初中数学鲁教版 (五四制)六年级上册第二章 有理数及其运算5 有理数的减法学案

              有理数加减前知识点考点及练习              

1、如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ）

2、下列语句中正确的是（　）

Ａ数轴上的点只能表示整数　          Ｂ数轴上的点只能表示分数　

Ｃ数轴上的点只能表示有理数　        Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来

3、已知a、b都是有理数，且|a|=a，|b|=-b、，则ab是（     ）

A．负数         B.正数        C.负数或零       D.非负数

4、绝对值等于其相反数的数一定是（    ）

A．负数     B．正数      C．负数或零      D．正数或零

5、，则； ，则

6、某大楼地上共有12层，地下共有4层，每层高2.8米，请用正负数表示这栋楼每层的楼层号，某人乘电梯从地下3层升至地上7层，电梯一共上了多少米？

一、正数和负数

知识点1 负数的引入

正数和负数：表示_____________的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

知识点2 正数和负数的概念

（1）    像3、1.5、、58等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。

（2）    像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。

（3）    零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。

注意：（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。

（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。

知识点3 有理数的有关概念

（1）    有理数：整数和分数统称为有理数。

注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。

          （2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

          （3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。

（2）    整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。

（3）    分数包括正分数和负分数，例如：、、0.6、－、－、－0.6等等。

知识点4 有理数的分类

（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：

注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a>0表明a是正数；a<0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。

二、            数轴

数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想。正如华罗庚教授诗云：

   数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数缺形时少直觉，形少数是难入微。

数形结合百般好，隔裂分家万事非。

切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！

数与形的第一次联姻——数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系，揭示了数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础。

知识点1 数轴的概念

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴

数轴的定义包含三层含义：

一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；

二，数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；

三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）；

四，注意下标单位，上标数。

知识点2 数轴的画法

（1）画一条直线（一般画成水平的直线）。

（2）在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。

（3）确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。

（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3……

注 （1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；

       （2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，6，……；从原点向左，依次表示为－2，－4，－6，……；

知识点3 数轴上的点与有理数的关系

所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。

知识点4 利用数轴比较有理数的大小

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数______。正数都大于0；负数都小于0；正数______一切负数。

知识点5 数形结合思想解决问题

数轴是将有理数具体化的工具，主要用于研究距离问题。

三、相反数

知识点1 相反数的概念

（1）相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。如下图，4与－4互为相反数，与－互为相反数。

（2）相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

知识点2 相反数的表示方法

一般地，数a的相反数是－a。这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者0。

知识点3 多重符号的化简

（1）在一个数的前面添上一个“＋”号，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。

（2）在一个数的前面添上一个“－”号，就成为原数的相反数。如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3。

四、绝对值

知识点1 绝对值的概念

（1）绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作“”；有。

（2）绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即

知识点2 两个负数大小的比较

因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小。

比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝对值的大小；三、根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。

知识点3 有理数大小的比较法则

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

知识点4 的几何意义

是表示数a的点与表示数b的点的距离，因此有。

五、有理数的运算

（1）、有理数的加法

知识点1 有理数的加法

把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。

相加的两个有理数有以下几种情况：（1）两数都是正数；（2）两数都是负数；（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；（4）一个是正数，一个是0；（5）一个是负数，一个是0；（6）两个都是0。

知识点2 有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

知识点3 有理数加法的运算定律

（1）加法交换律：。

（2）加法结合律：。

（2）、有理数的减法

知识点1 有理数减法的意义

有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。

知识点2 有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即

（3）、有理数的加减混合运算

知识点1 有理数加减法统一成加法的意义

对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。

知识点2 有理数加减混合运算的方法

一、运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

二、运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。

1、三个重要的定义

（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；

（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；

（3）0即不是正数也不是负数，0是一个具有特殊意义的数字，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。

例1 下列说法正确的是(        )

    A、一个数前面有“－”号，这个数就是负数；      B、非负数就是正数；       

 C、一个数前面没有“－”号，这个数就是正数；    D、0既不是正数也不是负数；

例2 把下列各数填在相应的大括号中    8，，0.125，0，，，，

正数集合：（                                         ...）

负数集合：（                                         ...）

分数集合：（                                         ...）

正整数集合                     

整数集合                  

负整数集合                   

正分数集合                  

例3 如果向南走米记为是米，那么向北走米记为是 ____________, 0米的意义是______________。

例4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么克表示_________________________

例5 若 ，则是              ；若，则是              ；若，则是              ；若，则是              ；（填正数、负数或0）

2、有理数的概念及分类

例6 若为无限不循环小数且，是的小数部分，则是（      ）

A、无理数      B、整数        C、有理数       D、不能确定

例7 若为有理数，则不可能是（      ）

     A、整数        B、整数和分数       C、    D、

3、数轴

例8 在数轴上表示数3的点到表示数的点之间的距离是10，则数                ；若在数轴上表示数3的点到表示数的点之间的距离是，则数                。

例9  a,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（       ）

A、 a+b＜0    B、 ab＜0    C、＜0     D、

例10 下列数轴画正确的是（    ）

例11：在数轴上分别画出表示下列各数的点，并把各数用“<”连接起来。

4、相反数 

例12 下列说法正确的是（    ）

A、若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数；

B、如果两个数互为相反数，则它们的商为-1；

C、如果+=0，则数和数互为相反数；

D、互为相反数的两个数一定不相等；

例13  求出下列各数的相反数

①                ②           ③           ④

例14  化简下列各数的符号

①         ②        ③      ④

5、绝对值

例15 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是(       )

    A、互为相反数    B、相等         C、积为0          D、互为相反数或相等

例16  已知ab>0,试求的值。

例17 若|x|=-x，则x是_________数；

例18  将下列各数从大到小排列起来

0、   、   、

例19  如果两个数和的绝对值相等，则下列说法正确的是（      ）

     A、    B、       C、         D、不能确定

二、有理数的运算

1、有理数的加法

例20  计算下列各式      

①  （– 4）+7          ② +

例21 计算下列各式

（4）        （5）

2、有理数的减法

例22  计算：

例23  月球表面的温度中午是，半夜是，中午比半夜高多少度？

例24  已知是6的相反数，比的相反数小5，求比大多少？

1.思考一下什么是相反数、绝对值、倒数、数轴

2.有理数加法先确定________，再确定__________

3.有理数减法怎么计算呢？

1.  已知是2的相反数，则=_________。
2.  计算：______；_______；_________。
3.  7的相反数与12的-12的绝对值的和是__________。
4.  计算下列各题：

5. 正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，标准质量为400g。下面是5个足球的质量检测结果（用正数表示超过标准质量的克数，用负数表示不足标准质量的克数）：，，，，

（1）写出每个足球的质量；

（2）请指出那个足球的质量更好一些，并用你所学的知识说明理由。

6. 计算：