山西省阳泉市经济开发区2023届九年级上学期期末教学质量检测数学试卷(含解析)

2022－2023年学年度第一学期期末教学质量检测

九年级数学

第I卷选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（   ）

A．2 B． C． D．

2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（   ）

A．20° B．40° C．60° D．80°

3．已知是的反比例函数，下表给出了与的一些值，则表中“______”处的数为（    ）

A． B． C． D．2

4．将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是（    ）

A． B． C． D．

5．如图是老师画出的，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是（    ）

A．   B．   

C．   D．  

6．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（    ）

A．   B．   C．   D．  

7．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍挑动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，动力臂为1.5m，则搅动这块大石头至少需要的动力是（    ）

A．360N B．400N C．450N D．600N

8．如图，左、右并排的两棵大树的高分别为，，两树底部的距离，王红估计自己眼睛距地面1.6m．她沿着连接这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，在前进的过程中，她发现看不到右边较高的树的顶端C．此时，她与左边较低的树的水平距离（    ）

A．小于8m B．小于9m C．大于8m D．大于9m

9．如图，在中，，，．将绕点沿逆时针方向旋转至的位置，此时，点恰好在上，则点与点的距离是（　　）

A． B． C． D．

10．如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，，，，，则对角线与的长分别是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分共15分）

11．如图，河提横断面迎水坡的坡比（坡比也叫坡度，指点B向水平面做垂线，垂足为C，）是，河提的高米，则坡面的长度是      米．

12．在一个不透明的口袋中，装有3个球，它们分别写有数字1，2，3，这些球除上面数字外，其余都相同．先将这些球摇匀后，随机摸出一球，记下数字后，放回：再摇匀，再摸出一球．则摸出的两球的数字之和是4的概率是      ．

13．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是      ．

14．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，则的面积是      ．

15．如图，在四边形中，，，，，，含角的直角三角板的顶点在边上移动，，直角边始终经过点，斜边与交于点．当是以为腰的等腰三角形时，线段长度的最大值等于      ．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（1）解方程：

（2）在锐角中，和满足的关系式为．求的度数．

17．如图，小明与小颖在的小正方形网格中画出格点（格点指小正方形的顶点）小正方形的边长为1．此时，细心的小颖发现利用网格可以提出下列问题，请你帮助小明解答小颖提出的问题：

(1)求和的值；

(2)在网格中存在格点．且与不全等，同一位置的格点只算一个，则符合条件的格点一共有______个．

18．如图，已知反比例函数和正比例函数的图象相交于点和点B两点．

(1)直接写出点B的坐标；

(2)求反比例函数的解析式；

(3)点C在x轴上，的面积为12，求点C的坐标．

19．如图，某商场开业之际，为了美化和宣传，该商场在楼上悬挂一块长为3m的宣传牌，即．数学小组的同学要在双休日测量宣传牌的底部点D到地面的距离．根据所学的相关知识，他们分别在点A和点B处放置两个测倾仪，它们的高度是，站在点A处的同学测得宣传牌底部点D的仰角为31°．站在点B处的同学测得宣传牌顶部点C的仰角为45°．．依据他们测量的数据能否求出宣传牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请求出；若不能，请说明理由．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：，，）

20．“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置的示意图；王红测得厘米，厘米，厘米．根据王红提供的信息解答下列问题：

(1)求点到的距离；

(2)求点E运动的距离．

21．阿尔·花拉子米（约780～约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形巧妙地解出了一元二次方程的一个解，具体做法如下：

将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x，宽为1的长方形拼合在一起，面积就是，即．而由原方程变形，即边长为的正方形面积为36．所以，则．

(1)上述求解过程中所用的解题方法是（    ）

A．直接开平方法    B．公式法    C．配方法    D．因式分解法

(2)所用的数学思想是（    ）

A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．转化思想

(3)山西特产专卖店销售某品牌的枣夹核桃，进价为每袋20元，现在按每袋30元出售，平均每天售出200袋．由于货源紧缺，现要涨价销售．经过市场调查发现，每袋售价每上涨1元，则平均每天的销售量会减少10袋．若该专卖店销售这种枣夹核桃每天的利润为y元，每袋销售单价上涨x元，求y与x的函数解析式，并求出当x是多少时，利润y有最大值，最大值是多少？

22．综合与探究

问题情境：如图，已知为的直径，点C为上异于A，B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接．

(1)探究发现：证明：无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上；

(2)探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明；

(3)探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：______．

23．综合与实践

如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接．

(1)求抛物线的解析式：

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．

答案

1．B

解析：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，

∴tanA=．

故选B．

2．D

解析：解：∵∠BOC、∠A是同弧所对的圆心角和圆周角，

∴∠BOC=2∠A=80°；

故选D．

3．B

解析：解：设反比例函数解析式为

将代入，可得，

∴反比例函数解析式为

当时，，

∴表中“______”处的数为，

故选：B．

4．C

解析：解：抛物线的顶点坐标为，它向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度后的坐标为，而平移不改变图形的大小与形状，所以平移后的抛物线解析式为：；

故选：C．

5．C

解析：解：A、由有两个角对应相等的三角形相似即可判定这两个三角形相似；

B、由于，且夹角相等，所以这两个三角形相似；

C、不能判定相似；

D、由有两个角对应相等的三角形相似即可判定这两个三角形相似；

故选：C．

6．A

解析：解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似，

故选：A．

7．B

解析：解：设动这块大石头需要的动力是xN，

由题意得：，

解得：，

即搅动这块大石头至少需要的动力是；

故选：B．

8．A

解析：解：如图，连接并延长交于点N，过N作于点M，

∵，均垂直于直线，

∴，

∴，；

由题意知，四边形是矩形，则；

设，则，

∵，

∴，

∴，

即，

解得：；

当王红刚好看到右边较高的树的顶端C时，她与左边较低的树的水平距离为，当她看不到较高的树的顶端C时，则她与左边较低的树的水平距离应小于；

故选：A．

9．B

解析：解：如图，连接，

∵在中，，，，

∴，

∴，

∴，

∵将绕点沿逆时针方向旋转至的位置，此时，点恰好在上，

∴，，，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴点与点的距离是．

故选：B．

10．D

解析：过点B作交于点O，如图所示：

∵，，

∴．

∵，

∴，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴．

∵，，

∵，

∴，

∴．

在中，，即，

解得：，

∴．

∵，，

∴，

∴，

∴．

故选D ．

11．20

解析：解：∵，

∴米，

由勾股定理得：（米），

故答案为：20．

12．

解析：解：列表如下：

由表知，所有等可能的结果数有9种，其中和为4的结果数有3种，则摸出的两球的数字之和是4的概率是；

故答案为：．

13．

解析：解：如图所示：

位似中心点P的坐标是．

故答案为：．

14．3

解析：解：如图，设交y轴于C；

∵轴，

∴轴，

∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，

∴，

∴；

故答案为：3．

15．

解析：解：如图，过点A、D分别作的垂线，垂足分别为G、H，

则

∵，

∴四边形为矩形，

∴；

∵，

∴；

∵，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴由勾股定理得：；

①如图，当时，则，

∴，

∴，

即，

∴；

∴；

②当时，如图，

此时，

∴；

∵，

∴，

即，

∴，

∴，

∵，

∴由勾股定理得：；

∵，

∴线段长度的最大值等于；

故答案为：．

16．（1），；（2）

解析：解（1）原方程变形得：，

即：，

∴或，

解得：，；

（2）∵，且，

∴，

∴（舍去），，

∴，

∴．

17．(1)，

(2)6

解析：（1）如图，过点作于点，过点作于点．

，，

，，

，

，

，；

（2）如图所示，使得的格点三角形一共有6个．

故答案为：6．

18．(1)

(2)

(3)或

解析：（1）解：∵点在反比例函数和正比例函数的图象上，

∴，

即，

解方程组，得：或，

∴点B的坐标为；

（2）解：由（1）得，反比例函数的解析式为；

（3）解：设，

∵，

∴，

解得：，

∴或．

19．点到地面的距离的长约为．

解析：能，

理由如下：延长交于，

则，

，

，

设，则，

，

在中，，则，

，

解得，，

则，

答：点到地面的距离的长约为．

20．(1)厘米

(2)厘米

解析：（1）解：过点作交于F，如图，

由旋转知，厘米

∵，厘米，

∴在中，厘米，

由题意得四边形是矩形，

∴厘米，

∴厘米；

即点到BC的距离厘米；

（2）解：连接，如图，

由题意得：，

在中，由勾股定理得：（厘米），

∴点E运动的距离为：（厘米）．

21．(1)C

(2)B

(3)，当时，利润y有最大值，最大值为2250

解析：（1）解：由题中求解知，应用了配方法，

故选：C；

（2）解：借助图形求解方程，这是数形结合思想的体现；

故选：B；

（3）解：由题意得：，

整理得：，

即所求的函数式为：；

配方得：，

∵，

∴当时，y有最大值，

即当涨价5元时，利润最大，最大利润为2250元．

22．(1)见解析

(2)，证明见解析

(3)

解析：（1）证明：为的切线，

，

，

，

，

，

，

，

无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上；

（2）解：．

理由如下：是等腰三角形且对称轴经过点，

，

，

为的切线，

，

，

，

，

，

四边形为矩形，

，

；

（3）解：为正三角形，

，，

，

，

，，

，

，

而，

．

故答案为：．

23．(1)

(2)存在，或或

(3)或或或

解析：（1）解：∵点B的坐标是，点C的坐标是，

∴，

解得：，

∴所求抛物线解析式为；

（2）解：存在

由抛物线解析式知，其对称轴为直线，，

设，则，，，

①以C为顶点，即时；

则，

解得：或（舍去），

∴点P的坐标，

②以D为顶点，即时，

则，

解得：，

∴点P的坐标为或，

综上，点P的坐标为或或；

（3）解：设点E的坐标为，点F的坐标为，

①当是对角线时；

由中点坐标公式得：，

解得：或（舍去），

∴点E的坐标；

②当是对角线时；

由中点坐标公式得：，

解得：，

∴点E的坐标为或；

③当是对角线时；

由中点坐标公式得：，

解得：或（舍去），

∴点E的坐标；

综上，点E的坐标为或或或．