2024武汉部分学校高三10月调研考试数学试题及答案

这是一份2024武汉部分学校高三10月调研考试数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
武汉十调一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．复数，则（    ）A． B． C． D．3．两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（    ）A． B． C． D．4．要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位5．某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为cm），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：）为（    ）  A． B． C． D．6．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（    ）A．49% B．51% C．65.7% D．72.9%7．过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（    ）A． B． C． D．8．已知是半径为的球体表面上的四点，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D． 二、多选题9．四个实数，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的可能取值有（    ）A． B． C． D．10．直线过抛物线的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（    ）A． B．抛物线E的准线方程是C．以MN为直径的圆与定直线相切 D．的大小为定值11．已知实数a，b满足，则（    ）A． B． C． D．12．若函数存在连续四个相邻且依次能构成等差数列的零点，则实数k的可能取值有（    ）A． B． C．0 D． 三、填空题13．的展开式中含项的系数为        ．14．圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是        ．15．若函数是上的增函数，则实数a的最大值为        ． 16．甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则        ；        ．  四、解答题17．记数列的前n项和为，对任意正整数n，有．(1)证明：数列为常数列；(2)求数列的前n项和．18．设的内角所对的边分别为，且．(1)求角；(2)若，且的内切圆半径，求的面积．19．近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险知识越来越引起人们的重视．某校为考察学生对紧急避险知识的掌握情况，从全校学生中选取200名学生进行紧急避险知识测试，其中男生110名，女生90名．所有学生的测试成绩都在区间范围内，由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图．  (1)若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中m的值；(2)规定测试成绩不低于80分为优秀，已知共有45名男生成绩优秀，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？性别测试成绩合计优秀不优秀 男生45  女生   合计   参考公式与数据：0.10.050.012.7063.8416.63520．如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD满足，，，棱PD上的点E满足．   (1)证明：直线平面PAB；(2)若，，且，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．21．椭圆的左顶点为，右顶点为，满足，且椭圆的离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点在椭圆的内部，直线和直线分别与椭圆交于另外的点和点，若的面积为，求的值．22．已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若，，且有两个极值点，分别为和，求的最小值．
参考答案：1．B【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式，得，即，而，所以.故选：B2．C【分析】利用复数除法求出复数，再利用共轭复数与复数加减法的意义求解作答.【详解】依题意，，于是，所以.故选：C3．D【分析】由题意可得，，根据可得，设与的夹角为，利用即可求解.【详解】由题意可得，，且，所以.设与的夹角为，，则,所以.故选；D.4．B【分析】，根据三角函数图象的平移变换即可求解.【详解】因为,所以将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象.故选:B.5．A【分析】根据给定条件，利用柱体体积公式、台体体积公式计算作答.【详解】依题意，该玻璃杯所用玻璃的体积为.故选：A6．C【分析】根据给定的函数模型，结合已知数据列出方程求解作答.【详解】依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为，于是，解得，因此前6小时过滤后剩余污染物数量为，所以前6小时共能过滤掉污染物的.故选：C7．C【分析】取线段中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答.【详解】令双曲线的右焦点为，半焦距为c，取线段中点，连接，  因为切圆于，则，有，因为，则有，，而为的中点，于是，即，，在中，，整理得，所以双曲线E的离心率.故选：C8．B【分析】设球心为，分别取，的外接圆圆心为，连接，证得为中点，平面与平面的夹角即为的余角，解，即可得解.【详解】设球心为，分别取，的外接圆圆心为，连接，  ∵，∴点为中点，则，由为外心，故，则，由题意可得平面，故平面与平面的夹角，即为的余角.在中，，，则由正弦定理可得，由球的半径为，故，,由平面，平面，可得，则中，,即，故平面与平面的夹角为，故其余弦值为.故选:B.9．ABD【分析】根据题意，结合等比数列的性质，分情况讨论，即可得到结果.【详解】因为等比数列所有奇数项符号相同，所有偶数项符号也相同，当对应等比数列的第一项与第二项时，则第三，四项分别为，此时，当对应等比数列的第一项与第四项时，此时，当对应等比数列的第三项与第四项时，则第一，二项分别为，此时，当对应等比数列的第三项与第二项时，此时，当对应等比数列的第二项与第三项时，此时，当对应等比数列的第二项与第一项时，则第三，四项分别为，此时，当对应等比数列的第四项与第三项时，则第一，二项分别为，此时，当对应等比数列的第四项与第一项时，此时，故选：ABD10．BC【分析】由直线过定点，得到，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B正确；过点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到，可判定C正确；联立方程组，结合韦达定理，得到，求得，可判定D错误.【详解】对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点，因为抛物线的焦点在直线上，可得，则，所以A错误；对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B正确；对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为点，过点作准线的垂线，垂足为，可得，故以MN为直径的圆与准线相切，所以C正确；对于D中，设，联立方程组，整理得，，，可得，则，则，但的大小不是定值，设，而，则，则，而，并不是定值，所以D错误.故选：BC.  11．AD【分析】先由题意可知，由，得，构造函数，得，再对四个选项逐一分析即可.【详解】由题意可得，则由，得.对于A：设，，则在区间上，，为增函数，所以由题意可得，所以，故A正确；对于B：由，得,故B错误；对于C：由A可知在区间上为增函数，且，则，即,则,由,得,令,则,所以在上单调递增,所以,所以,故C错误；对于D：又,令,则,所以在上单调递增,所以，所以,又，且,令，根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且，所以，综上可得，故D正确；故选:AD.【点睛】关键点睛：本题关键点在于构造函数，利用导数求其单调性，从而可得.12．ACD【分析】利用函数零点的定义分离参数，构造函数并求出函数值域确定的范围，再逐项分析并结合等差数列的意义判断作答.【详解】由，得，令，显然函数是偶函数，是周期为的周期函数，而，则当时，，当时，，因此，当时，，于是函数的所有零点从小到大排成一列构成公差为的等差数列，A正确；当时，，显然此方程在余弦函数的周期长的区间内只有两个根，取，则方程在内有4个根，显然有，于是，，即有，则不成等差数列，由周期性知，当时，函数不存在连接4个零点依次构成等差数列，B错误；当时，或，取函数的4个连续零点为，显然成等差数列，C正确；当时，或，令，则函数在内有4个零点，并满足，且，显然，，，显然，，因此，所以成等差数列，D正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：涉及给值求角问题，关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．13．【分析】求得二项式的展开式的通项为，根据题意，进而求得项的系数，得到答案.【详解】由二项式的展开式的通项为，所以的展开式中含项的系数为.故答案为：.14．【分析】根据给定条件，求出过切点的圆半径所在直线方程，进而求出圆心坐标即可作答.【详解】依题意，过切点的圆的半径所在直线方程为，即，由解得，因此所求圆的圆心为，半径，所以所求圆的方程为.故答案为：15．【分析】确定函数定义域，问题转化为在上恒成立，即，设，求得函数的最值，从而可得实数a的最值.【详解】的定义域为，若在上单调递增，则恒成立，即设，则，当时，，函数在上单调递减;时，，函数在上单调递增，故，所以，故实数a的最大值为.故答案为：.16．          【分析】结合相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，结合题意，利用列举法和分类讨论，即可求解.【详解】由题意，当投掷3次骰子后，球在甲手中，共有4中情况：①：甲甲甲甲，其概率为 ②：甲甲乙甲，其概率为③：甲乙甲甲，其概率为④：甲乙丙甲，其概率为所以投掷3次后，球在甲手中的概率为.记当投掷次骰子后，球在甲手中的概率为，再三次投掷后，即投掷次，球仍在甲手中的概率为，则，即，即又因为，当时，；当时，；当时，，所以.故答案为：；.17．(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合计算推理作答.（2）由（1）求出数列的通项，再利用裂项相消法求和作答.【详解】（1）依题意，，，两式相减得：，即，整理得，即，因此，所以数列是常数列.（2）当时，，解得，由（1）得：，于是，则，所以.18．(1)；(2). 【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换求出，即可求;(2)利用余弦定理和三角形的面积公式求出，即可求面积.【详解】（1）由正弦定理得： ，即，即，即.因为，所以，所以.因为，所以.（2）面积，代入，和，整理得：①，由余弦定理：，得： ，即②，①②联立可得：，解得：或（舍去），所以.19．(1)；(2)列联表见解析，男生和女生的测试成绩优秀率没有差异. 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，估计平均数及中位数即可列式作答.（2）完善列联表，求出的观测值，并与临界值表比对作答.【详解】（1）依题意，频率分布直方图中左起第一个小矩形的高为：，样本平均数的估计值为：，显然数据落在区间的频率为，落在的频率为，因此样本中位数在区间内，其估计值为；，则，解得，所以.（2）总的成绩优秀人数为：，得到列联表为：性别测试成绩合计优秀不优秀男生4565110女生256590合计70130200于是的观测值为，所以根据小概率值的独立性检验，认为男生和女生的测试成绩优秀率没有差异.20．(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）连接，过C做，交BD于T点，先利用三角形全等证得，再根据三角形的余弦定理求得BD，再由，证明平面平面即可得证.（2）根据三角形的余弦定理及边长关系证明平面，以O为原点，OC，OD，OP所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，后根据线面角的坐标求法代入即可求解.【详解】（1）解：由题意得：连接，过C做，交BD于T点，如图所示：   ，， 又 在中，解得：平面，平面，平面，平面， 平面，平面又相交于点平面平面平面直线平面PAB（2）连接AC交BD于O点在和中，由可得，即解得：，满足，所以又又有AC交BD于O点，所以平面，满足PO，CO，DO两两垂直故以O为原点，OC，OD，OP所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系则，，，于是有，设平面的法向量为，由取又故所求角的正弦值为所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.  21．(1)；(2). 【分析】（1）依题意，则，又,得，从而求得椭圆方程；（2）先求出直线的方程，与椭圆方程联立，求得点的纵坐标，同理可得点的纵坐标，由,可得的值．【详解】（1）由题意,,得.离心率,得，所以椭圆的标准方程为；（2）设，点,直线的方程为,即.与椭圆方程联立得:,解得:.点,直线的方程为.与椭圆方程联立得:,解得: .三角形面积比.又因为,所以 ，由题意, ,整理得,解得:或.又由点在椭圆内部,故,即.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为（或）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)在和上单调递增，在上单调递减；(2). 【分析】（1）时，，利用导数研究单调性即可；（2）令，可得是关于的方程的两个实根，易得，，化简①.令，①式化为，设，利用导数求其最小值即可.【详解】（1）时，，，令，可得或，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以在和上单调递增，在上单调递减.（2），令，可得.由题意可得，是关于的方程的两个实根，所以.由，有，所以.将代入上式，得，同理可得.所以①.令，①式化为，设，即，则，记，则.记，则，所以在上单调递增，所以，所以，在上单调递增，所以.所以，在上单调递减.又 ，当且仅当且，即时，取到最大值，即的最大值为2.因为在上单调递减，所以.所以的最小值为.【点睛】总结点睛：利用导数研究函数的最值点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．