2023-2024学年山东省聊城市东昌府区九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省聊城市东昌府区九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.在中，，，，那么下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

4.如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，每个小正方形边长均为，则下列图中的三角形阴影部分与图中相似的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.某人沿着坡度为：的山坡前进了米，则此人所在的位置升高了(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7.如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定∽的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.在直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，现以原点为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则顶点的坐标是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

9.如图，中，、分别为、边上的点，，为边上的中线，若，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，在正方形中，点、分别在边和上，，垂足为，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

11.一座楼梯的示意图如图所示，是铅垂线，是水平线，与的夹角为现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度米，则地毯的面积至少需要(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

12.如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连结，，下列结论：；≌；；若，则其中结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.如图，在中，，，，则的值为______ ．

14.小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为米，然后竖直放置一根高为米的标杆，测得标杆的影长为米，则楼高为______ 米

15.如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，：：，若的面积是，则四边形的面积是______ ．

16.如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为：，则斜坡的长为______．

17.如图，在中，，，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，则线段的长度是______ ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分
计算：
；
．

19.本小题分
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
将向左平移个单位，请画出平移后的并写出的坐标______ ．
以原点为位似中心，将缩小，使变换后得到的与对应边的比为：请在网格内画出，并写出点的坐标：______ ．

20.本小题分

如图，是的中线，是锐角，，，．
求的长．
求的值．

21.本小题分

如图，是的角平分线，在上取点，使
求证：∽；
若，，求的度数．

22.本小题分
在边长为的菱形中，对角线、相交于点，过点作直线分别交、的延长线于点、，连接、．
若，判断四边形的形状，并说明理由；
若于，：：，求的长度．

23.本小题分

小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点处测得小山顶端的仰角为，小山顶端在水中倒影的俯角为若点到湖面的距离，，，、、三点共线，，求小山的高度光线的折射忽略不计；结果保留根号

24.本小题分
烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧如图某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图，无人机飞至距地面高度米的处，测得烽燧的顶部处的俯角为，测得烽燧的底部处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．
参考数据：，，，，，

 

25.本小题分

如图，在中，，，点从点出发，沿以的速度向点运动，同时点从点出发，沿以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
当时，求的值．
与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

2.【答案】 

【解析】解：中，，，，
，
，，，．
故选：．
先利用勾股定理计算出，然后根据正弦、余弦和正切的定义对各选项进行判断．
本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角的正弦、余弦和正切的定义是解决问题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：设像到小孔的距离为，
由题意知，，
∽，

，
故选：．
设像到小孔的距离为，根据相似三角形对应边以及对应边上的高成比例得出方程求解即可．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：如图：连接，

由题意得：
，
，
，
，
是直角三角形，
，
在中，，，
，
故选：．
连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】
解：由勾股定理得：，，，
：：：：，
A、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与不相似；
B、三边之比：：：，图中的三角形阴影部分与相似；
C、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与不相似；
D、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与不相似．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：设此人所在的位置升高了米，
斜坡的坡度为：，
此人前进的水平距离为米，
由勾股定理得：，
解得：负值舍去，
此人所在的位置升高了米，
故选：．
设此人所在的位置升高了米，根据坡度的概念用表示出此人前进的水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：是公共角，
再加上，或都可判定∽，
是公共角，再加上，即，也可判定∽，
选项A、、都可判定∽．
而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．
故选：．
根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．

8.【答案】 

【解析】解：的位似比为的位似图形是，且，
当与在原点同侧时，即，
当与在原点异侧时，，即，
故选：．
分与在原点同侧和异侧两种情况结合位似图形的性质进行求解即可．
本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键：如果与是关于原点位似且位似比为的位似图形，那么的对应点的坐标为或．

9.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，，，
，
，
；
又为边上的中线，
为的中点，
，
故选：．
由可得∽，再由，，，可求的长．又为边上的中线，则为的中点，问题可求．
本题主要考查了相似三角形的性质，正确根据两个三角形相似写出对应的比例式，是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：设，
四边形是正方形，
，，
，
，
于点，
，
，
≌，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
故选：．
设，由，得，可证明≌，得，则，再证明∽，得，所以，，即可求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明≌及∽是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：在中，米，
米，
地毯的面积至少需要米；
故选：．
由三角函数表示出，得出的长度，由矩形的面积即可得出结果．
本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出是解决问题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：在正方形中，，，
，
，
四边形是矩形．
在中，，
，
是中点，

故正确；
四边形是矩形，
，，
平分，
，
，
．
在中，是的中点，
，，
，
，
，
≌，
，
，，
≌，
故正确；
≌，
，
，
，
，
即，
，
，
故正确；
如图，过点作于点，与交于点，

设，则，
，，，，
，
，
故正确；
故选：．
根据正方形的性质证明，进而得为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一性质得，故正确；
根据矩形性质得，，再证明≌得，进而证明≌，故正确；
由≌得，怀得，进而得，故正确；
如图，过点作于点，与交于点，设，则，，，，，由勾股定理得，再由三角形的面积公式得，便可判断的正误，
本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形和梯形的面积等内容，解题关键是综合利用以上知识解决问题．

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
．
故答案为：．
直接利用正切的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦的定义是解答本题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：设楼高为米，
根据题意得，，
解得：，
故答案为：．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

15.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
．
∽．
．
，．
设，则，

四边形为平行四边形，


又，
．
故答案为：．
由平行四边形的性质可证明∽，可求得和、的面积之间的关系，从而可求得和的面积之间的关系，可求得答案．
本题主要考查平行四边形和相似三角形的性质，根据条件找到和的关系是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：斜面坡度为：，，
，
则．
故答案为：
根据斜面坡度为：，斜坡的水平宽度为米，可得，，然后利用勾股定理求出的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题．

17.【答案】 

【解析】解：因为四边形是正方形，
所以，，
所以，，
故∽，
所以，
令正方形的边长为，
则，
解得，
经检验是原方程的解且符合题意，
故．
同理可得，，，
所以．
故答案为：．
利用相似依次求出，的长度，根据所发现的规律即可解决问题．
本题考查图案变化的规律，能够借助于相似三角形发现线段为正整数的长度变化规律是解题的关键．

18.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】根据特殊角的三角函数值进行解题即可．
本题考查特殊角的三角函数值的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．

19.【答案】  或 

【解析】解：所画图形如下所示，其中即为所求，根据平移规律：左平移个单位，可知的坐标；
故答案为：；
所画图形如下所示，其中即为所求，点的坐标为或．
故答案为：或．

先找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连结即可；接下来根据平移的规律即可写出点平移后的坐标；
根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可，注意有两种情况．
本题考查了平移变换和位似变换后图形的画法，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点．

20.【答案】解：作于，设，

在中，，
，
，
，解得，
，，
在中，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
答：的度数为，的值为；

为中线，
，
，
，
即的值为． 

【解析】作于，设，利用的正切可得到，则根据勾股定理得到，所以，解得，于是得到，，接着利用得到，则，最后计算得到的长；
利用为中线得到，则，然后根据正切的定义求解．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义．

21.【答案】证明：是的角平分线，
，
，
，
：∽；
解：∽，，，
，，
是的角平分线，
，
，
． 

【解析】由角平分线的定义可得，由得：，即可判定：∽；
由可得，再由三角形的内角和可求得，由角平分线的定义得，则可求得的度数，从而可求的度数．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件与性质并灵活运用．

22.【答案】解：四边形是矩形，理由如下：
四边形是菱形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是菱形，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
四边形是菱形，，
，
，
于，
，
，
，
∽，
，
，
：：，，
，，
． 

【解析】≌，可得，根据菱形的性质证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可解决问题；
证明∽，可得，然后根据：：，即可求出的长度．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．

23.【答案】解：过点作，垂足为，

由题意得：
，
设，则，
，
在中，，
，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
小山的高度为米． 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后设，则，从而可得，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

24.【答案】解：过点作于交的延长线于点，则米，

在中，米，，，，
米，
在中，，，
米，
米，
答：烽燧的高度约为米． 

【解析】过点作于交的延长线于点，则米，在中可求出，在中可求出，再利用即可得到答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，构造直角三角形，合理利用三角函数关系是解题的关键．

25.【答案】解：当时，：：，
，，
，
解得：；
即当时，；
能，
当∽时，有，
即：，
解得：，
，
当∽时，有，
即：，
解得：或舍去，
，
综上所述，当或时，与相似． 

【解析】当时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于，，，的比例关系式，我们可根据，的速度，用时间表示出，，然后根据得出的关系式求出的值；
分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和对应成比例以及和对应成比例两种情况．
本题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．