四川省绵阳市涪城区2023届九年级上学期期中教学质量监测数学试卷(含答案)

2022-2023学年九年级（上）期中教学质量监测试卷

数  学

一．选择题（共36分）

1．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是轴对称图形，不是中心对称图形的是（　　）

A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风 

C．有症状早就医 D．少出门少聚集

2．下列结论正确的是（　　）

A．半径相等的两条弧是等弧 

B．半圆是弧 

C．半径是弦 

D．弧是半圆

3．若关于x的方程x2+bx+6＝0的一个根是3，则b的值是（　　）

A．2 B．﹣3 C．4 D．﹣5

4．若某三角形两边的长分别等于方程x（x﹣9）+4（9﹣x）＝0的两个实数根，则这个三角形的第三边长可能是（　　）

A．5 B．10 C．13 D．14

5．在一幅长60m，宽40m的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是2816m2，设观光小道的宽为xm，那么x满足的方程是（　　）

A．2x（60+2x）+2x（40+2x）＝2816 

B．（60+2x）（40+2x）＝2816 

C．（60+2x）（40+2x）﹣2400＝2816 

D．x（60+2x）+x（40+2x）＝2816

6．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3），D（3，y4），且y4＜y2＜y3，则y1，y2，y3，y4的大小关系是（　　）

A．y1＜y4＜y2＜y3 B．y4＜y1＜y2＜y3 

C．y4＜y2＜y1＜y3 D．y4＜y2＜y3＜y1

7．如图是二次函数y＝x2+2x+1的图象，则方程x2+2x+1＝0（　　）

A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

8．如图，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C1，当直线y＝b﹣1（b为常数）与图形C1有三或四个公共点时，则b的取值范围是（　　）

A．0＜b≤4 B．1＜b≤4 C．1＜b≤5 D．0≤b＜5

9．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度CM是16m，跨度AB是40m，则在线段AB上离中心M5m处的地方，桥的高度是（　　）

A．14m B．15m C．13m D．12m

10．如图，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则B点的对应点B′的坐标是（　　）

A．（﹣3，﹣2） B．（2，2） C．（3，0） D．（2，1）

11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是（　　）

A． B．2 C．6 D．8

12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D＝85°，则∠B的度数为（　　）

A．95° B．105° C．115° D．125°

二．填空题（共24分）

13．若a，b，c是△ABC的三边，则关于x的方程（a+b）x2﹣2cx+a+b＝0的根的情况是 　   　．

14．m是方程x2+x﹣2＝0的根，则代数式2m2+2m﹣2022的值是 　   　．

15．若二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，则该二次函数的解析式为 　   　．

16．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在第 　   　象限．

17．如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB于点H，若AH＝CD＝10，则⊙O的半径长为 　   　．

18．如图，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是8，则抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标是 　   　．

三．解答题（共90分）

19．（6分）用适当的方法解下列方程：

（1）x2﹣2x＝0；

（2）x2﹣10x+16＝0．

20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+1（a，b为常数，且a≠0）上，当x＝t时函数y有最小值．

（1）当m＝n，a＝1时，求抛物线的解析式及t的值；

（2）若a＝b时，用n的代数式表示m；

（3）已知，二次函数y＝ax2+bx+1的图象和直线y＝2ax+2b都经过点（1，m），求a2+b2的取值范围．

21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．

（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；

（2）△A2B2C2是△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的，画出△A2B2C2并写出点A2的坐标．

22．（10）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．

（1）求∠AOB的度数．

（2）求∠EOD的度数．

23．（8分）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝24m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．求这座石拱桥主桥拱的半径．（精确到1m）．

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠BOE＝57°，试求∠C的度数．

25．（10分）在△AMB中，∠AMB＝90°，AM＝6，BM＝8，将△AMB以B为旋转中心顺时针旋转90°得到△CNB，连接AC，求AC的长．

26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，若P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．

（1）若a＝1，

①当m＝b时，求x1，x2的值；

②将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，求平移后抛物线的解析式；

（2）若存在实数c，使得x1≤c﹣1，且x2＞c+7成立，则m的取值范围是 　   　．

27．（10分）学校准备利用操场开元旦晚会，师生坐在足球场区域，已知足球场宽度为72m（观众席不一定要占满球场宽度），其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、列，摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2（如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位．

（1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值；

（2）若全校师生共2400人，那么座位够坐吗？请说明理由．

28．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）与y轴交于点C，当点P从点B匀速运动到点A时，点Q恰好从点C运动到点O，过点P作PF⊥AB交抛物线于点F，交直线BC于点E，连结CF．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）若点F在第一象限，求S△CBF的最大值．

（3）记BP＝t，CQ＝s．

①求s关于t的函数表达式．

②作点Q关于直线BC的对称点Q′，当点Q′落在△CEF的一条边上时，求s的值．

 参考答案

一．选择题

1． A．

2． B．

3． D．

4． B．

5． C．

6． A．

7． B．

8． C．

9． B．

10． B．

11． C．

12． A．

二．填空题

13． 没有实数解．

14． ﹣2018．

15． y＝3x2﹣2x﹣1．

16． 一．

17． ．

18． （2，﹣4）．

三．解答题

19． 解：（1）x2﹣2x＝0，

x（x﹣2）＝0，

∴x＝0或x﹣2＝0，

∴x1＝0，x2＝2；

（2）x2﹣10x+16＝0，

（x﹣2）（x﹣8）＝0，

∴x﹣2＝0或x﹣8＝0，

∴x1＝2，x2＝8．

20． 解：（1）当m＝n，则点（1，m）与点（3，m）为抛物线上的对称点，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2，即t＝2，

∵a＝1，

∴y＝x2+bx+1，

∵﹣ ＝2，

解得b＝﹣4，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1；

（2）当a＝b，抛物线解析式为y＝ax2+ax+1，

把（1，m），（3，n）分别代入得，

∴6m﹣n＝5，

∴n＝6m﹣5；

（3）把（1，m）分别代入y＝ax2+bx+1和y＝2ax+2b得a+b+1＝m，2a+2b＝m，

∴a+b＝1，

即b＝a﹣1，

∴a2+b2＝a2+（1﹣a）2＝2a2﹣2a+1＝2（a﹣）2+，

∴a2+b2的最小值为，

∴a2+b2的取值范围为a2+b2≥．

21． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．

点A1的坐标为（1，﹣4）．

（2）如图，△A2B2C2即为所求．

点A2的坐标为（4，1）．

22． 解：（1）连OB，如图，

∵AB＝OC，OB＝OC，

∴AB＝BO，

∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；

（2）∵∠2＝∠A+∠1，

∴∠2＝2∠A，

∵OB＝OE，

∴∠2＝∠E，

∴∠E＝2∠A，

∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．

23． 解：∵OC⊥AB，

∴AD＝BD，

设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝24，CD＝5，

∴BD＝AB＝12，

OD＝OC﹣CD＝R﹣5，

∵∠ODB＝90°，

∴OD2+BD2＝OB2，

∴（R﹣5）2+122＝R2，

解得R＝16.9≈17，

答：这座石拱桥主桥拱的半径约为17m．

24． 解：连接OD，

∵CD＝OB＝OA＝OD，∠BOE＝57°，

∴∠ODE＝2∠C，

∵OD＝OE，

∴∠ODE＝∠EDO＝2∠C，

∴∠EOB＝∠C+∠ODE＝3∠C＝57°，

∴∠C＝19°．

25． 解：在Rt△AMB中，AM＝6，BM＝8，

根据勾股定理可得

AB＝  ＝10．

根据旋转的性质可知AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴AC＝＝10．

26． 解：∵抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，

∴   ＝0，

∴b＝a2．

（1）∵a＝1，

∴b＝1，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1．

①∵m＝b＝1，

∴x2﹣2x+1＝1，

解得：x1＝0，x2＝2；

②设平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2+k．

∵抛物线的对称轴是直线x＝1，平移后与x轴的两个交点之间的距离是4，

∴（3，0）是平移后的抛物线与x轴的一个交点，

∴（3﹣1）2+k＝0，即k＝﹣4，

∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位；

（2）∵x2﹣2ax+a2＝m，

解得：x1＝a﹣，x2＝a+ ，

∴PQ＝2．

又∵x1≤c﹣1，x2≥c+7，

∴2≥（c+7）﹣（c﹣1），

即2＝8，

∴m≥16．

故答案为：m≥16．

27． 解：（1）∵移动围栏的总长为140m，且观众席内有x行座椅，

∴每行的座椅数为（140﹣2x）个．

∵140﹣2x≤72，

∴x≥34，

∴x的最小值为34．

（2）座位够坐，理由如下：

依题意得：x（140﹣2x）＝2400，

整理得：x2﹣70x+1200＝0，

解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40，

∴若全校师生共2400人，那么座位够坐．

28．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，

得

解得

∴y＝﹣x2+2x+3；

（2）令x＝0，则y＝3，

∴C（0，3），

设直线BC的解析式为y＝kx+m，

∴

∴

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，

设F（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t+3），

∴EF＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣ ）2+，

当t＝时，EF有最大值，

∵S△CBF＝EF•OB＝EF，

∴S△CBF的最大值为×＝；

（3）①∵AB＝4，OC＝3，

∴  =

∵P点与Q点运动时间相同，

∴=

∴s＝t；

②∵BP＝t，

∴P（3﹣t，0），

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝45°，

∵点Q关于直线BC的对称点Q′，

∴∠QCQ'＝90°，

当Q'落在CF上时，CF⊥y轴，

∴F（2，3），

∴3﹣t＝2，

∴t＝1，

∴s＝；

当Q'落在EF上时，CQ＝CQ'＝s，

∴s＝3﹣t，

∴3﹣t＝t，

∴t＝，

∴s＝；

综上所述：s的值为或．