四川省成都市龙泉驿区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(解析版)

这是一份四川省成都市龙泉驿区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(解析版)，共26页。
2022—2023学年度上期末九年级考试数学试题
注意事项：
1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．
2．在作答前，考生务必将自己的班级、姓名填写在答题卷上，并注意检查条形码．考试结束，只交答题卷。
3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．请按照题号在答题卡各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效．
5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
A卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 下列为一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据定义依次判断．
【详解】解：A、符合定义，符合题意；
B、含有两个未知数不符合定义，不符合题意；
C、未知数的最高次数是3不符合定义，不符合题意；
D、含有分式不符合定义，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义并正确判断是解题的关键．
2. 从左边观察如图所示的几何体，得到的形状图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用左视图观察角度分析得出答案．
【详解】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
3. 一个不透明的箱子里装有个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出的值为（ ）
A. 3 B. 5 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．
【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.3，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.3，
∴，
∴，
经检验是原方程的解．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解分式方程，解答此题关键是利用红球的个数除以总数等于频率．
4. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【详解】A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；
B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似形的定义，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. B. 且 C. 且 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由一元二次方程有实数根，则，即，且，即，然后解两个不等式得到k的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，即，
，即，
解得，
∴k的取值范围是且．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程为常数）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．
6. 如果两个相似三角形的面积之比为9∶4，那么这两个三角形对应边上的高之比为(　 　)
A. 9∶4 B. 3∶2 C. 2∶3 D. 81∶16
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】由相似三角形面积比等于相似比的平方先求得相似比，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可得答案.
【详解】∵两个相似三角形的面积之比为9：4，
∴相似比是3：2，
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为3：2，
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、对应高（中线、角平分线）的比等于相似比是解题的关键.
7. 某口罩厂10月份的口罩产量为24万只，因预防疫情需要，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到88万只．设该厂11、12月份的口罩产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A. 88（1＋x）2＝24 B. 88（1－x）2＝24
C. 24（1＋x）2＝88 D. 24＋24（1＋x）＋24（1＋x）2＝88
【答案】D
【解析】
【分析】设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为x，再表示出该口罩厂11月、12月份的口罩的产量，然后再根据等量关系“第四季度的总产量达到88万”列出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为x，则11月份产量为24（1+x），12月份产量为：24（1+x）2，根据题意可列方程为：
24+24（1+x）+24（1+x）2＝88．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意找准等量关系是正确列出一元二次方程的关键．
8. 在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与（k≠0）的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据k的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：①当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数（k≠0）的图象经过一、三象限，没有符合条件的选项，
②当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限，故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答茦写在答题卡上）．
9. 反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象在第一、三象限可知，即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数的图象，解题的关键是理解时反比例函数图象在一、三象限；时反比例函数图象在二、四象限．
10. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用比例线段的定义得到a：b=c:d，即a：3=4：6，然后根据比例的性质可求出a的值．
【详解】解：根据题意得a：b=c：d，即a：3=4：6，
所以a==2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，即 a：b=c：d，我们就说这四条线段是成比例线段．
11. 反比例函数的图像经过、两点，当时，，写出符合条件的的值_________（答案不唯一，写出一个即可）．
【答案】－1（答案不唯一，取的一切实数均可）
【解析】
【分析】先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过、两点，当时，，
∴此反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴k可为小于0的任意实数．
例如，k＝﹣1等．
故答案为：﹣1（答案不唯一，取的一切实数均可）
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
12. 如图，矩形的对角线相交于点，，垂足为点，，垂足为点，且是的中点．若，则的长为_________．

【答案】8
【解析】
【分析】根据矩形的性质可以得到CO=BO，再根据 及E点为CO的中点，由三线合一证明得到等边三角形CBO，从而得到∠DBA=30°，后根据30°直角三角形的性质求得BO长，BD=2BO，即可得出答案．
【详解】解：由题有，E点为CO的中点，矩形ABCD
∴△CBO为等腰三角形，BC=BO
∵CB=BO=CO
∴∠CBD=60°，∠DBA=30°
∵，OF=2
∴BO=2OF=4
∵O点为BD中点
∴BD=2BO=8
故答案为：8
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，30°直角三角形性质等知识点，熟练掌握并运用等边三角形性质和判定并求出∠DBA=30°是本题解题的关键．
13. 如图，在中，，，D是边上一点，且，如果点E在边上，且与相似，那么_____．

【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：或，得到或，分别代入数值求解即可．
【详解】解：∵与相似，
∴或，
∴，或，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
解得：，．
【小问2详解】
∵．
∴，
∴，或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练各种方法的灵活应用．
15. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点．
（Ⅰ）求证：四边形AECD是菱形；（Ⅱ）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）15.
【解析】
【分析】（Ⅰ）先证四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求AE=CE，即可得四边形AECD是菱形；
（Ⅱ）由题意可求S△AEC=S△ACD=S△ABC，即可求四边形ABCD的面积．
【详解】证明（Ⅰ）∵AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBE
∵F是AE中点
∴AF＝EF且∠AFD＝∠BFE，∠ADB＝∠DBE
∴△ADF≌△BEF
∴BE＝AD
∵AB⊥AC，E是BC中点
∴AE＝BE＝EC
∴AD＝EC，且AD∥BC
∴四边形ADCE是平行四边形
且AE＝EC
∴四边形ADCE是菱形；
（Ⅱ）∵AC＝4，AB＝5，AB⊥AC
∴S△ABC＝10
∵E是BC中点
∴S△AEC＝S△ABC＝5
∵四边形ADCE是菱形
∴S△AEC＝S△ACD＝5
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝15.
【点睛】本题考查菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是利用三角形中线的性质求三角形的面积．
16. 某厂有一批可降解的外卖餐盒准备出售，现从中随机抽取一部分外卖餐盒，根据这些餐盒的价格（单位：元）分别绘制了如图1，图2所示的扇形统计图和条形统计图，相同价格的餐盒除颜色外均相同．请根据相关信息，解答下列问题．

（1）随机抽取的外卖餐盒的数量为______个；图中的值为______；的值为______；
（2）在这组数据中，价格为2元的外卖餐盒颜色如下：2个白色，1个红色，1个黄色，现从这4个餐盒中随机抽取2个外卖餐盒，请利用画树状图的方法求抽到一个白色餐盒和一个红色餐盒的概率．
【答案】（1）50；22；5；
（2）
【解析】
【分析】（1）用单价为元的频数除以它所占的百分比得到抽取的外卖餐盒的总数量，再用单价为元的外卖餐盒的个数除以总个数得到a的值，用单价为元的外卖餐盒的个数所占的百分比乘以总个数得到b的值；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出一个白色餐盒和一个红色餐盒的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：随机抽取的外卖餐盒的数量为（个）；
所以，则； ；
【小问2详解】
画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一个白色餐盒和一个红色餐盒的结果数为4，
所以抽到一个白色餐盒和一个红色餐盒的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
17. 小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度m，窗高m，某一时刻，m，m，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度．

【答案】路灯的高度为6.3米
【解析】
【分析】根据且，可得到，，从而可得到，，设，则，即，解出的值即可求出的高度．
【详解】解：且
，，
，
设，则，
又，
，即，
解得：，
经检验是原方程的解，

答：的高度是．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例进行求解．
18. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点，

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据点点求得k确定反比例函数解析式，然后再根据、利用待定系数法求得一次函数解析式即可；
（2）设点，则点，由点可得、，再根据相似三角形的性质列方程求得t即可解答．
【小问1详解】
解：∵反比例函数过点
∴且
将，带入直线
得：，
故一次函数为：．
【小问2详解】
解：设点，则点，点
则，
当时
即：，解得：，（舍去）
∴点．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合、相似三角形的性质等知识点，根据相似三角形的性质列出参数方程成为解答本题的关键．
B卷
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 已知，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用合比的性质解决问题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查比例线段，合比的性质等知识，解题的关键是掌握合比的性质，属于中考常考题型．
20. 如图，某校给初一年级划了一块大的矩形菜地，年级又将它分为大小形状完全相同的三块分给三个班，同学们测量后惊奇的发现，每块小菜地都与原大矩形菜地相似，则原矩形菜地的宽与长之比为______．

【答案】##
【解析】
【分析】设原矩形的长为x，宽为y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得原矩形纸片的长与宽之比．
【详解】解：设原矩形的长为x，宽为y，
∴小矩形的长为y，宽为
∵小矩形与原矩形相似，
∴
∴
故答案为：

【点睛】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．
21. 设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m的取值是_____．
【答案】9.
【解析】
【分析】由韦达定理得出α+β=2，αβ=1﹣m，将|α|+|β|=6左右两边同时平方，利用完全平方公式对方程进行转化， 转化为关于α+β、αβ的形式，分类讨论，解出m的值即可.
【详解】由韦达定理可得α+β=2，αβ=1﹣m，
∵|α|+|β|=6，
∴（|α|+|β|）2=36，
即（|α|）2+（|β|）2+2|α|·|β|=36，
α2+β2+2|α·β|=36，
（α+β）2﹣2α·β+2|α·β|=36，
4﹣2（1﹣m）+2|1﹣m |=36，
当1﹣m≥0时，方程无解；
当1﹣m＜0时，方程的解为m=9.
故答案为9.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记常见的转换公式是解题的关键．
22. 用换元法解关于x的分式方程时，如果设将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是______，若原方程的解为正数，则a的取值范围为______．
【答案】 ①. ②. 且
【解析】
【分析】用换元法整理即可求得整式方程，解整式方程求得或，判断要舍去，求得，根据原方程的解为正数，据此求解即可．
【详解】解：设，则原方程为，
去分母得，
即，
解得或，
当时，则，此方程无解；
当时，则，
即，
∵原方程的解为正数，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；且．
【点睛】此题考查了换元法解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23. 如图，正方形，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则______．

【答案】
【解析】
【分析】过点作的平行线，分别交于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点，

四边形是正方形，，
，，四边形是矩形，
，
点为中点，
，
，
，
，即，
设，则，
，
由折叠的性质得：，
，
又，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得，，
，
又，
，
解得或，
经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、折叠的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是双曲线的一部分，根据函数图像回答下列问题：

（1）点A的注意力指标数是________．
（2）当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式；
（3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．
【答案】（1）24 （2）
（3）张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36，理由见解析
【解析】
【分析】（1）点A的注意力指标数是A点的纵坐标，A点的纵坐标与D点纵坐标相等，将C点坐标代入，求出双曲线的函数表达式，再求出D点的坐标即可．
（2）由图可知，当时，求注意力指标数y是随时间x的一次函数，将点A和点B的坐标代入y=kx+b，即可求出函数表达式．
（3）要求21分钟注意力指标数都不低于36，则根据函数表达式求出注意力指数不低于36的x的取值范围即可．
【小问1详解】
解：设双曲线的函数解析式为：
把C（20，48）代入得：，k=960
∴双曲线的函数解析式为：
当x=40时：
即D（40，24）
∴点A的注意力指标数为24
【小问2详解】
当时，设的解析式为，
把A（0，24），B（10，48）代入；
∴
∴
∴．
【小问3详解】
当时，，解之得
设当时，反比例函数解析式为，
将代入得．
∴．
当时，，
解之得．
∴当时，注意力指标数都不低于36．
而，
∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图像是解题的关键．在求解x的取值范围时，注意结合图像，求出两个端点值．
25. 在中，点，分别在边，上，连接，交于点，且，

（1）求证：：
（2）当为边的中点时，且，
①若，求；
②若为等腰直角三角形，且，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据三角形的外角定理可得，，证得，根据相似三角形的性质即可得出结论；
（2）①过点做，设，则，根据中位线的性质得，得出相似比，求得各边，再根据（1）的结论，列方程求解即可；
②过点做，垂足为点，由等腰直角三角形性质得且，推出，根据相似三角形对应边成比例和中点的性质，求得各边，再根据代入求解即可．
【小问1详解】
证明：，，
又，
且，
，
，
即：；
【小问2详解】
解：①过点做，

设，则，
又为中点且，
．
，
，
，，
又，
，
解得：；
②过点做，垂足为点，

为等腰直角三角形，
且，
，
，
又，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，中线、中点的性质，正确作出辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．
26. 某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边沿x轴平移（边在x轴上，点C在x轴上方），其中，与反比例函数交于点D，E两点（点D在点E左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：

（1）第一小组提出“当时，求点D的坐标”；
（2）第二小组提出“若，求a的值”；
（3）第三小组提出“若将点E绕点A逆时针旋转60°至点，点恰好也在上，求a的值”．
【答案】（1）；
（2）3 （3）
【解析】
【分析】（1）轴，利用等边三角形的性质求得，利用待定系数法可求得直线的解析式为，与反比例函数联立方程组，解方程组即可求解；
（2）作出如图的辅助线，设，则，求得点，点，由反比例函数的性质求解即可；
（3）连接，过点作轴，证明，推出，得到，，求得，再根据反比例函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：当时，过点C作轴，垂足为点H，

∵是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
与反比例函数联立方程组，
解得：，（舍去），
代入可得点；
【小问2详解】
解：过点D作轴，垂足为点F，过点C作轴，垂足为点H，过点E作，垂足为点I，

设，则，
∴点，
因为，，
则，
∴，
∴，
∴点，
因为点D，E均在反比例函数上，
∴，
由①得：③，
代入②得，
化简得：，
由③得：；
【小问3详解】
解：连接，过点作轴，垂足为点，

由题意得，
∴，
∴，
∴，
∴，
故，
同理点，
∴点的纵坐标为，则，
∴，
∴点，
∴，
∴，，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
解得：，（舍去），
故，
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等边三角形的性质，解一元二次方程，含30°角的直角三角形的性质等知识，本题综合性较强，难度较大．