浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题含解析
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绝密★考试结束前
2023学年第一学期浙南名校联盟第一次联考
高三年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 双曲线的焦点坐标为（ ）
A B. C. D.
3. 已知平面向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条
C. 充要条件件 D. 既不充分又不必要条件
5. 生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体，其中四边形与都为等腰梯形，为平行四边形，若面，且，记三棱锥的体积为，则该五面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 设离散型随机变量的期望和方差分别为和，且，则（ ）
A.
B
C.
D. 和大小不确定
8. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，.若，且三棱锥的外接球的表面积为，则当四棱锥的体积最大时，长为（ ）
A. B. 2 C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 成人心率的正常范围为60~100次/分钟，超过100次/分钟为心率过速.观测并记录一名心率过速成人患者服用某种药物后心率，其随时间的变化如图所示，则该患者（ ）
A. 服了药物后心率会马上恢复正常
B. 服药后初期药物起效速度会加快
C. 所服药物约15个小时后失效（服药后心率下降期间为有效期）
D. 一天需服用该药1至2次
10. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，则关于的说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为 B. 偶函数
C. 在上单调递减 D. 关于中心对称
11. 已知函数，其导函数为，则（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 有极大值，也有极小值
C. 使得恒成立的最小正整数为2021
D. 有两个不同零点，且
12. 已知是椭圆上不同的三点，记的面积分别为（为坐标原点）.若，则（ ）
A. B.
C. D. 为定值
非选择题部分
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13 已知复数满足，则______.
14. 若的展开式中所有系数绝对值之和为81，则其常数项为______.
15. 已知点在上运动，点在圆上运动，且最小值为，则实数值为______.
16. 已知数列的首项为，且满足，其中为其前项和，若恒有，则的取值范围为______.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 设等差数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式及；
（2）设，求数列的前项和.
18. 记的内角所对的边分别为，已知.
（1）若，求；
（2）若，求的周长.
19. 某型合金钢生产企业为了合金钢的碳含量百分比在规定的值范围内，检验员在同一试验条件下，每天随机抽样10次，并测量其碳含量（单位：%）.已知其产品的碳含量服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记表示一天内10次抽样中其碳含量百分比在之外的次数，求及的数学期望：
（2）一天内的抽检中，如果出现了至少1次检测的碳含量在之外，就认为这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.下面是在一天中，检测员进行10次碳含量（单位：%）检测得到的测量结果：
次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
碳含量（%） | 0.31 | 0.32 | 0.34 | 0.31 | 0.30 | 0.31 | 0.32 | 0.31 | 0.33 | 0.32 |
经计算得，，其中为抽取的第次的碳含量百分比.
（i）用样本平均数作为估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）若去掉，剩下的数的平均数和标准差分别记为，试写出的算式（用表示）.
附：若随机变量服从正态分布，则..
20. 在正三棱台中，侧棱长为1，且为的中点，为上的点，且.
（1）证明：平面，并求出的长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
21. 设抛物线的焦点为是坐标原点，，过点的直线与抛物线交于两点，延长分别交抛物线于两点，分别是的中点.
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）求的最小值.
22. 设函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若对任意，函数均有2个零点，求的取值范围；
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