:B.
8. 已知定义在上的函数,对,满足,,且对都有,则关于a的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定函数单调递减,计算,题目变换为,即,解得答案.
【详解】取,则,即,
故在上单调递减,
,
解得,
从而,即,则,
解得
所以原不等式的解集是.
故选:D.
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
9. 若集合是全集的真子集,且,则下列命题正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意作出Venn图,再逐一判断即可.
【详解】解:由题意可知,集合的关系如图所示:
由此可得,故A正确;
,故B错误;
,故C正确;
不一定为,故D错误.
故选:AC.
10. 若a,,则下列命题正确的是( )
A. 若,则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若,则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式的性质可判断AB;利用基本不等式求最值可判断CD.
【详解】对于A,若,则,故A正确;
对于B,若,则,故B正确;
对于C,若,则,当且仅当时等号成立,但,故C错误;
对于D,若,则,当且仅当即等号成立,但,
所以,故D正确.
故选:ABD.
11. 下列说法正确的是( )
A. 函数的定义域可以是空集
B. 函数图像与y轴最多有一个交点
C. 函数的单调递增区间是
D. 若,则定义域、值域分别是,
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的概念、单调性、定义域与值域,依次分析选项是否正确,综合可得答案.
详解】根据题意,依次分析选项:
对于A,函数的定义域为非空数集,不能为空集,A错误;
对于B,由函数的定义,函数的图像与直线(轴)最多有一个交点,B正确;
对于C,函数的单调递增区间是和,C错误;
对于D,若,则定义域满足,解得,
即函数定义域为,又,,
所以,即函数的值域为,D正确;
故选:BD.
12. 若定义在上的函数满足,则下列说法成立的是( )
A. 无理数,,
B. 对任意有理数m,有
C. ,
D. ,
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的解析式逐项判断可得答案.
【详解】对于A,若x为有理数,则为无理数,所以,,A错误;
对于B,对任意有理数m,则,x同为有理数或无理数,所以成立,B正确;
对于C,若x为有理数,则,若x为无理数,
则,C正确;
对于D,比如,,则,D正确.
故选:BCD.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13. 已知集合,,若,则实数s的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据子集的定义进行计算即可.
【详解】因为,又,所以,即.
故答案为:.
14. 若的定义域为,则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】结合抽象函数定义域的求法可得答案.
【详解】由已知可得,解得,
则函数的定义域为,
故答案为:,
15. 若两个正实数x,y满足,且存在,使不等式有解,则实数k的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】设,根据均值不等式以及“1”的妙用求的最大值,再解一元二次不等式得出结果.
【详解】依题意可得,存在,使不等式有解,
设,
,
当时,即时取等号.
所以.
所以,即,解得
实数k的取值范围为.
故答案为:.
16. 若函数的定义域和值域的交集为空集,则正数取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】求出给定函数的定义域,求出函数在上的取值集合,再分段讨论列出不等式求解作答.
【详解】依题意,函数的定义域为,
因函数在上单调递增,因此函数在上的取值集合为,
而函数的定义域和值域的交集为空集,则,
当时,,此时的定义域和值域的交集不为空集,因此,
函数在上单调递减,此时,
由的定义域和值域的交集为空集,得,解得或,于是得,
所以正数取值范围是.
故答案为:
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 解下列不等式:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)原不等式可化为,再根据一元二次不等式解集公式得出结果;
(2)先移项再通分转化为,由分子恒为正数,得出分母大于零求得结果.
【小问1详解】
原不等式可化为,即,
解得或,
所以原不等式的解集为.
【小问2详解】
原不等式可化为,,
因为,
所以,即.
所以原不等式的解集为.
18. 已知集合,.
(1)若,求;
(2)若,求实数m的取值范围.
【答案】(1);
(2)
【解析】
【分析】(1)将代入,求出集合,,再根据并集的定义求解即可;
(2)根据题意,列出不等式组求解即可.
【小问1详解】
解:当时,,
所以或,
所以或= 或;
【小问2详解】
解:因为,
当, 即, 时,因为,不满足题意;
当时,则有,解得;
综上所述,实数m的取值范围为.
19. 已知函数.
(1)求,,的值;
(2)若,求m的值;
(3)求不等式的解集.
【答案】(1),,;
(2)或;
(3).
【解析】
【分析】(1)将分别代入求解即可;
(2)分、分别求解即可;
(3)分、分别求解即可.
【小问1详解】
解:因为函数,
所以,,;
【小问2详解】
解:当时,,解得或(舍去);
当时,,解得.
所以m的值为或;
【小问3详解】
解:当时,,解得,即;
当时,,解得.
所以n的取值范围为.
20. 已知函数的图像过点.
(1)求实数m的值;
(2)判断在区间上的单调性,并用定义证明;
【答案】(1);
(2)单调递增,证明见解析;
【解析】
【分析】(1)将点代入解析式中,即可得到结果;
(2)根据题意,由单调性的定义法证明即可.
【小问1详解】
将点代入函数中,可得,
解得.
【小问2详解】
单调递增,证明如下.
由(1)可得,
任取,则
,因为,
则,,,即,
所以,即,
所以在区间上单调递增.
21. 已知定义在上的函数满足,二次函数的最小值为,且.
(1)分别求函数和的解析式;
(2)设,,求的最小值.
【答案】(1),;
(2).
【解析】
【分析】(1)通过构造方程组的方法求得,设,根据已知条件可得的解析式;
(2)求出,分、、讨论可得答案.
【小问1详解】
定义在上的函数满足①,
可得②,
由①②可得;
设二次函数,
因为的最小值为,且,
所以,解得,
可得;
【小问2详解】
,
当时,在上单调递增,
所以,
当时,在上单调递减,
所以,
当时,所以,
所以.
22. 已知函数,().
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围;
(3)若对任意,存在,使得,求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)将代入不等式,解该一元二次不等式即可;
(2)转化为一元二次不等式恒成立问题,利用即可解得参数的范围;
(3)对任意,存在,使得,转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解,需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论,最终解不等式组求解.
【小问1详解】
当时,由得,
即,解得或.
所以不等式的解集为或.
【小问2详解】
由得,
即不等式的解集是.
所以,解得.
所以的取值范围是.
【小问3详解】
当时,.
又.
①当,即时,
对任意,.
所以,此时不等式组无解,
②当,即时,
对任意,.
所以解得,
③当,即时,
对任意,.
所以此时不等式组无解,
④当,即时,
对任意,.
所以此时不等式组无解.
综上,实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛,本题中“对任意,存在,使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键,而其中二次函数在闭区间上的值域问题,又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论.
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