新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题8 利用均值不等式求圆锥曲线中的最值（含解析）

专题8 利用均值不等式求圆锥曲线中的最值

一、考情分析

与圆锥曲线有关的最值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐，其中利用均值不等式求圆锥曲线中的最值是一类常见问题，求解时常涉及函数与方程、化归转化等数学思想．

二、解题秘籍

(一) 利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略

利用均值不等式求圆锥曲线中的最值，一是直接根据圆锥曲线中的和（积）为定值的性质求积（和）的最大（小）值，如根据椭圆中为定值，可求的最大值，二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解这类问题的核心是建立参数之间的等量关系.

【例1】（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆：，，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线，交于M，N两点，为坐标原点，记，的面积分别为，，求的最小值．

【解析】（1）因为点在椭圆上，所以，①

因为点在椭圆外，且，所以，即，②

由①②解得，，

故椭圆的方程为．

（2）设点，，设直线：，

由椭圆性质以及点的横坐标大于1可知，，

将直线代入方程并化简可得，，

即，

因为直线与椭圆有且仅有一个交点，

所以，即．

直线的方程为：；直线的方程为：，

联立方程得，同理得，

所以，

所以，，

所以

，

令，则，

当且仅当，即时，不等式取等号，

故当时，取得最小值．

【例2】已知椭圆：的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值.

【解析】（1），，

由椭圆过点得，解得，，

∴椭圆的方程为.

（2）直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线l的距离d满足，解得，

当的斜率存在时，设：，，，圆心为原点

则有，∴.

将方程代入椭圆方程中整理得：，

∴，，

，

∴，当且仅当，即时取等号.

当的斜率不存在时，则：，过椭圆的左、右顶点，此时直线与椭圆只有一个交点，不符合题意.

∴面积的最大值为2.

(二) 把距离或长度用单变量表示，然后利用均值不等式求最值.

此类问题通常利用两点间距离或弦长公式，把距离或长度表示成关于直线斜率、截距或点的横坐标（纵坐标）的函数，然后利用均值不等式求最值.

【例3】已知圆C过定点A（0，p）(p＞0)，圆心C在抛物线x2＝2py上运动，若MN为圆C在x轴上截得的弦，设｜AM｜＝m，｜AN｜＝n，∠MAN＝θ.

(1)当点C运动时，｜MN｜是否变化？试证明你的结论；

(2)求的最大值.

【解析】（1）设，则，故圆的方程 ，令有，故，解得，，故不变化，为定值

（2）由（1）不妨设，故，，故，当且仅当，即时取等号.故的最大值为

(三) 把面积表示为单变量函数，然后利用基本不等式求值

该类问题求解的基本思路是把三角形面积表示成关于直线斜率与截距的函数，然后利用均值不等式求最值.

【例4】（2022届陕西省汉中市高三上学期质量检测）已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值（O为坐标原点）

【解析】（1）由椭圆的定义，

可知

解得，又.

椭圆C的标准方程为.

（2）设直线l的方程为，

联立椭圆方程，得，

，得

设，则，

，

点到直线的距离，

.

当且仅当，即时取等号；

面积的最大值为.

(四) 把面积用双变量表示，然后利用均值不等式求最值

求解该类问题通常先建立两个变量之间的等量关系，然后利用和或积为定值，借助均值不等式求最值.

【例5】（2022届湖南省长沙市高三上学期11月月考）已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点.直线不经过原点，且与椭圆交于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积的最大值，并求当面积最大时的取值范围.

【解析】（1），.

将代入得，

椭圆方程为.

（2）设，

与椭圆联立得：，

所以.

则，

因为，故，

所以

当且仅当时取等号，此时，符合题意.

所以，即面积的最大值为.

当不存在时，设，则，当时取等号.

综上，面积的最大值为1

当面积最大时：

若存在，则此时，

则，

若不存在，则此时.

综上，.．

(五)与斜率有关的最值问题

与斜率有关的最值问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解.

【例6】（2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2．

(1)求的方程；

(2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值．

【解析】（1）抛物线的焦点，准线方程为，

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，

所以该抛物线的方程为；

（2）设，则，

所以，

由在抛物线上可得，即，

据此整理可得点的轨迹方程为，

所以直线的斜率，

当时，；

当时，，

当时，因为，

此时，当且仅当，即时，等号成立；

当时，；

综上，直线的斜率的最大值为.

(六)与数量积有关的最值问题

求解与数量积有关的最值问题，通常利用数量积的定义或坐标运算，把数量积表示成某个变量的函数，然后再利用均值不等式求最值.

【例7】设椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C，曲线C的两条切线PA、PB交于点P，且与C分别切于A、B两点，求的最小值．

【解析】设椭圆的两切线为，．

①当轴或 轴时，对应 轴或轴，可知切点为；

②当与x轴不垂直且不平行时，，设的斜率为k，则，

的斜率为，并设 的交点为 ，

则的方程为，联立，

得： ，

∵直线与椭圆相切，∴，得，

∴，

∴k是方程的一个根，

同理是方程的另一个根，

∴得，其中，

∴交点的轨迹方程为：，∵也满足上式；

综上知：轨迹C方程为；

设 ，，则在与中应用余弦定理知，

，

即 ，即，

，

令，则，

，

当且仅当，即时，取得最小；

综上，的最小为.

三、跟踪检测

1．（2023届山东省青岛市高三上学期检测）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.

(1)求轨迹的方程；

(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.

（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；

（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.

【解析】（1）设动圆的半径为，圆心的坐标为

由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.

动圆与圆内切，且与圆外切，

动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，

其中

从而轨迹的方程为：

（2）（i）设直线的方程为，则

由可得：

直线的方程为，

令可得点的横坐标为：

为一个定点，其坐标为

（ii）根据（i）可进一步求得：

.

，

则

，

四边形面积

（法一）

等号当且仅当时取，即时，

（法二）令，

则

当，即时，

2．已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及、．

(1)求椭圆的方程；

(2)求证：为定值；

(3)求的最小值．

【解析】（1）由，得，

，．①，

由椭圆过点知，②．

联立①②式解得，．

故椭圆的方程是．

（2）为定值．

证明：椭圆的右焦点为，分两种情况．

不妨设当的斜率不存在时，，

则．此时，，；

当直线的斜率存在时，

设，则．

又设点，，，．

联立方程组，

消去并化简得，

，，

，

由题知，直线的斜率为，

同理可得

所以为定值．

（3）

解：由（2）知，

，

当且仅当，即，即，时取等号，

的最小值为．

3．（2023届四川省隆昌市第一中学高三上学期考试）已知离心率为的椭圆过点，抛物线．

(1)若抛物线的焦点恰为椭圆的右顶点，求抛物线方程；

(2)若椭圆与抛物线在第一象限的交点为，过但不经过原点的直线交椭圆于，交抛物线于，且，求的最大值，并求出此时直线的斜率．

【解析】（1）由设，，所以将点代入椭圆得：

椭圆，所以的右顶点为，依题意，所以抛物线方程为；

（2）设直线的方程为，，，，

联立，消去整理得，显然

则，所以，；

联立，消去整理得，，且

由抛物线方程得，所以点坐标为，

将点代入椭圆方程有：整理得：，令，则，

当且仅当即，即直线的斜率时取等号，

所以，，，即的最大值为，此时直线的斜率为．

4．平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，过焦点的最短弦长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)斜率为的直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的点，求的面积的最大值.

【解析】（1）由题意得，

故椭圆的标准方程为；

（2）设直线的方程为，则

，，

，设，

，

当时，

当到的距离最大时，点在第二象限且过点的切线正好与平行，

设切线方程为，，

，

由得，此时，

到的距离最大为，

故的面积，

则，

故，当且仅当时取等号.

当时，

当到的距离最大时，点在第四象限且过点的切线正好与平行，

设切线方程为，，

，

由得，此时，

到的距离最大为，

故的面积，

则，

故，当且仅当时取等号.

所以的面积的最大值为.

5．平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切．圆心的轨迹记为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)设为曲线上的两点，记中点为，过作的垂线交轴于．

①求；

②当时，求的最大值．

【解析】（1）设，由题意，则到的距离等于到的距离，故的轨迹为抛物线；

（2）设，则，

①故，

，令，得

，故，即，

②由题意，即

，故．

6．已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.

(1)求证：；

(2)求证：为定值，并求出该定值；

(3)求的最大值.

【解析】（1）联立与得：，

由直线与椭圆有一个公共点可知：，

化简得：；

（2）由题意得：，

因为，所以∥，故，

其中，，

所以，

为定值，该定值为1；

（3）

，

由题意得：点在直线的同侧，

所以，

，（其中为的夹角），

由此可知：，

当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为4.

7.（2022届广东省佛山市高三上学期12月模拟）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程;

（2）若点都在椭圆上，且中点在线段(不包括端点)上.求面积的最大值.

【解析】（1）离心率，将代入椭圆方程，可得，又 ，

∴联立上述方程，可得：， ，

∴椭圆方程为；

（2）设可得：，

相减可得：，

由题意，，即，

∴直线的斜率，

故可设直线为，代入椭圆方程可得：，

由，解得，

∴，

，

又到的距离为，

∴面积为，

当且仅当，即时，取得最大值.

8．（2022届衡水金卷高三一轮复习摸底测试）已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为.

（1）求椭圆的标准方程﹔

（2）设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围.

【解析】（1）由已知条件得：，令，得，

由题意知：，解得，

∴椭圆的标准方程为，

（2）①当直线的斜率不存在时，显然不合题意；

②当直线斜率存在时，设，

当时，此时关于y轴对称，令，

∴且，则，又，

∴，解得或(舍)，则符合题设.

∴此时有；

当时，则，得，，

设，则，得，，

且，

由，即，

∴，整理得，解得（舍去），

代入得：，

∴为，得：，

则线段的中垂线为，

∴在轴上截距，而，

∴且，

综合①②:线段的中垂线在轴上的截距的取值范围是.

9．（2022届河北省高三上学期12月教学质量监测）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）不过的直线与交于､两点，若直线的斜率是直线､斜率的等差中项，直线和线段的垂直平分线与轴分别交于､，求的最小值.

【解析】（1）由椭圆的定义知，点在以，为焦点且的椭圆上，

所以其方程为：

（2）由题意得直线的斜率存在且不为0.

直线的方程为，，，

直线方程与椭圆方程联立得得，

所以得

，

由题意得，即

整理得

∵直线不过，∴，

∴，∴

∵，∴，解得或

线段的中点为，线段中垂线方程为

当时，，直线与轴交点的纵坐标

，或

当时，最小，最小值为2.

10．已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）过点的直线与曲线交于两点.关于轴的对称点为，求面积的最大值.

【解析】（1）依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，

设圆的半径为，则有，，因此，，

于是得点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，此时，焦距，短半轴长b有：，

所以动圆圆心的轨迹的方程为：.

（2）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，

由消去得：，则，，

点关于轴的对称点，，，如图，

显然与在3的两侧，即与同号，

于是得

，

当且仅当，即时取“=”，因此，当时，，

所以面积的最大值.

11．已知椭圆：（）的离心率为，分别过左、右焦点，作两条平行直线和.

（1）求和之间距离的最大值；

（2）设与的一个交点为，与的一个交点为，且，位于轴同侧，求四边形面积的最大值.

【解析】（1）∵椭圆：（）的离心率为，且，

∴，

∴，

设直线：；直线：.

∴和之间距离，

当时，；

（2）根据题意，不妨设直线与椭圆交于A、D两点，直线与椭圆交于B、N两点，

则，且，即四边形ABND为平行四边形，

∴四边形面积为四边形ABND面积的一半，

由（1）知，，

联立方程

则，

∴，

∴ ，

∴，

令，

，

∵，∴，

∴，当且仅当时，取等号.

故四边形面积的最大值.

12．（2022届广西玉林市、贵港市高三12月模拟）设椭圆过，两点，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由．

【解析】（1）将，的坐标代入椭圆的方程得，

解得，．

所以椭圆的方程为．

（2）假设满足题意的圆存在，其方程为，其中，

设该圆的任意一条切线和椭圆交于，两点，

当直线的斜率存在时，令直线的方程为，①

将其代入椭圆的方程并整理得，

由韦达定理得，，②

因为，所以，③

将①代入③并整理得，

联立②得，④

因为直线和圆相切，因此，由④得，

所以存在圆满足题意．

当切线的斜率不存在时，易得，

由椭圆方程得，显然，

综上所述，存在圆满足题意．

当切线的斜率存在时，由①②④得

，

由，得，

即．

当切线的斜率不存在时，易得，

所以．

综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，且．

13．（2022届上海市青浦区高三一模）已知抛物线.

（1）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）；

（2）过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点､，交直线于两点，求证：为常数

（3）已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.

【解析】（1）由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线为，联立得

，，设，

则；

（2）由题可设过点的一条直线交抛物线于，交直线于，另一条直线交抛物线于，交直线于，则，，直线方程可表示为：，直线方程可表示为：，联立直线与抛物线方程可得

，故，即，同理联立直线和抛物线方程化简可得，故，，即

（3）

假设存在点满足，

设，，

则，易知，

化简得，即，

当时，，当且仅当时取到等号，故；

当时，，当且仅当时取到等号，因为，故，令，则，但能取到，此时，故；

故.