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新高考物理一轮复习刷题练习第51讲 匀强电场中的场强、电势、电势能的定性分析与定量计算（含解析）
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这是一份新高考物理一轮复习刷题练习第51讲 匀强电场中的场强、电势、电势能的定性分析与定量计算（含解析），共19页。
第51讲 匀强电场中的场强、电势、电势能的定性分析与定量计算
1．（2021•全国）如图，P、Q、M、N为菱形的四个顶点。若已知该空间存在一方向与此菱形平面平行的匀强电场，则（ ）
A．P、Q、M、N四点中至少有两点电势相等
B．P、Q、M、N四点可能位于同一等势面上
C．P、Q间的电势差一定与N、M间的电势差相等
D．P、Q间的电势差一定与Q、M间的电势差相等
【解答】A.过Q点做PN的垂线，交于O点，当电场方向垂直于QO，则QO为一条等势线，匀强电场中，各等势线互相平行，则P、Q、M、N四点电势都不相等，故A错误；
B.匀强电场的等势面是与电场方向垂直的平面，则P、Q、M、N四点不可能位于同一等势面上，故B错误；
C.由图可知，PQ与NM平行且相等，则PQ与NM沿电场线方向的距离相等，根据
U＝Ed
可知
UPQ＝UNM
故C正确；
D.如果电场方向垂直于PO，则PQ为等势线，则
UPQ＝0
则电场线与QM不垂直，则QM不是等势线，则
UQM≠0
故D错误。
故选：C。
（多选）2．（2021•河北）如图，四个电荷量均为q （q＞0）的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为（4l，0）、（﹣4l，0）、（0，y0）和（0，﹣y0），其中x轴上的两个点电荷位置固定，y轴上的两个点电荷可沿y轴对称移动（y0≠0）。下列说法正确的是（ ）
A．除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零
B．当y0取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点
C．当y0＝8l时，将一带负电的试探电荷由点（4l，5l）移至点（0，﹣3l），静电力做正功
D．当y0＝4l时，将一带负电的试探电荷放置在点（l，l）处，其所受到的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上
【解答】解：A、在菱形外侧除无穷远处的任意点，四个点电荷在该点的产生的场强均指向菱形的外侧，根据场强的叠加原理可知，合场强不可能为零，所以除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零，故A正确；
B、根据场强的叠加及对称性，在O点场强为零，当y0取某值时，由对称性可知，在菱形内部其它场强为零的点必定会成对出现，即在菱形内部场强为零的点一定是奇数个，故B错误；
C、根据对称性知，（0，﹣3l）和（0，3l）处场强大小相等，方向相反，两点电势相等，将试探电荷由点（4l，5l）移至点（0，3l），在点（4l，5l），负电荷所受的电场力方向斜向左下方，在（0，3l）处，由于该点到x轴上4l、﹣4l以及y轴上8l的点的距离相等为5l，此三处点电荷在该点（0，3l）的场强大小相等，它们在此处合场强方向沿y轴向上，y轴上﹣8l处的点电荷在（0，3l）处产生的场强方向也沿y轴向上，则（0，3l）的场强方向沿y轴向上，则负电荷在该点所受的电场力方向沿y轴向下，所以一带负电的试探电荷从（4l，5l）沿直线移至点（0，3l），静电力一直做正功，可知将一带负电的试探电荷由点（4l，5l）移至点（0，﹣3l），静电力做正功，故C正确；
D、当y0＝4l时，根据对称性知，x轴和y轴上﹣4l处的点电荷在点（l，l）处产生的场强大小相等为E1，
这两个点电荷的合场强E′1＝2E1cosα
由几何关系知：
解得，方向与x轴正方向成45°斜向上，
同理：x轴和y轴上4l处的点电荷在点（l，l）处产生的场强大小相等为E2，
这两个点电荷的合场强E′2＝2E2cosβ
由几何关系知：
解得，方向与x轴负方向成45°斜向下，
可知：E′2＞E′1，
则点（l，l）处产生的场强方向与x轴负方向成45°斜向下，则负的试探电荷在该点所受的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上，故D正确。
故选：ACD。
一.知识回顾
1．匀强电场：
如果电场中各点的电场强度的大小相等、方向相同，这个电场叫作匀强电场。
2.匀强电场中电势差与电场强度的关系
UAB＝Ed，其中d为匀强电场中A、B两点沿电场方向的距离。即：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。沿电场强度方向电势降落得最快。
3.电场强度的另一表达式
(1)表达式：E＝。(只适用于匀强电场)
(2)意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。也就是说，场强在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。
(3)在匀强电场中U＝Ed，即在沿电场线方向上，U∝d。推论如下：
推论①：如图甲，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
推论②：如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。即在匀强电场中两条平行且相等的线段两端点间的电势差相等。
推论③：在匀强电场中一条直线上（等势线除外），两点间的电势差与这两点间距离成正比。
4．E＝在非匀强电场中的几点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即等差等势面越密，电场强度越大。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系，如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φx图像的斜率判断沿x方向电场强度Ex随位置变化的规律。在φx图像中斜率k＝＝＝－Ex，斜率的绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，斜率为正，表示电场强度方向沿规定的负方向；斜率为负，表示电场强度方向沿规定的正方向。
(4)利用Ex图像与x轴围成的面积表示电势差，即SAB＝ExAB＝Ed＝UAB，分析计算两点间电势差。
5.特殊解题方法：等分线段找等势点法
在匀强电场中，电势沿直线是均匀变化的，即直线上距离相等的线段两端的电势差相等。因此将电势最高点和电势最低点连接后根据需要平分成若干段，找到与已知的第三个点的电势相等的点，这两个等势点的连线即等势线(或等势面)，与等势线(或等势面)垂直的线即为电场线。解题思路：
二.例题回顾
题型一：一题多种解法
例1：a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行。已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图所示，由此可知c点的电势为（ )
A．4 V B．8 V C．12 V D．24 V
解法一：(公式法)设ab间沿电场方向上的距离为d，则cd间沿电场方向的距离也为d。
由E＝得：E＝＝
解得：φc＝8 V。
解法二：(推论①)
连接对角线ac和bd相交于O点，如图所示。由匀强电场的性质可得
φO＝＝，解得：φc＝8 V。
解法二：(推论②)
因为ab＝cd且ab∥cd，所以φb－φa＝φc－φd，解得φc＝8 V。
三法比较
(1)公式法适用匀强电场中E或U的计算，过程较繁琐。
(2)推论①仅适用于匀强电场中两点连线中点的电势的计算。推论②适用于匀强电场中能构成平行四边形的四个点之间电势的计算。
题型二：中点电势公式的运用
（多选）例2．（2018秋•香坊区校级月考）如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q（q＞0）的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2．下列说法正确的是（ ）
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．a、b两点间的电势差Uab一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
【解答】解：A、一电荷量为q（q＞0）的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1，但ab连线不一定沿着电场线，故A错误；
B、粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1，故：qφa﹣qφb＝W1，粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，故：qφc﹣qφd＝W2，匀强电场中，沿着相同方向每前进相同距离电势的变化相同，故φa﹣φM＝φM﹣φc，即φM（φa+φc），同理φN（φb+φd），故qφM﹣qφN，故B正确；
C、因带正电的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1，电场力做正功，故电势差Uab，故C错误；
D、若W1＝W2，根据U可知，Uab＝Ucd，故φa﹣φb＝φc﹣φd，则φa﹣φc＝φb﹣φd，故Uac＝Ubd；而Uac＝2UaM，Ubd＝2UbN，故UaM＝UbN，故D正确；
故选：BD。
题型三：等分线段找等势点法
（多选）例3．（2022•简阳市 校级开学）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V、17V、26V。下列说法正确的是（ ）
A．电场强度的大小为1.75V/cm
B．电场强度的大小为1.25V/cm
C．电场强度的方向与y轴负方向成53°
D．电场强度的方向与x轴负方向成53°
【解答】解：如图所示：
设ac之间的d点电势与b点相同，则，所以d点的坐标为（7cm，12cm），过c点作等势线bd的垂线，由几何关系可得cf的长度为7.2cm，电场强度的大小为：EV/cm＝1.25V/cm，方向与x轴负方向夹角为θ，则cosθ0.8，则θ＝37°，则电场强度的方向与y轴负方向成53°，故AD错误，BC正确；
故选：BC。
题型四：E＝在非匀强电场中的妙用
（多选）例4．（2020•城中区校级模拟）如图所示，实线为电场线，且AB＝BC，电场中的A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC．下列关系中正确的有（ ）
A．EA＞EB＞EC B．φA＞φB＞φC C．UAB＞UBC D．UAB＝UBC
【解答】解：A、由电场线的密集程度可看出电场强度大小关系为 EA＞EB＞EC，故A正确；
B、A、B、C三点处在一根电场线上，根据沿着电场线的方向电势逐渐降落，故有φA＞φB＞φC，故B正确；
C、电场线密集的地方电势降落较快，由U＝Ed知：UAB＞UBC，故C正确，D错误。
故选：ABC。
三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，立方体ABCDEFGH的四个顶点A、C、F、H处各固定着一个电荷量均为Q的正点电荷，则B、D两点（ ）
A．电势相同、电场强度大小相等
B．电势相同、电场强度大小不相等
C．电势不相同、电场强度大小相等
D．电势不相同、电场强度大小不相等
【解答】解：根据对称性可知，A、C、H三点处电荷在D点处产生的电场强度E1是三处点电荷产生电场强度叠加的矢量合，A、C、F三点处电荷在B点处产生的电场强度E2是三处点电荷产生电场强度叠加的矢量合；结合对称性可知A、C、H三点处电荷在D点处产生的电场强度E1的大小刚好与A、C、F三点处电荷在B点处产生的电场强度E2的大小相等，而F处的点电荷在D点处产生的电场强度E3的大小与H处点电荷在B点处产生的电场强度E1的大小也相等，并且E1与E3方向相同，E2与E4方向相同，故B、D两点处的电场强度大小相等但方向不同；根据对称性可知，A、C、H三点处电荷在D点处产生的电势φ1刚好与A、C、F三点处电荷在B点处产生的电势φ2相等，而F处的点电荷在D点处产生的电势φ3与H处点电荷在B点处产生的电势φ4也相等，故B、D两点的电势相同，故A正确，BCD错误。
故选：A。
2. 如图，一条电场线上有a、b、c三点，b为ac的中点，a、c两点的电势分别为4V和﹣8V。则（ ）
A．a点的场强可能大于c点的场强
B．b点的电势可能为6V
C．a点的场强一定等于c点的场强
D．b点的电势一定为﹣2V
【解答】解：AC、只凭一条电场线无法判断出电场强弱，所以a点的场强可能比c点的场强大，可能等于，也可能小于，故A正确，C错误；
BD、a点电势高于c点电势，所以电场线方向由a指向c，ac间各点的电势在4V至﹣8V之间，若电场是匀强电场，根据U＝Ed有Uab＝Ubc
知b点的电势为﹣2V。
若电场是非匀强电场，则Uab≠Ubc
则b点的电势不等于﹣2V。故BD错误。
故选：A。
3. 沿电场线所在直线建立如图所示Ox轴，x轴上各点电势φ随x的变化规律如图所示，坐标点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，O点电势为零。带电量为﹣e的电子从O点由静止释放，仅受电场力作用，下列说法正确的是（ ）
A．在0～x3区间内，电场方向始终指向x轴正方向
B．电子到达B点时动能为
C．电子从A运动到C，加速度先增大后减小
D．若在B点给电子一个沿x轴方向的初速度，电子一定会在AC间做往复运动
【解答】解：A．沿电场线方向电势降低，在0～x3区间内，电势先升高、再降低、再升高，则电场线方向没有始终指向x轴正方向，故A错误；
B．根据动能定理﹣e（0）＝EkB
电子到达B点时动能为
EkB＝e
故B正确；
C．电势φ﹣x图像的斜率大小等于电场强度，电子加速度大小为a
由图像可知，A、C间斜率先变小后变大，则加速度先变小后变大，故C错误；
D．若在B点电子的初速度为沿+x轴方向，BC间电势升高，电场线方向由C指向B，电场力由B指向C，电子做加速运动；若在B点电子的初速度为沿﹣x轴方向，同理，电子也做加速运动。故电子不会再AC间做往复运动，故D错误。
故选：B。
4. 在水平面上固定了三个点电荷，分别放在等腰梯形的三个顶点上，AB＝AD＝DCBC＝L，电量关系及电性如图所示，静电力常数为k。E点的场强大小为（ ）
A．0 B． C． D．
【解答】解：连接AE，如下图所示
根据几何知识可知：AE＝L
则A点的点电荷在E点产生的场强大小为：EA＝k
则B点的点电荷在E点产生的场强为：EB＝k
则C点的点电荷在E点产生的场强为：EC＝2k
故B、C两处点电荷的电场强度之和为EBC＝k，方向水平向右
根据平行四边形定则，则有E点的场强大小为：E
故ABD错误，C正确
故选：C。
5. 如图，在匀强电场中，有边长为2cm的正六边形ABCDEF，其六个顶点均位于同一个圆上，正六边形所在平面与匀强电场的电场线平行，O点为该正六边形的中心，B、D、F三点电势分别为2V、6V、4V，下列说法不正确的是（ ）
A．A点电势为2V
B．UAF等于UCD
C．匀强电场的电场强度大小为
D．将电子由A点移到C点，电场力做功为﹣2eV
【解答】解：A、如图所示，连接BD和CF交于G点
由于G为BD的中点，则G的电势为
可知F、G电势相等，故CF为等势线，电场方向垂直于CF向上，可知AB也为等势线，则有φA＝φB＝2V
故A正确；
B、A、F两点的电势差为UAF＝φA﹣φF＝2V﹣4V＝﹣2VCD两点的电势差为UCD＝φC﹣φD＝4V﹣6V＝﹣2V
故有UAF＝UCD
故B正确；
C、匀强电场的电场强度大小为
故C正确；
D、将电子由A点移到C点，电场力做功为WAC＝﹣eUAC＝2eV
故D错误；
本题下选择错误选项；
故选：D。
6. 空间中两个电量均为+Q的点电荷，对称的放置在O点两侧，以O为几何中心，有一正方形ABCD，四条边的中点分别为E、F、M、N，下列说法正确的是（ ）
A．φA＞φB B．φD＞φB C．UAO＝UOC D．UAE＝UCF
【解答】解：根据电场线对称性和等势面的分布可知，在等量同种点电荷的电场中，A、B、C、D在同一个等势面上，电势相等，故有
UAE＝UME＝UDF＝UCF
UAO＝UCO
故D正确，ABC错误。
故选：D。
7. 如图所示，棱长为30cm的正面四体ABCD处在平行于BCD平面的匀强电场中，A点固定一电荷量为4.0×10﹣9C的点电荷，将另一电荷量为﹣2.0×10﹣9C的点电荷从D点移动到B点，静电力做功﹣1.2×10﹣7J，再把这个电荷从B点移动到C点，静电力做功2.4×10﹣7J。已知静电力常量k＝9.0×109N•m2/C2，下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的方向由B点指向C点
B．匀强电场的场强大小为300V/m
C．B点场强方向与棱AB间的夹角为30°
D．B点场强大小为400V/m
【解答】解：A.根据题意可知，从D到B和从B到C移动另一个电荷时，A点固定的点电荷对其做功为零，根据W＝qU可得，DB间的电势差为UDB，代入数据解得：UDB＝﹣120V
取BC的中点O，则根据题意可知UCO＝UOB＝60V
可得
φO＝φD
连接OD，则OD为匀强电场中的一条等势线，由几何关系可知，BC与DO垂直，则BC为匀强电场的一条电场线，根据沿电场线方向电势降低可知，匀强电场的方向由C点指向B点，故A错误；
B.根据公式E可得，匀强电场的场强大小为EV/m＝400V/m，故B错误；
CD.根据点电荷场强公式E可得，A点固定的点电荷在B点产生的电场的场强为E1V/m＝400V/m
方向为AB连线的延长线方向，如图所示
则根据电场的叠加原理及几何关系可知，B点场强大小为EB＝E1＝E＝400V/m
方向与棱AB间的夹角为120°，故C错误，D正确。
故选：D。
8. 电场中的a、b、c三点在同一直线上，如图所示，其中c为ab的中点，已知a、b两点的电势分别为φa和φb，且φa＜φb＜0，则下列叙述正确的是（ ）
A．该电场a、b、c三点电势关系一定有φa+φb＝2φc
B．负电荷从b点运动到a点，电势能一定会增加
C．负电荷只受电场力作用从a点运动到c点，动能一定增加
D．负电荷从b点运动到c点，电场力一定做正功
【解答】解：A、电场中的a、b、c三点在同一直线上，但电场不一定是匀强电场，所以不一定有φa+φb＝2φc，故A错误；
B、负电荷从b点运动到a点，由于φa＜φb，根据公式Ep＝qφ，因q＜0，故电势能一定增大，故B正确；
C、负电荷只受电场力作用从a点运动到c点过程，因不知初速度情况，故电荷可能加速也可能减速运动，则动能不一定增加，故C错误；
D、因不能判断b点和c点的电势高低关系，故不能确定电场力做功的正负，故D错误；
故选：B。
9. 如图甲，在某电场中的O点先后无初速度释放两个正点电荷Ⅰ和Ⅱ，电荷仅在电场力的作用下沿直线向A运动，两电荷的动能E1随位移x变化的关系如图乙。若Ⅰ的电荷量为q，则可知（ ）
A．电荷Ⅱ的电荷量为
B．电荷Ⅰ受到的电场力大小为FⅡ
C．此电场一定为匀强电场且场强大小E
D．选O点为电势零点，A点的电势为φA
【解答】解：B、由动能定理可知，电荷的动能Ek随位移x的变化图线的斜率表示该电荷所受的电场力，因此电荷Ⅰ和Ⅱ所受电场力分别为：
FⅠ，FⅡ，故B错误；
C、由图可知，电场力是恒力，即电场强度大小和方向均不变，根据F＝qE可知，匀强电场的电场强度大小为：E，故C正确；
A、根据FⅡ且FⅡ＝q'E可知，q'＝2q，故A错误；
D、电荷Ⅰ由O到A的过程中，根据动能定理可知：qU0A＝Ek0，解得：U0A
又O点为电势零点，所以φo﹣φA，解得：φA，故D错误；
故选：C。
10. 如图所示，匀强电场平面内有一个直角三角形MNP，其中∠M＝90°，∠N＝30°，MP＝3m。若在M点处沿该平面向不同方向射出动能为8eV的电子，有两电子分别经过P、N两点时的动能分别为6eV和14eV。不考虑电子间的相互作用，则下列关于该匀强电场场强E的大小及P、N点电势高低的比较正确的是（ ）
A．E（V/m）；ϕp＜ϕN B．E（V/m）；ϕp＞ϕN
C．E（V/m）；ϕp＜ϕN D．E（V/m）；ϕp＞ϕN
【解答】解：匀强电场中，电势差与距离成正比；等势面为平面，且始终与电场线垂直。电子从M运动到P，由动能定理及电场力做功与电势差之间的关系，有
UMP＝φM﹣φP2V
同理可得
UMN＝φM﹣φN＝8V
因此
UNP＝8V
将PN四等分，如图所示，
由几何关系知MK⊥PN，且
UKN＝6V＝UMN
故可得
φM＝φK
故MK在匀强电场的等势面上，因此NP与匀强电场的电场线重合，且场强方向沿N指向P，即φP＜φN.且
EV/mV/m
故A正确，BCD错误；
故选：A。
11. 如图所示为某电场中x轴上电势φ随x变化的图像，静电场方向平行于x轴。一质量为m、带电荷量为+q的粒子仅在电场力作用下沿x轴正向运动，则下列说法正确的是（ ）
A．在本来x1～x4之间，电场方向先沿x轴负方向，后沿x轴正方向
B．若粒子在x1处由静止释放，则粒子在x2处和x4处不受电场力作用
C．若粒子在x1处由静止释放，则粒子运动到x3处时的动能为qφ0
D．若粒子在x1处由静止释放，则粒子运动到x3处时的速度最大
【解答】解：A、在x1～x4之间，电场方向先沿x轴正向，再沿x轴负向，故A错误；
B、由可知，图像的斜率表示电场强度，所以x2处和x4处场强不为零，粒子仍受电场力作用，故B错误；
C、粒子运动到x3的过程中，根据能量守恒有q⋅2φ0＝Ek，故C错误；
D、粒子在x1处由静止释放，粒子从x1运动到x3的过程中电势能减小，动能增大，从x3运动到x4的过程中，电势能增大，动能减小，所以粒子运动到x3时速度最大，故D正确。
故选：D。
第51讲 匀强电场中的场强、电势、电势能的定性分析与定量计算
1．（2021•全国）如图，P、Q、M、N为菱形的四个顶点。若已知该空间存在一方向与此菱形平面平行的匀强电场，则（ ）
A．P、Q、M、N四点中至少有两点电势相等
B．P、Q、M、N四点可能位于同一等势面上
C．P、Q间的电势差一定与N、M间的电势差相等
D．P、Q间的电势差一定与Q、M间的电势差相等
【解答】A.过Q点做PN的垂线，交于O点，当电场方向垂直于QO，则QO为一条等势线，匀强电场中，各等势线互相平行，则P、Q、M、N四点电势都不相等，故A错误；
B.匀强电场的等势面是与电场方向垂直的平面，则P、Q、M、N四点不可能位于同一等势面上，故B错误；
C.由图可知，PQ与NM平行且相等，则PQ与NM沿电场线方向的距离相等，根据
U＝Ed
可知
UPQ＝UNM
故C正确；
D.如果电场方向垂直于PO，则PQ为等势线，则
UPQ＝0
则电场线与QM不垂直，则QM不是等势线，则
UQM≠0
故D错误。
故选：C。
（多选）2．（2021•河北）如图，四个电荷量均为q （q＞0）的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为（4l，0）、（﹣4l，0）、（0，y0）和（0，﹣y0），其中x轴上的两个点电荷位置固定，y轴上的两个点电荷可沿y轴对称移动（y0≠0）。下列说法正确的是（ ）
A．除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零
B．当y0取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点
C．当y0＝8l时，将一带负电的试探电荷由点（4l，5l）移至点（0，﹣3l），静电力做正功
D．当y0＝4l时，将一带负电的试探电荷放置在点（l，l）处，其所受到的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上
【解答】解：A、在菱形外侧除无穷远处的任意点，四个点电荷在该点的产生的场强均指向菱形的外侧，根据场强的叠加原理可知，合场强不可能为零，所以除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零，故A正确；
B、根据场强的叠加及对称性，在O点场强为零，当y0取某值时，由对称性可知，在菱形内部其它场强为零的点必定会成对出现，即在菱形内部场强为零的点一定是奇数个，故B错误；
C、根据对称性知，（0，﹣3l）和（0，3l）处场强大小相等，方向相反，两点电势相等，将试探电荷由点（4l，5l）移至点（0，3l），在点（4l，5l），负电荷所受的电场力方向斜向左下方，在（0，3l）处，由于该点到x轴上4l、﹣4l以及y轴上8l的点的距离相等为5l，此三处点电荷在该点（0，3l）的场强大小相等，它们在此处合场强方向沿y轴向上，y轴上﹣8l处的点电荷在（0，3l）处产生的场强方向也沿y轴向上，则（0，3l）的场强方向沿y轴向上，则负电荷在该点所受的电场力方向沿y轴向下，所以一带负电的试探电荷从（4l，5l）沿直线移至点（0，3l），静电力一直做正功，可知将一带负电的试探电荷由点（4l，5l）移至点（0，﹣3l），静电力做正功，故C正确；
D、当y0＝4l时，根据对称性知，x轴和y轴上﹣4l处的点电荷在点（l，l）处产生的场强大小相等为E1，
这两个点电荷的合场强E′1＝2E1cosα
由几何关系知：
解得，方向与x轴正方向成45°斜向上，
同理：x轴和y轴上4l处的点电荷在点（l，l）处产生的场强大小相等为E2，
这两个点电荷的合场强E′2＝2E2cosβ
由几何关系知：
解得，方向与x轴负方向成45°斜向下，
可知：E′2＞E′1，
则点（l，l）处产生的场强方向与x轴负方向成45°斜向下，则负的试探电荷在该点所受的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上，故D正确。
故选：ACD。
一.知识回顾
1．匀强电场：
如果电场中各点的电场强度的大小相等、方向相同，这个电场叫作匀强电场。
2.匀强电场中电势差与电场强度的关系
UAB＝Ed，其中d为匀强电场中A、B两点沿电场方向的距离。即：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。沿电场强度方向电势降落得最快。
3.电场强度的另一表达式
(1)表达式：E＝。(只适用于匀强电场)
(2)意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。也就是说，场强在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。
(3)在匀强电场中U＝Ed，即在沿电场线方向上，U∝d。推论如下：
推论①：如图甲，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
推论②：如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。即在匀强电场中两条平行且相等的线段两端点间的电势差相等。
推论③：在匀强电场中一条直线上（等势线除外），两点间的电势差与这两点间距离成正比。
4．E＝在非匀强电场中的几点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即等差等势面越密，电场强度越大。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系，如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φx图像的斜率判断沿x方向电场强度Ex随位置变化的规律。在φx图像中斜率k＝＝＝－Ex，斜率的绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，斜率为正，表示电场强度方向沿规定的负方向；斜率为负，表示电场强度方向沿规定的正方向。
(4)利用Ex图像与x轴围成的面积表示电势差，即SAB＝ExAB＝Ed＝UAB，分析计算两点间电势差。
5.特殊解题方法：等分线段找等势点法
在匀强电场中，电势沿直线是均匀变化的，即直线上距离相等的线段两端的电势差相等。因此将电势最高点和电势最低点连接后根据需要平分成若干段，找到与已知的第三个点的电势相等的点，这两个等势点的连线即等势线(或等势面)，与等势线(或等势面)垂直的线即为电场线。解题思路：
二.例题回顾
题型一：一题多种解法
例1：a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行。已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图所示，由此可知c点的电势为（ )
A．4 V B．8 V C．12 V D．24 V
解法一：(公式法)设ab间沿电场方向上的距离为d，则cd间沿电场方向的距离也为d。
由E＝得：E＝＝
解得：φc＝8 V。
解法二：(推论①)
连接对角线ac和bd相交于O点，如图所示。由匀强电场的性质可得
φO＝＝，解得：φc＝8 V。
解法二：(推论②)
因为ab＝cd且ab∥cd，所以φb－φa＝φc－φd，解得φc＝8 V。
三法比较
(1)公式法适用匀强电场中E或U的计算，过程较繁琐。
(2)推论①仅适用于匀强电场中两点连线中点的电势的计算。推论②适用于匀强电场中能构成平行四边形的四个点之间电势的计算。
题型二：中点电势公式的运用
（多选）例2．（2018秋•香坊区校级月考）如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q（q＞0）的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2．下列说法正确的是（ ）
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．a、b两点间的电势差Uab一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
【解答】解：A、一电荷量为q（q＞0）的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1，但ab连线不一定沿着电场线，故A错误；
B、粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1，故：qφa﹣qφb＝W1，粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，故：qφc﹣qφd＝W2，匀强电场中，沿着相同方向每前进相同距离电势的变化相同，故φa﹣φM＝φM﹣φc，即φM（φa+φc），同理φN（φb+φd），故qφM﹣qφN，故B正确；
C、因带正电的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1，电场力做正功，故电势差Uab，故C错误；
D、若W1＝W2，根据U可知，Uab＝Ucd，故φa﹣φb＝φc﹣φd，则φa﹣φc＝φb﹣φd，故Uac＝Ubd；而Uac＝2UaM，Ubd＝2UbN，故UaM＝UbN，故D正确；
故选：BD。
题型三：等分线段找等势点法
（多选）例3．（2022•简阳市 校级开学）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V、17V、26V。下列说法正确的是（ ）
A．电场强度的大小为1.75V/cm
B．电场强度的大小为1.25V/cm
C．电场强度的方向与y轴负方向成53°
D．电场强度的方向与x轴负方向成53°
【解答】解：如图所示：
设ac之间的d点电势与b点相同，则，所以d点的坐标为（7cm，12cm），过c点作等势线bd的垂线，由几何关系可得cf的长度为7.2cm，电场强度的大小为：EV/cm＝1.25V/cm，方向与x轴负方向夹角为θ，则cosθ0.8，则θ＝37°，则电场强度的方向与y轴负方向成53°，故AD错误，BC正确；
故选：BC。
题型四：E＝在非匀强电场中的妙用
（多选）例4．（2020•城中区校级模拟）如图所示，实线为电场线，且AB＝BC，电场中的A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC．下列关系中正确的有（ ）
A．EA＞EB＞EC B．φA＞φB＞φC C．UAB＞UBC D．UAB＝UBC
【解答】解：A、由电场线的密集程度可看出电场强度大小关系为 EA＞EB＞EC，故A正确；
B、A、B、C三点处在一根电场线上，根据沿着电场线的方向电势逐渐降落，故有φA＞φB＞φC，故B正确；
C、电场线密集的地方电势降落较快，由U＝Ed知：UAB＞UBC，故C正确，D错误。
故选：ABC。
三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，立方体ABCDEFGH的四个顶点A、C、F、H处各固定着一个电荷量均为Q的正点电荷，则B、D两点（ ）
A．电势相同、电场强度大小相等
B．电势相同、电场强度大小不相等
C．电势不相同、电场强度大小相等
D．电势不相同、电场强度大小不相等
【解答】解：根据对称性可知，A、C、H三点处电荷在D点处产生的电场强度E1是三处点电荷产生电场强度叠加的矢量合，A、C、F三点处电荷在B点处产生的电场强度E2是三处点电荷产生电场强度叠加的矢量合；结合对称性可知A、C、H三点处电荷在D点处产生的电场强度E1的大小刚好与A、C、F三点处电荷在B点处产生的电场强度E2的大小相等，而F处的点电荷在D点处产生的电场强度E3的大小与H处点电荷在B点处产生的电场强度E1的大小也相等，并且E1与E3方向相同，E2与E4方向相同，故B、D两点处的电场强度大小相等但方向不同；根据对称性可知，A、C、H三点处电荷在D点处产生的电势φ1刚好与A、C、F三点处电荷在B点处产生的电势φ2相等，而F处的点电荷在D点处产生的电势φ3与H处点电荷在B点处产生的电势φ4也相等，故B、D两点的电势相同，故A正确，BCD错误。
故选：A。
2. 如图，一条电场线上有a、b、c三点，b为ac的中点，a、c两点的电势分别为4V和﹣8V。则（ ）
A．a点的场强可能大于c点的场强
B．b点的电势可能为6V
C．a点的场强一定等于c点的场强
D．b点的电势一定为﹣2V
【解答】解：AC、只凭一条电场线无法判断出电场强弱，所以a点的场强可能比c点的场强大，可能等于，也可能小于，故A正确，C错误；
BD、a点电势高于c点电势，所以电场线方向由a指向c，ac间各点的电势在4V至﹣8V之间，若电场是匀强电场，根据U＝Ed有Uab＝Ubc
知b点的电势为﹣2V。
若电场是非匀强电场，则Uab≠Ubc
则b点的电势不等于﹣2V。故BD错误。
故选：A。
3. 沿电场线所在直线建立如图所示Ox轴，x轴上各点电势φ随x的变化规律如图所示，坐标点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，O点电势为零。带电量为﹣e的电子从O点由静止释放，仅受电场力作用，下列说法正确的是（ ）
A．在0～x3区间内，电场方向始终指向x轴正方向
B．电子到达B点时动能为
C．电子从A运动到C，加速度先增大后减小
D．若在B点给电子一个沿x轴方向的初速度，电子一定会在AC间做往复运动
【解答】解：A．沿电场线方向电势降低，在0～x3区间内，电势先升高、再降低、再升高，则电场线方向没有始终指向x轴正方向，故A错误；
B．根据动能定理﹣e（0）＝EkB
电子到达B点时动能为
EkB＝e
故B正确；
C．电势φ﹣x图像的斜率大小等于电场强度，电子加速度大小为a
由图像可知，A、C间斜率先变小后变大，则加速度先变小后变大，故C错误；
D．若在B点电子的初速度为沿+x轴方向，BC间电势升高，电场线方向由C指向B，电场力由B指向C，电子做加速运动；若在B点电子的初速度为沿﹣x轴方向，同理，电子也做加速运动。故电子不会再AC间做往复运动，故D错误。
故选：B。
4. 在水平面上固定了三个点电荷，分别放在等腰梯形的三个顶点上，AB＝AD＝DCBC＝L，电量关系及电性如图所示，静电力常数为k。E点的场强大小为（ ）
A．0 B． C． D．
【解答】解：连接AE，如下图所示
根据几何知识可知：AE＝L
则A点的点电荷在E点产生的场强大小为：EA＝k
则B点的点电荷在E点产生的场强为：EB＝k
则C点的点电荷在E点产生的场强为：EC＝2k
故B、C两处点电荷的电场强度之和为EBC＝k，方向水平向右
根据平行四边形定则，则有E点的场强大小为：E
故ABD错误，C正确
故选：C。
5. 如图，在匀强电场中，有边长为2cm的正六边形ABCDEF，其六个顶点均位于同一个圆上，正六边形所在平面与匀强电场的电场线平行，O点为该正六边形的中心，B、D、F三点电势分别为2V、6V、4V，下列说法不正确的是（ ）
A．A点电势为2V
B．UAF等于UCD
C．匀强电场的电场强度大小为
D．将电子由A点移到C点，电场力做功为﹣2eV
【解答】解：A、如图所示，连接BD和CF交于G点
由于G为BD的中点，则G的电势为
可知F、G电势相等，故CF为等势线，电场方向垂直于CF向上，可知AB也为等势线，则有φA＝φB＝2V
故A正确；
B、A、F两点的电势差为UAF＝φA﹣φF＝2V﹣4V＝﹣2VCD两点的电势差为UCD＝φC﹣φD＝4V﹣6V＝﹣2V
故有UAF＝UCD
故B正确；
C、匀强电场的电场强度大小为
故C正确；
D、将电子由A点移到C点，电场力做功为WAC＝﹣eUAC＝2eV
故D错误；
本题下选择错误选项；
故选：D。
6. 空间中两个电量均为+Q的点电荷，对称的放置在O点两侧，以O为几何中心，有一正方形ABCD，四条边的中点分别为E、F、M、N，下列说法正确的是（ ）
A．φA＞φB B．φD＞φB C．UAO＝UOC D．UAE＝UCF
【解答】解：根据电场线对称性和等势面的分布可知，在等量同种点电荷的电场中，A、B、C、D在同一个等势面上，电势相等，故有
UAE＝UME＝UDF＝UCF
UAO＝UCO
故D正确，ABC错误。
故选：D。
7. 如图所示，棱长为30cm的正面四体ABCD处在平行于BCD平面的匀强电场中，A点固定一电荷量为4.0×10﹣9C的点电荷，将另一电荷量为﹣2.0×10﹣9C的点电荷从D点移动到B点，静电力做功﹣1.2×10﹣7J，再把这个电荷从B点移动到C点，静电力做功2.4×10﹣7J。已知静电力常量k＝9.0×109N•m2/C2，下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的方向由B点指向C点
B．匀强电场的场强大小为300V/m
C．B点场强方向与棱AB间的夹角为30°
D．B点场强大小为400V/m
【解答】解：A.根据题意可知，从D到B和从B到C移动另一个电荷时，A点固定的点电荷对其做功为零，根据W＝qU可得，DB间的电势差为UDB，代入数据解得：UDB＝﹣120V
取BC的中点O，则根据题意可知UCO＝UOB＝60V
可得
φO＝φD
连接OD，则OD为匀强电场中的一条等势线，由几何关系可知，BC与DO垂直，则BC为匀强电场的一条电场线，根据沿电场线方向电势降低可知，匀强电场的方向由C点指向B点，故A错误；
B.根据公式E可得，匀强电场的场强大小为EV/m＝400V/m，故B错误；
CD.根据点电荷场强公式E可得，A点固定的点电荷在B点产生的电场的场强为E1V/m＝400V/m
方向为AB连线的延长线方向，如图所示
则根据电场的叠加原理及几何关系可知，B点场强大小为EB＝E1＝E＝400V/m
方向与棱AB间的夹角为120°，故C错误，D正确。
故选：D。
8. 电场中的a、b、c三点在同一直线上，如图所示，其中c为ab的中点，已知a、b两点的电势分别为φa和φb，且φa＜φb＜0，则下列叙述正确的是（ ）
A．该电场a、b、c三点电势关系一定有φa+φb＝2φc
B．负电荷从b点运动到a点，电势能一定会增加
C．负电荷只受电场力作用从a点运动到c点，动能一定增加
D．负电荷从b点运动到c点，电场力一定做正功
【解答】解：A、电场中的a、b、c三点在同一直线上，但电场不一定是匀强电场，所以不一定有φa+φb＝2φc，故A错误；
B、负电荷从b点运动到a点，由于φa＜φb，根据公式Ep＝qφ，因q＜0，故电势能一定增大，故B正确；
C、负电荷只受电场力作用从a点运动到c点过程，因不知初速度情况，故电荷可能加速也可能减速运动，则动能不一定增加，故C错误；
D、因不能判断b点和c点的电势高低关系，故不能确定电场力做功的正负，故D错误；
故选：B。
9. 如图甲，在某电场中的O点先后无初速度释放两个正点电荷Ⅰ和Ⅱ，电荷仅在电场力的作用下沿直线向A运动，两电荷的动能E1随位移x变化的关系如图乙。若Ⅰ的电荷量为q，则可知（ ）
A．电荷Ⅱ的电荷量为
B．电荷Ⅰ受到的电场力大小为FⅡ
C．此电场一定为匀强电场且场强大小E
D．选O点为电势零点，A点的电势为φA
【解答】解：B、由动能定理可知，电荷的动能Ek随位移x的变化图线的斜率表示该电荷所受的电场力，因此电荷Ⅰ和Ⅱ所受电场力分别为：
FⅠ，FⅡ，故B错误；
C、由图可知，电场力是恒力，即电场强度大小和方向均不变，根据F＝qE可知，匀强电场的电场强度大小为：E，故C正确；
A、根据FⅡ且FⅡ＝q'E可知，q'＝2q，故A错误；
D、电荷Ⅰ由O到A的过程中，根据动能定理可知：qU0A＝Ek0，解得：U0A
又O点为电势零点，所以φo﹣φA，解得：φA，故D错误；
故选：C。
10. 如图所示，匀强电场平面内有一个直角三角形MNP，其中∠M＝90°，∠N＝30°，MP＝3m。若在M点处沿该平面向不同方向射出动能为8eV的电子，有两电子分别经过P、N两点时的动能分别为6eV和14eV。不考虑电子间的相互作用，则下列关于该匀强电场场强E的大小及P、N点电势高低的比较正确的是（ ）
A．E（V/m）；ϕp＜ϕN B．E（V/m）；ϕp＞ϕN
C．E（V/m）；ϕp＜ϕN D．E（V/m）；ϕp＞ϕN
【解答】解：匀强电场中，电势差与距离成正比；等势面为平面，且始终与电场线垂直。电子从M运动到P，由动能定理及电场力做功与电势差之间的关系，有
UMP＝φM﹣φP2V
同理可得
UMN＝φM﹣φN＝8V
因此
UNP＝8V
将PN四等分，如图所示，
由几何关系知MK⊥PN，且
UKN＝6V＝UMN
故可得
φM＝φK
故MK在匀强电场的等势面上，因此NP与匀强电场的电场线重合，且场强方向沿N指向P，即φP＜φN.且
EV/mV/m
故A正确，BCD错误；
故选：A。
11. 如图所示为某电场中x轴上电势φ随x变化的图像，静电场方向平行于x轴。一质量为m、带电荷量为+q的粒子仅在电场力作用下沿x轴正向运动，则下列说法正确的是（ ）
A．在本来x1～x4之间，电场方向先沿x轴负方向，后沿x轴正方向
B．若粒子在x1处由静止释放，则粒子在x2处和x4处不受电场力作用
C．若粒子在x1处由静止释放，则粒子运动到x3处时的动能为qφ0
D．若粒子在x1处由静止释放，则粒子运动到x3处时的速度最大
【解答】解：A、在x1～x4之间，电场方向先沿x轴正向，再沿x轴负向，故A错误；
B、由可知，图像的斜率表示电场强度，所以x2处和x4处场强不为零，粒子仍受电场力作用，故B错误；
C、粒子运动到x3的过程中，根据能量守恒有q⋅2φ0＝Ek，故C错误；
D、粒子在x1处由静止释放，粒子从x1运动到x3的过程中电势能减小，动能增大，从x3运动到x4的过程中，电势能增大，动能减小，所以粒子运动到x3时速度最大，故D正确。
故选：D。
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