新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题13解析几何 13.4双曲线（含解析）

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专题十三 《解析几何》讲义
13.4 双曲线
知识梳理.双曲线
1．双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
3．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝＝ ∈(1，＋∞)
e是表示双曲线开
口大小的一个量，
e越大开口越大.
渐近线
y＝±x
y＝±x
a，b，c的关系
a2＝c2－b2




题型一. 双曲线及其性质
1．过双曲线左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值为　8　．
【解答】解：根据双曲线定义有|MF2|﹣|MF|＝2a，|NF2|﹣|NF|＝2a，
两式相加得|MF2|+|NF2|﹣|MN|＝4a＝8．
答案：8．
2．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上，若点F2在线段MN的中垂线上，则MN＝（　　）
A． B．8 C． D．4
【解答】解：如图，由双曲线方程可得a．
由双曲线的定义可知：|F2M|﹣|F1M|＝2a＝4，
|F1N|﹣|F2N|＝2a＝4，
∴|F2M|＝|F1M|+4，|F1N|＝|F2N|+4，
∵点F2在线段MN的中垂线上，∴|F2M|＝|F2N|，
∴|F1N|＝|F1M|+8，
∴|MN|＝|F1N|﹣|F1M|＝8．
故选：A．

3．过双曲线的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A，若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的标准方程是　x21　．
【解答】解：双曲线的右顶点为（a，0），右焦点F为（c，0），
由x＝a和一条渐近线yx，可得A（a，b），
以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），
则|AF|＝|OF|＝c＝2，
即有2，
c2＝a2+b2＝4，
解得a＝1，b，
即有双曲线的方程为x21，
故答案为：x21．
4．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2＝4和（x﹣5）2+y2＝1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为　9　．
【解答】解：双曲线中，
∵a＝3，b＝4，c＝5，
∴F1（﹣5，0），F2（5，0），
∵|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6，
∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，
∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，
所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2|
＝6+1+2
＝9．
故答案为：9．
5．已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为　12　．
【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长＝|AF|+|AP|+|PF|＝|AF|+|AP|+|PF′|+2
≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），
直线AF′的方程为与x21联立可得y2+6y﹣96＝0，
∴P的纵坐标为2，
∴△APF周长最小时，该三角形的面积为12．
故答案为：12．


题型二. 焦点三角形
1．已知点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为　　．
【解答】解：|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，
可得三角形ABF2为直角三角形，∠BAF2＝90°，
设|AF1|＝m，|BF1|＝n，可得m+n＝4，
3﹣m＝5﹣n＝2a，解得m＝1，n＝3，
则△BF1F2的面积为SS3×41×3．
故答案为：．
2．已知F1，F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上任意一点，M是线段PF1的中点，则以PF1为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
【解答】解：∵P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，
∵M是线段PF1的中点，∴，
∵O是线段F1F2的中点，∴，
∴，
即圆心距等于两圆的半径之差，
∴以线段PF1为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是相内切．
故选：B．

3．已知双曲线C的左右焦点为F1、F2，点M为双曲线C上任一点，则|MF1|•|MF2|的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【解答】解：根据题意可得F1（，0），F2（，0），设M（x，y），其中x（﹣∞，]∪[，+∞），则y21，
则|MF1|•|MF2|••，
因为x∈（﹣∞，]∪[，+∞），所以3，
则当x＝±时，|MF1|•|MF2|取最小值，最小值1，
故选：A．
4．从双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（　　）

A．c﹣a B．b﹣a C．a﹣b D．c﹣b
【解答】解：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．
∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点，
由三角形中位线定理得到：|OM||PF′|（|PF|﹣2a）|PF|﹣a
＝|MF|﹣a，
∴|OM|﹣|MT|＝|MF|﹣|MT|﹣a＝|FT|﹣a，连接OT，因为PT是圆的切线，
则OT⊥FT，
在Rt△FOT中，|OF|＝c，|OT|＝a，
∴|FT|b．
∴|OM|﹣|MT|＝b﹣a．
故选：B．


题型三. 渐近线性质
1．过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A．若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【解答】解：∵以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），
∴半径R＝c＝4，则圆的标准方程为（x﹣4）2+y2＝16，
设B（a，0），yb，即A（a，b），
则（a﹣4）2+b2＝16，
即a2﹣8a+16+b2＝16，
即c2﹣8a＝0，即8a＝16，
则a＝2，b2＝16﹣4＝12，
则双曲线C的方程为1，
故选：D．
2．设F1，F2是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1||OP|，则C的离心率为　　．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y，
∴点F2到渐近线的距离d，即|PF2|＝b，
∴|OP|a，cos∠PF2O，
∵|PF1||OP|，
∴|PF1|a，
在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，
∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c4c2﹣3b2＝4c2﹣3（c2﹣a2），
即3a2＝c2，得e，
故答案为：．

3．已知斜率为1的直线l与双曲线1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，且AB的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝± D．y＝±x
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
两式相减可得：0，
∵斜率为1的直线l与双曲线1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，A、B的中点为M（1，3），
∴k•kOM3，
∴yx＝±x．
故选：B．
4．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过F且倾斜角为60°的直线分别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围是　（2，+∞）　．
【解答】解：依题意，斜率为的直线l过双曲线1（a＞0，b＞0）
的右焦点为F且与双曲线的左右两支分别相交，
结合图形分析可知，
双曲线的一条渐近线的斜率必大于，
即，
因此该双曲线的离心率e2．
故答案为：（2，+∞）．


题型四. 构建等量关系求离心率
1．设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做x轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的离心率为　　．
【解答】解：由题意可知：左、右顶点分别是A1（﹣a，0），A2（a，0），
当x＝c时，代入双曲线方程，解得：y＝±，
设B（c，），C（c，），
则直线A1B的斜率k1，
直线A2C的斜率k2，
由A1B⊥A2C，则k1×k2＝﹣1，即1，
则1，
双曲线的离心率e，
故答案为：．
2．过双曲线M：x21的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：过双曲线的左顶点A（﹣1，0）作斜率为1的直线l：y＝x+1，
若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2），
联立方程组
代入消元得（b2﹣1）x2﹣2x﹣1＝0，
∴，
∴x1+x2＝﹣2x1x2，
又|AB|＝|BC|，则B为AC中点，2x1＝﹣1+x2，
代入解得，
∴b2＝9，双曲线M的离心率e，
故选：A．
3．已知F1、F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线时，双曲线的离心率e＝　　．
【解答】解：以线段F1F2为边作正△MF1F2，则M在y轴上，
可设|F1F2|＝2c，则M（0，c），
又F1（﹣c，0），则边MF1的中点为（，c），
代入双曲线方程，可得，
1，由于b2＝c2﹣a2，e，
则有e24，即有e4﹣8e2+4＝0，
解得，e2＝4，由于e＞1，即有e＝1．
故答案为：1．
4．(2019·全国卷Ⅰ) 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点．若，，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：∵，OF1＝OF2，∠BF1F2＝∠BF1F2，
∴△AF1O∽△BF1F2，
又∵，
∴OA⊥F1B，
∴，即，
∴直线F1B的方程为，
联立直线F1B与渐近线y，即，解得，
∵，
∴，化简可得b2＝3a2，
由双曲线的性质，可得c2﹣a2＝b2＝3a2，即c2＝4a2，
∴c＝2a，
∴．
故选：C．
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题型五. 离心率的取值范围
1．设点P在双曲线的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
A． B．（1，2] C． D．[2，+∞）
【解答】解：∵|PF1|＝4|PF2|，
∴由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝3|PF2|＝2a，
∴|PF2|a，
∵点P在双曲线的右支上，
∴|PF2|≥c﹣a，
∴a≥c﹣a，即a≥c，
∴e，
∵e＞1，
∴1＜e，
∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，]．
故选：A．
2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若|F1F2|＝2|OM|，tan∠MF2F1≥2，则双曲线C的离心率的取值范围为　（1，]　．
【解答】解：法一：∵|F1F2|＝2|OM|，∴，
∴，，
∵|MF1|﹣|MF2|＝2a，
∴，
设，则，
∴，∴1＜e2≤5，∴．
法二：∵|F1F2|＝2|OM|，∴，令|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，
∠MF2F1＝θ，tanθ≥2，r1＝2csinθ，r2＝2ccosθ，
∴2a＝r1﹣r2＝2c（sinθ﹣cosθ），∴，∴，
∴．
故答案为：（1，]．
3．F1，F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若双曲线上存在点P满足a2，则双曲线离心率的取值范围为（　　）
A．[，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]
【解答】解：设PF1＝r1，PF2＝r2，则a2⇔r1r2cos∠F1PF2＝﹣a2，
再根据余弦定理得r1r2•a2，即r12+r22＝4c2﹣2a2，①，
又由双曲线的定义可得：|r1﹣r2|＝2a，即r12+r22﹣2r1r2＝4a2，②
又r1+r2≥2c，即r12+r22+2r1r2≥4c2，③
②+③得2（r12+r22）≥4a2+4c2，将①代入得：2（4c2﹣2a2）≥4a2+4c2，
化简得：c2≥2a2，∴e2≥2，∴e．
故选：B．


课后作业. 双曲线
1．已知F1，F2是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左右焦点，F2与抛物线C：y2＝4x的焦点重合，点M在E上，MF2与x轴垂直，|MF2|＝2，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：F2与抛物线C：y2＝4x的焦点重合，
则F2（，0），
即c，
∴|F1F2|＝2c＝2，
∵MF2与x轴垂直，|MF2|＝2，
∴|MF1|＝2a+2，
∴（2a+2）2＝22+（2）2，
解得a＝1，
∴e，
故选：C．

2．已知M（x0，y0）是双曲线C：y2＝1上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若∠F1MF2为钝角，则y0的取值范围是　　．
【解答】解：由题意，∵∠F1MF2为钝角，
∴•（x0，﹣y0）•（x0，﹣y0）＝x02﹣3+y02＝3y02﹣1＜0，且3y02﹣1≠﹣1
∴y0且y0≠﹣1．
∴y0的取值范围是．
故答案为：．
3．设F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF2⊥x轴，则双曲线的离心率等于（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【解答】解：依题意双曲线的渐近线方程：ax﹣by＝0，因为PF2⊥x轴，可得
P（c，），直线PF1：的斜率为：k，直线方程为：y（x+c），直线与圆x2+y2＝a2相切，
所以a，
整理得：
（bc）2＝a2（4a2+b2），则c4﹣2a2c2﹣3a4＝0，即e4﹣2e2﹣3＝0，
e＞1，
解得e，
故选：A．

4．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|．若直线PF2与双曲线C只有一个交点，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线的右支上，
且满足|F1F2|＝2|OP|．可得PF1⊥PF2，直线PF2与双曲线C只有一个交点，
可得PF2的斜率：，设PF1＝m，PF2＝n，可得，m﹣n＝2a，m2+n2＝4c2，
消去m，n，可得：，解得b＝2a，即c2﹣a2＝4a2，
所以双曲线的离心率为：e．
故选：C．
5．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（　　）
A．y B．y C．y＝±2x D．y
【解答】解：设双曲线的另一个焦点为F'，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF'是矩形，
∴S△ABF＝S△ABF'，
即bc＝8，
由，可得y＝±，
则|MN|2，即b2＝c，
∴b＝2，c＝4，
∴a2，
∴C的渐近线方程为y＝±x，
故选：B．

6．过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB||，则双曲线离心率的取值范围为　　．
【解答】解：易知，因为渐近线，所以 ，
由化简得，即，
所以，从而，
解得．
故答案为：．
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