安徽省合肥市第三十八中学新校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份安徽省合肥市第三十八中学新校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年安徽省合肥三十八中新校九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，3）
2．已知函数，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C． D．
3．将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为（　　）
A．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣5（x+1）2﹣1 D．y＝﹣5（x+1）2+3
4．下列对二次函数y＝﹣x2+2x的图象的描述，正确的是（　　）
A．不经过原点
B．对称轴是y轴
C．经过点（m+1，﹣m2+1）
D．在对称轴右侧y随x的增大而增大
5．已知二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣ B．m≥﹣ C．m＞﹣且m≠0 D．m≥﹣且m≠0
6．下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（　　）
A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1
7．若函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（　　）
A．3或5 B．3 C．4 D．5
8．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，（　　）
A．若a＜0，m＜0，则x1+x2＞2h B．若a＞0，m＜0，则x1+x2＞2h
C．若x1+x2＞2h，则a＞0，m＞0 D．若x1+x2＜2h，则a＞0，m＜0
9．若关于x的二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程＝2+有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
10．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）
A．﹣2 B． C．﹣2或2 D．2
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．如图，抛物线y＝px2﹣q与直线y＝ax﹣b交于A（﹣2，m），B（4，n）两点，则不等式px2+q＞ax+b的解集是 　 　．

12．已知抛物线y＝x2﹣3x﹣2023与x轴的一个交点为（a，0），则代数式a2﹣3a﹣2024的值为 　 　．
13．某抛物线形隧道的最大高度为16米，跨度为40米，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，它对应的表达式为 　 　．

14．在平面直角坐标系中，关于x的函数y＝﹣x+3a+2和y＝x2﹣ax的图象相交于点P、Q．
（1）若点P的横坐标为1，则a＝　 　．
（2）若P、Q两点都在x轴的上方，且a≠0，则实数a的取值范围是 　 　．
三、计算题（本大题共1小题，共12分）
15．某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？
（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
四、解答题（本大题共8小题，共78分。）
16．已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），求抛物线的解析式．
17．如图，这是一个横断面为抛物线形状的拱桥，此时水面宽AB为3米，拱桥最高点C离水面的距离CO也为3米，则当水位上升2米后，求水面的宽度．

18．已知函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，试确定k的值．
19．已知二次函数y＝x2+4x+k﹣1．
（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值．
20．已知二次函数．
（1）确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴方程；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
21．如图，在一面靠墙（墙足够长）的空地上，用长为24米的篱笆围成中间隔有二道篱笆的距形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？

22．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣1，0），点B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当m为何值时DF有最大值，最大值是多少？

23．已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．


参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，3）
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式直接求出顶点坐标．
解：抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，
抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质．抛物线解析式的顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k）．
2．已知函数，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C． D．
【分析】根据二次函数的性质，得到函数的对称轴以及函数的开口方向，即可得到函数的单调性．
解：∵
故函数开口向下，
对称轴为x＝﹣
故当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是x＜1．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，知道函数的开口方向以及对称轴是解题的关键．
3．将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为（　　）
A．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣5（x+1）2﹣1 D．y＝﹣5（x+1）2+3
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为：y＝﹣5（x+1）2+1﹣2，即y＝﹣5（x+1）2﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
4．下列对二次函数y＝﹣x2+2x的图象的描述，正确的是（　　）
A．不经过原点
B．对称轴是y轴
C．经过点（m+1，﹣m2+1）
D．在对称轴右侧y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数的图象与性质可以得到答案．
解：将（0，0）代入二次函数y＝﹣x2+2x
得到0＝﹣02+2×0，故二次函数经过原点，故选项A错误；
对称轴，故选项B错误；
将x＝m+1代入二次函数
得y＝﹣（m+1）2+2（m+1）＝﹣m2+1，故选项C正确；
由于﹣1＜0，故函数图象开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
5．已知二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣ B．m≥﹣ C．m＞﹣且m≠0 D．m≥﹣且m≠0
【分析】根据二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，可得△＝12﹣4m×（﹣1）＞0且m≠0．
解：∵原函数是二次函数，
∴m≠0．
∵二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，则
Δ＝b2﹣4ac＞0，
△＝12﹣4m×（﹣1）＞0，
∴m＞﹣．
综上所述，m的取值范围是：m＞﹣且m≠0，
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟记当Δ＝b2﹣4ac＞0时图象与x轴有两个交点；当Δ＝b2﹣4ac＝0时图象与x轴有一个交点；当Δ＝b2﹣4ac＜0时图象与x轴没有交点．
6．下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（　　）
A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1
【分析】根据各函数解析式可得y随x的增大而减小时x的取值范围．
解：选项A中，函数y＝x2+1，x＜0时，y随x的增大而减小；故A不符合题意；
选项B中，函数y＝﹣x2+1，x＞0时，y随x的增大而减小；故B不符合题意；
选项C中，函数y＝2x+1，y随x的增大而增大；故C不符合题意；
选项D中，函数y＝﹣2x+1，y随x的增大而减小．故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数，一次函数的性质，解题关键是掌握二次函数，一次函数图象与系数的关系．
7．若函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（　　）
A．3或5 B．3 C．4 D．5
【分析】分m﹣3＝0及m﹣3≠0两种情况考虑：当m＝3时，由一次函数图象与x轴只有一个交点，可得出m＝3符合题意；当m≠3时，由二次函数图象与x轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上即可得出结论．
解：①当m﹣3＝0，即m＝3时，y＝﹣4x+2，
令y＝0，则﹣4x+2＝0，
解得x＝，
∴此时函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点，
②当m﹣3≠0时，
∵二次函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣8（m﹣3）＝0，
解得m＝5．
综上所述，当图象与x轴有且只有一个交点时，m的值为3或5．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，分m﹣3＝0及m﹣3≠0两种情况考虑是解题的关键．
8．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，（　　）
A．若a＜0，m＜0，则x1+x2＞2h B．若a＞0，m＜0，则x1+x2＞2h
C．若x1+x2＞2h，则a＞0，m＞0 D．若x1+x2＜2h，则a＞0，m＜0
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝h，由函数图象与系数的关系讨论（x1，y1）和（x2，y2）两点中x1+x2与2h的关系．
解：∵y＝a（x﹣h）2+k，
∴抛物线对称轴为直线x＝h，
∵a＜0，m＜0，
∴抛物线开口向下，一次函数中y随x增大而减小，
设x1＜x2，则y1＞y2，
∴＞h，
∴x1+x2＞2h．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与一次函数的性质，掌握函数与方程的关系．
9．若关于x的二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程＝2+有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】根据二次函数的性质列出不等式求得a的范围，解分式方程，根据分式方程的解为正数且不是增根，列出不等式，求出a的范围，最后根据a为整数，写出a的值即可．
解：∵二次函数y＝x2﹣ax+1的对称轴为：x＝﹣＝，当x≤﹣2时，y随着x的增大而减小，
∴≥﹣2，
∴a≥﹣4；
方程两边同时乘（x﹣2）得：﹣1＝2（x﹣2）+1﹣ax，
解得：x＝﹣，
∴﹣＞0，且﹣≠2，
∴a＜2且a≠1，
∴﹣4≤a＜2且a≠1，
∵a为整数，
∴a＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，分式方程的解，注意分式方程要检验．
10．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）
A．﹣2 B． C．﹣2或2 D．2
【分析】根据新定义得到二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，然后根据判别式的意义得到△＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，从而解m的方程即可．
解：二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，
根据题意得△＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．如图，抛物线y＝px2﹣q与直线y＝ax﹣b交于A（﹣2，m），B（4，n）两点，则不等式px2+q＞ax+b的解集是 　﹣2＜x＜4　．

【分析】首先确定两个图象的交点横坐标，再判断图象的位置，当直线在抛物线下方时，一次函数值小于二次函数值，即可求出不等式的解集．
解：观察图象可知当x＝4，x＝﹣2时，px2+b＝ax+q．
在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即px2+b＞ax+q，
所以不等式px2+b＞ax+q的解集是﹣2＜x＜4．
故答案为：﹣2＜x＜4．
【点评】本题考查了不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象点的坐标特征和数形结合思想是解题关键．
12．已知抛物线y＝x2﹣3x﹣2023与x轴的一个交点为（a，0），则代数式a2﹣3a﹣2024的值为 　﹣1　．
【分析】利用待定系数法以及整体代入的思想解决问题即可．
解：∵抛物线y＝x2﹣3x﹣2023与x轴的一个交点为（a，0），
∴a2﹣3a﹣2023＝0，
∴a2﹣3a＝2023，
∴a2﹣3a﹣2024＝2023﹣2024＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，代数求值等知识，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
13．某抛物线形隧道的最大高度为16米，跨度为40米，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，它对应的表达式为 　　．

【分析】由题意知，抛物线的顶点坐标为（20，16），过（0，0），设抛物线对应的表达式为y＝a（x﹣20）2+16，将（0，0）代入y＝a（x﹣20）2+16得，0＝a（0﹣20）2+16，解得，，进而可得结果．
解：由题意知，抛物线的顶点坐标为（20，16），过（0，0），
设抛物线对应的表达式为y＝a（x﹣20）2+16，
将（0，0）代入y＝a（x﹣20）2+16得，0＝a（0﹣20）2+16，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是灵活应用抛物线的顶点式解决问题，属于中考常考题型．
14．在平面直角坐标系中，关于x的函数y＝﹣x+3a+2和y＝x2﹣ax的图象相交于点P、Q．
（1）若点P的横坐标为1，则a＝　0　．
（2）若P、Q两点都在x轴的上方，且a≠0，则实数a的取值范围是 　a＞0或＜a＜0　．
【分析】（1）令﹣x+3a+2＝x2﹣ax，把x＝1代入﹣x+3a+2＝x2﹣ax，求得a；
（2）设抛物线与x轴相交的的点的坐标（a，0），分二种情况讨论，①当a＞0时，若P、Q两点都在x轴的上方，②当a＜0时，若P、Q两点都在x轴的上方，x＝0时，y的函数值用a表示，求出a的取值范围．
解：（1）令﹣x+3a+2＝x2﹣ax，把x＝1代入﹣x+3a+2＝x2﹣ax，得﹣1+3a+2＝1﹣a，解得a＝0．
（2）函数y＝x2﹣ax的图象是抛物线，抛物线开口向上，与x轴的交点为（0，0）和（a，0）．
①当a＞0时，若P、Q两点都在x轴的上方，
此时当x＝a时，y＝﹣x+3a+2＝﹣a+3a+2＝2a+2＞0，
∴a＞﹣1，
∵
∴a＞0．
②当a＜0时，若P、Q两点都在x轴的上方，如图2：此时当x＝0时，y＝﹣x+3a+2＝3a+2＞0，解得a＞，
故＜a＜0，
综上所述，实数a的取值范围是a＞0或＜a＜0．
故答案为a＞0或＜a＜0．


【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系、一次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，掌握这几个知识点的熟练应用，分情况讨论是解题关键．
三、计算题（本大题共1小题，共12分）
15．某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？
（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
【分析】（1）根据题意知一件文具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后根据月销售利润＝一件文具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
（2）把y＝2520时代入y＝﹣10x2+130x+2300中，求出x的值即可．
（3）把y＝﹣10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x＝6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x＝6和x＝7时y的值即可．
解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；

（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，
解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）
当x＝2时，30+x＝32（元）
答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．

（3）根据题意得：
y＝﹣10x2+130x+2300
＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），
当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），
答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
四、解答题（本大题共8小题，共78分。）
16．已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），求抛物线的解析式．
【分析】设函数的解析式是y＝a（x+1）2﹣8，把（0，﹣6）代入函数解析式即可求得a的值，则函数的解析式即可求得．
解：由题意设函数的解析式是y＝a（x+1）2﹣8．
把（0，﹣6）代入函数解析式得a﹣8＝﹣6，
解得：a＝2，
则抛物线的解析式是y＝2（x+1）2﹣8．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．
17．如图，这是一个横断面为抛物线形状的拱桥，此时水面宽AB为3米，拱桥最高点C离水面的距离CO也为3米，则当水位上升2米后，求水面的宽度．

【分析】以AB所在直线的x轴、线段AB的中垂线为y轴建立坐标系，再利用待定系数法求得函数解析式，求出函数解析式y＝2时x的值，据此可得．
解：如图所示，建立平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为：y＝ax2+3，
∵函数图象过点A（﹣，0），
∴0＝a（﹣）2+3，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3，
当y＝2时，2＝﹣x2+3，
解得：x1＝，x2＝﹣，
∴则水面的宽为﹣（﹣）＝（米），
答：水面的宽度是米．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
18．已知函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，试确定k的值．
【分析】根据函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，可以得到关于k的一元二次方程，从而可以求得k的值．
解：∵函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，
∴0＝2×02﹣（3﹣k）×0+k2﹣3k﹣10，
∴k2﹣3k﹣10＝0，
∴（k﹣5）（k+2）＝0，
解得，k1＝5，k2＝﹣2，
即k的值是5或﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
19．已知二次函数y＝x2+4x+k﹣1．
（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值．
【分析】（1）根据抛物线y＝x2+4x+k﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
（2）根据顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0，求出即可．
解：（1）∵二次函数y＝x2+4x+k﹣1的图象与x轴有两个交点
∴b2﹣4ac＝42﹣4×1×（k﹣1）＝20﹣4k＞0
∴k＜5，
则k的取值范围为k＜5；

（2）根据题意得：
＝＝0，
解得k＝5．
【点评】此题主要考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断以及图象顶点在坐标轴上的性质，熟练掌握其性质是解题关键．
20．已知二次函数．
（1）确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴方程；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
【分析】（1））由a＝＞0，则抛物线开口向上，则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，）；
（2）因为抛物线开口向上且对称轴为x＝﹣1，根据函数的性质可得：当x＜﹣1时，y随x的增大而增小，当x≥﹣1时，y随x的增大而增大．
解：（1）∵a＝＞0，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵当x＝﹣1时，y＝
∴顶点坐标为（﹣1，）；
（2）∵抛物线开口向上且对称轴为x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
当x≥﹣1时，y随x的增大而增大．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
21．如图，在一面靠墙（墙足够长）的空地上，用长为24米的篱笆围成中间隔有二道篱笆的距形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？

【分析】（1）根据AB为xm，BC就为（24﹣4x）m，利用长方形的面积公式，可求出关系式．
（2）由S和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长．
解：（1）∵AB＝xm，
∴BC＝（24﹣4x）m，
∴S＝AB•BC＝x（24﹣4x）＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）；

（2）S＝﹣4x2+24x＝﹣4（x﹣3）2+36，
∵0＜x＜6，
∴当x＝3时，S有最大值为36m2．
【点评】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围．
22．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣1，0），点B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当m为何值时DF有最大值，最大值是多少？

【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式．
（2）先求出B，C所在直线解析式可得∠OBC＝∠OCB＝45°，通过DF＝DE可得表示DF长度的代数式，再配方求解．
解：（1）A（﹣1，0），B（4，0）分别代入y＝ax2+bx+4（a≠0）得，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）把x＝0代入y＝﹣x2+3x+4得y＝4，
∴C（0，4），
设BC所在直线解析式为y＝kx+b，
把B（4，0），C（0，4）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝﹣x+4，
设M（m，0），则D（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m，
∵OB＝OC＝4，OC⊥OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵DM⊥x轴，
∴∠DEF＝∠BEM＝45°，
又∵DF⊥BC，
∴DF＝DE＝（﹣m2+4m）＝（m﹣2）2+2，
∵＜0，
∴当m＝2时，DF有最大值为2．
【点评】本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法求代数式的最值．
23．已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
【分析】（1）根据公式，对称轴为直线x＝﹣，代入数据即可；
（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
（3）分别联立直线y＝m与两抛物线的解析式，表示出A，B，C，D的坐标，再表示出线段AB和线段CD的长度，即可得出结论．
解：（1）根据题意可知，抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线：x＝﹣＝＝1，
∴a＝1．
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∵a＝1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，
∴1＜1﹣x1＜2，0＜x2﹣1＜1，
结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，
∴y1＞y2．
（3）联立y＝m（m＞0）与y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，可得A（1+，m），B（1﹣，m），
∴AB＝2，
联立y＝m（m＞0）与y＝3（x﹣1）2，可得C（1+，m），D（1﹣，m），
∴C（1+，m），D（1﹣，m）
∴CD＝2×＝，
∴＝．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，题目难度适中，根据题意得出AB和CD的长是解题基础．