山东省菏泽市经开区多校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份山东省菏泽市经开区多校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省菏泽市经开区多校联考九年级（上）月考数学试卷（10月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程中，属于一元二次方程的是(    )A.  B.  C.  D. 2.在数学活动课上，老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是(    )A. 测量四边形的三个角是否为直角 B. 测量四边形的两组对边是否相等
C. 测量四边形的对角线是否互相平分 D. 测量四边形的其中一组邻边是否相等3.根据下列表格的对应值，判断方程为常数的一个解的范围是(    ) A.  B.  C.  D. 4.如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为(    )

 A.  B.  C.  D. 5.如图，在任意四边形中，，，，分别是，，，上的点，对于四边形的形状，以下结论中，错误的是(    )A. 当，，，是各边中点，四边一定为平行四边形
B. 当，，，是各边中点，且时，四边形为正方形
C. 当，、，是各边中点，且时，四边形为菱形
D. 当，、、是各边中点，且时，四边形为矩形
 6.受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格六月底是元升，八月底是元升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是(    )A.  B.
C.  D. 7.如图所示，在正方形中，是对角线上一点，过作，，垂足分别为、，连接，若，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 8.如图，在正方形外取一点，连接、、过点作的垂线交于点若，下列结论：
≌；  
；
点到直线的距离为；
其中正确结论的序号是(    )

 A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.若是关于的一元二次方程的解，则的值为______ ．10.如图所示，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点，连接交于点，连接若，，则四边形的面积为______ ．
 11.对于实数，，定义运算“”：，例如：根据此定义，则方程的根为______．12.如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上，若，，则的长为______ ．
 13.已知实数，满足，则代数式的最小值等于______．14.如图，正方形边长为，点在边上，不与，重合，将沿直线折叠，点落在处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，给出下列四个结论：
≌；
；
点是直线上动点，则的最小值为；
当时，的面积为，
其中正确的结论是______ 填写序号
三、解答题（本大题共9小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.本小题分
解下列方程：
用配方法解一元二次方程：；
用因式分解法解方程；
用公式法解方程；
用合适的方法解方程．16.本小题分

在菱形中，，，求的长．
17.本小题分

在矩形中，，，求矩形的面积．
18.本小题分
如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，于点，连接，，．
求证：四边形是菱形．
求的周长
19.本小题分

如图，将平行四边形的边延长到点，使，连接，交于点．
求证：；
若，连接，求证：四边形是矩形．
20.本小题分
已知关于的一元二次方程．
判断方程根的情况，并说明理由；
若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根．21.本小题分
阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，，
当，时，；
当，时，；
原方程有四个根：，，，，
在由原方程得到方程的过程中，利用______法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
试用上述方法解方程．22.本小题分
如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的角平分线于点，交的外角平分线于点．
求证：；
当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．
23.本小题分
问题解决：如图，在矩形中，点，分别在，边上，，于点．

求证：四边形是正方形；
延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：只含有一个未知数且最高次数为，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；
B.，含有两个未知数且最高次数为，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C.为分式方程，故该选项不符合题意；
D.是一元一次方程，故该选项不符合题意．
故选：．
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是；是整式方程．据此解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．2.【答案】 【解析】解：、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；
C、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量四边形的其中一组邻边是否相等，不能判定形状；不符合题意；
故选：．
根据矩形的判定定理即可得到结论．
本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小．3.【答案】 【解析】解：，，
，，
时，，
即方程为常数的一个解的范围是．
故选：．
利用，，而，，则可判断方程为常数的一个解的范围是．
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．4.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得根据菱形的性质得为的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．
【解答】
解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
菱形的面积．
故选C．5.【答案】 【解析】解：连接、交于点，
，，，是各边中点，
，，，，
，，
四边一定为平行四边形，说法正确，不符合题意；
时，四边形不一定为正方形，说法错误，符合题意；
时，，
四边形为菱形，说法正确，不符合题意；
时，，
四边形为矩形，说法正确，不符合题意；
故选B．
连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．6.【答案】 【解析】解：依题意得，
故选：．
利用该地号汽油八月底的价格该地号汽油六月底的价格该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】 【解析】解：延长交于，延长交于，

，，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
正方形，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
．
故选：．
根据矩形的性质和判定，正方形的性质求出，，求出，证≌，推出，即可得解．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．8.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．
利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；
利用中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；
过作，交的延长线于，利用中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；
根据三角形全等可得，代入计算即可；

【解答】
解：，，

，
又，，
在和中，
，
≌；
故此选项成立；
≌，
，
，，
，
；
故此选项成立；
过作，交的延长线于，
，，
，
又中，，
，
又，
，
点到直线的距离为．
故此选项不正确；
如图，连接，在中，

，
，
又，
，
≌，
，
故此选项正确．
正确的有，
故选B．9.【答案】 【解析】解：将代入原方程得：，
，
．
故答案为：．
将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，求出是解题的关键．10.【答案】 【解析】解：由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，
，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故答案为．
通过证明四边形是菱形，可得，，，由勾股定理，即可求的长，然后计算菱形的面积即可．
本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，证明四边形是菱形是解题的关键．11.【答案】， 【解析】解：，
则，
，
解得：，．
故答案为：，．
直接利用新定义运算公式将原式变形，进而解方程得出答案．
此题主要考查了实数运算以及解一元二次方程，正确解方程是解题关键．12.【答案】 【解析】解：根据折叠的性质可知，，
设，则，
，
，
解得：，
，
．
故答案为：．
根据折叠的性质可知，，利用勾股定理求出，从而得出即可．
本题考查翻折变换，掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．13.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于，即可确定出最小值．
【解答】
解：，即，，
原式，
则代数式的最小值等于．
故答案为．14.【答案】 【解析】解：四边形为正方形，
，，
由旋转知，，，
，
≌，
故正确；
过作于，如图所示，

由折叠知，，
是等腰三角形，
平分，
又，
，
，
故正确；
连接、、，由对称性知，
，当、、共线时取最小值，最小值为的长度，
由勾股定理可得，
即的最小值为，
故错误；
过点作于，如图所示，


，
，
由折叠可知，
，
即，
，
，
，
由折叠知，，
，
，
，
的面积为，
故正确，
故答案为：．
根据全等三角形判定即可判断；过作于，利用等腰三角形性质及折叠性质得，再等量代换即可判断；连接、、，由对称性知，，知、、共线时取最小值，最小值为长度，勾股定理求解，即可判断；过点作于，则，借助含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，的长度，利用三角形面积公式求解即可判断．
本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定、折叠性质、旋转的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，综合性较强，数形结合和准确计算是解题的关键．15.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
，
，
则，
或，
解得，；
，，，
，
则，
，；
，
，
，，，
，
则，
即，． 【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
利用公式法求解即可；
先移项，再利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．16.【答案】解：四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
即的长为． 【解析】由菱形的性质得出，，，再证是等边三角形，得，则，然后由勾股定理求出的长，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．17.【答案】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
矩形的面积． 【解析】由矩形性质得出，，，，，，推出，得出等边三角形，由勾股定理求出即可，由矩形的面积公式即可得出结果．
本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点；关键是求出的长．18.【答案】证明：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
是直角三角形，且，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，
，
，，
即，
，
的周长为． 【解析】由平行四边形的性质和勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，则，即可得出结论；
由菱形面积公式求出的长，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
；
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形． 【解析】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定．
根据平行四边形的性质得到，，然后根据，得到，，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；
由的结论先证得四边形是平行四边形，通过角的关系得出，，证得结论．20.【答案】解：方程有两个不相等的实数根．
关于的一元二次方程中，
，，，
，
，
，
原方程有两个不相等的实数根．
是方程的一个根，
，
；
设方程的另一个根为，
，
．
，方程的另一个根为． 【解析】求出的值，再根据根的判别式判断即可；
把代入方程，求出的值，再设方程的另一个根为，根据根与系数的关系求出的值即可．
本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键．21.【答案】换元 【解析】解：在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；
故答案为换元；
设，原方程可变为，解得，，
当时，，
即，解得，；
当时，，即，，方程没有实数解；
所以原方程的根为：，．
利用换元法把高次方程转化为二次方程；
设，原方程可变为，解得，，则原方程转化为和，然后解两个一元二次方程即可．
本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．也考查了解一元二次方程和根的判别式．22.【答案】解：

，
，
又平分，
，
，
，
同理：，
                                               
当点运动到的中点时，四边形是矩形．            
当点运动到的中点时，，
又，
四边形是平行四边形，
由可知，，
，
，即，
四边形是矩形．                                  
当点运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．                                                 
由知，当点运动到的中点时，四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是正方形． 【解析】由平行线的性质和角平分线的定义得出，，得出，，即可得出结论；
先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；
由对角线垂直的矩形是正方形，得出即可．
本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的性质；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．23.【答案】证明：如图中，

四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形；

解：结论：是等腰三角形，
理由：四边形是正方形，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
类比迁移：解：延长到点，使，连接，

四边形是菱形，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
，
． 【解析】根据矩形的性质得，由等角的余角相等可得，利用可得≌，由全等三角形的性质得，即可得四边形是正方形；
利用可得≌，由全等三角形的性质得，由已知可得，根据线段垂直平分线的性质可得即可得，是等腰三角形；
类比迁移：延长到点，使，连接，利用可得≌，由全等三角形的性质得，，由已知可得，可得是等边三角形，则，等量代换可得．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．