江苏省扬州市广陵区2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年江苏省扬州市广陵区九年级（上）月考数学试卷（10月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

3.如图，在中，弦，相交于点，若，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

4.如图，线段是的直径，于点，若长为，长为，则半径是(    )

A.
B.
C.
D.

5.已知方程的两根是，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.在同一平面内，点到圆上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为(    )

A.  B.  C.  D. 或

7.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，半圆的直径，弦，弦平分，的长为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.关于的一元二次方程的两根之和为______ ．

10.如图，点，，，在上，，则______

11.设，是方程的两个实数根，则的值为______ ．

12.如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是______ ．

13.已知关于的方程的解是，，则关于的方程的解是______ ．

14.如图，是的外接圆，，，则的直径为______．

15.如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为如果以的速度，沿由向的方向移动，那么______ 秒种后与直线相切．

16.九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深寸，锯道长尺如图，已知弦尺，弓形高寸注：尺寸，则这块圆柱形木材的直径是______ 寸

17.已知实数，满足，则代数式的最小值等于______．

18.正方形的边长为，点是的中点，过点作，垂足为，为对角线、的交点，连接，则______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
用适当的方法解下列方程：
；
．

20.本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
若方程的一个根是，求方程的另一个根．

21.本小题分
如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点两条网格线的交点叫格点上，以点为原点建立直角坐标系．
过，，三点的圆的圆心坐标为______ ．
求的面积结果保留．

22.本小题分
如图、是的两条弦，相交于点，若，求证：
；
．

23.本小题分
某商城在年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元．
商城举行了“新老用户总是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率；
经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出台，当每台售价每降低元时，平均每天能多售出台若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？

24.本小题分

如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为米的门，总共用去篱笆米；
为了使这个长方形的面积为平方米，求边为多少米？
用这些篱笆，能使围成的长方形面积是平方米吗？说明理由．

25.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根，分别记为，．
求的取值范围；
若求的值．

26.本小题分
如图，四边形内接于一圆，是边的延长线．

求证：；
若，，求的度数．

27.本小题分

如图，在矩形中，，，，两点分别从，两点以和的速度在矩形边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点停止，问几秒后，为等腰三角形？

28.本小题分
已知：是的外接圆，且，，为上一动点．
如图，若点是的中点，求的度数．
过点作直线的垂线，垂足为点．
如图，若点在上，求证：．
若点在上，当它从点向点运动且满足时，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据一元二次方程的定义，不是等式，那么不是一元二次方程，故A不符合题意．
B.根据一元二次方程的定义，由，得，那么是一元二次方程，故B符合题意．
C.根据一元二次方程的定义，中等式的左边不是整式，那么不是一元二次方程，故C不符合题意．
D.根据一元二次方程的定义，由，得，那么不是一元二次方程，故D不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义解决此题．
本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有实数根，
，且，
解得且，
故选：．
根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理求出的度数，再根据对顶角相等得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质，熟练掌握定理及性质是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，
，
在中，，
即半径为．
故选：．
连接，如图，先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．

5.【答案】 

【解析】解：由题意，，，
．
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系求解．
本题考查一元二次方程根与系数的关系；掌握根与系数关系定理是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：设的半径为，
当点在圆外时，；
当点在内时，．
综上可知此圆的半径为或．
故选：．
由于点与的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
本题考查的是点与圆的位置关系，能够进行分类讨论，不要漏解是解决问题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

8.【答案】 

【解析】解：连接，，相交于点，连接，

是半的直径，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
在中，，
在中，，
故选：．
连接，，相交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，再利用角平分线的定义和圆周角定理可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用垂径定理可得，进而可得是的中位线，再利用三角形的中位线定理可得，从而求出的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
解一元二次方程得出的值，再进行相加，从而取得最终答案．
本题主要考查了根与系数的关系．

10.【答案】 

【解析】解：为弧所对的圆周角，
，
，
．
故答案为：．
先作出弧所对的圆周角，如图，根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．

11.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，

．
故答案为：．
根据根与系数的关系可以求出，，将可化为，代入求值即可解答．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与两根之积进行计算与转化是解决问题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：连接，
是圆的直径，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，由圆周角定理得到，即可求出的度数．
本题考查圆周角定理，三角形的外接圆与外心，关键是掌握圆周角定理．

13.【答案】， 

【解析】解：关于的方程的解是，，
关于的方程的解满足或，
解得，．
故答案为：，．
把关于的方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．整体的思想的应用是解决问题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，
，
而，
为等腰直角三角形，
，
的直径为．
故答案为．
连接、，如图，根据圆周角定理得到，则可判断为等腰直角三角形，然后计算，从而得到的直径．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．

15.【答案】或 

【解析】解：当点在射线时与相切，如图，过作与，
，
，
，
的圆心在直线上向右移动了后与相切，
移动所用的时间秒；
当点在射线时与相切，如图，过作与，
，
，
，
的圆心在直线上向右移动了后与相切，
移动所用的时间秒．
故答案为或．
分类讨论：当点在当点在射线时与相切，过作与，根据切线的性质得到，再利用含的直角三角形三边的关系得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在射线时与相切，过作与，同前面一样易得到此时移动所用的时间．
本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系相切、相交、相离也考查了切线的性质．

16.【答案】 

【解析】解：尺寸．
根据题意可得寸．
设圆的半径为，
，
寸，
这块圆柱形木材的直径是：寸．
故答案为：．
线段垂直且平分线段，在中，的长为寸．
此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

17.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于，即可确定出最小值．
【解答】
解：，即，，
原式，
则代数式的最小值等于．
故答案为．

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交于，

点是的中点，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
≌，
，，
是等腰直角三角形，，
，
故答案为：．
由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，由“”可证≌，可得，，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

19.【答案】解：
，，，
，
，
，；

，
则，
，
则或，
，． 

【解析】利用公式法解方程即可；
整理后，利用因式分解法解方程即可．
此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．

20.【答案】解：根据题意得：
，
解得：；
由题意得：
，
方程的一个根是，
方程的另一个根是． 

【解析】根据题意得，得到关于的一元一次不等式，解之即可；
根据根与系数的关系可得，即可求出方程的另一个根．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．

21.【答案】 

【解析】解：如图所示：连接，，分别作、的垂直平分线，两直线交于点，
则点就是过，，三点的圆的圆心，由图形可知的坐标为，
故答案为：；
连接，
由勾股定理得，
故圆的面积为．
连接，，分别作、的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，有图形可得的坐标；
由勾股定理即可求得圆的直径，根据圆的面积公式即可得到结论．
此题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理得出圆心位置．

22.【答案】证明：证如图所示，连接，

，

，
又，
≌，
；

，

，
． 

【解析】如图所示，连接，利用证明≌即可证明；
由可得，即可证明．
本题主要考查了同圆中等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，灵活运用所学知识是解题的关键．

23.【答案】解：设每次降价的百分率为，由题意可得：
，
解得：，不符合题意舍去．
答：每次降价的百分率是；
设每台冰箱的售价应定为元，由题意可得：
，
解得：．
答：每台冰箱的售价应定为元． 

【解析】设每次降价的百分率为，根据续两次降价后以每台元售卖列式求解即可得到答案；
设每台冰箱的售价应定为元，根据利润列方程求解即可得到答案．
本题考查一元二次方程解决销售利润问题及平均变化问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列方程．

24.【答案】解：设的长为米，
依题意的方程：，
解得：，，
答：当的长度为米或米时，长方形的面积为平方米；

假设长方形的面积是平方米，
依题意得：即，
，
该一元二次方程无实数根，
假设不成立，
长方形的面积是不能为平方米． 

【解析】根据题意得出长宽，进而得出答案；
根据题意得出长宽，得到方程无解即可．
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

25.【答案】解：方程有两个实数根，
，即，
解得．
故的取值范围是；
由根与系数的关系可得，，
由题意可得，
解得符合题意．
故的值是． 

【解析】根据方程有实数根得出，解之可得．
利用根与系数的关系可用表示出和的值，根据条件可得到关于的方程，可求得的值，注意利用根的判别式进行取舍．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．

26.【答案】证明：四边形内接于圆，
，
，
；
解：，
，
． 

【解析】根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论；
根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

27.【答案】解：根据为等腰三角形，分以下四种情况：
如图，

当点在上，点在上时，，，，
由得，
解得；
如图，点在上，点在上时，，，，，

在中，
由得，
整理得：，
解得，舍去；
如图，点、都在、上时，

若点在点的右边时，则，，，
，
此时，
由得，
整理得，
，
该方程无解；
若点在点的左边时，则，
，
此时，
由得，
解得，不符合题意，舍去；
如图，当点在上，在上时，，，，
过作于，则四边形是矩形，

由得，则，
解得，
综上，满足条件的值为或或． 

【解析】根据等腰三角形的定义，分四种情况：当点在上，点在上时；点在上，点在上时；点、都在、上时；当点在上，在上时，分别画出图形，利用勾股定理和等腰三角形的性质、结合矩形的性质和解方程求解即可．
本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程和解一元二次方程等知识，理解等腰三角形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键．

28.【答案】解：如图中，连接．

，
，
，
，
是的中点，
，
，
．

过作于点，则．

又于点，
，
，
又，
，
，
，
在和中

≌，
，
又，，
在和中

≌，
，
．

连接并延长交于点，则点在上．

如图：过作于点，
则，，
又于点，
，
，
又四边形是的内接四边形，
，
又，
，
在和中

≌
，
又，，
在和中

≌
，
，
是直径，
，
垂直平分，
，
，
当点运动到点时取得最大值，此时． 

【解析】证明是等边三角形，再证明，可得结论．
过作于点，则证明≌，推出，证明≌，推出，可得结论．
连接并延长交于点，则点在上．证明此时满足，当点运动到点时取得最大值，此时．
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．