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新高考物理一轮复习知识梳理+分层练习专题65 电磁感应中的双棒问题（含解析）
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这是一份新高考物理一轮复习知识梳理+分层练习专题65 电磁感应中的双棒问题（含解析），共19页。
2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题65 电磁感应中的双棒问题
导练目标
导练内容
目标1
无外力等距式双棒问题
目标2
有外力等距式双棒问题
目标3
无外力不等距式双棒问题
目标4
有外力不等距式双棒问题
【知识导学与典例导练】
模型
规律
无外力等距式（导轨光滑）
1、 电流大小：
2、 稳定条件：两棒达到共同速度
3、 动量关系：
4、 能量关系：；
有外力等距式（导轨光滑）
1、 电流大小：
2、 力学关系：；。（任意时刻两棒加速度）
3、 稳定条件：当a2＝a1时，v2-v1恒定；I恒定；FA恒定；两棒匀加速。
4、 稳定时的物理关系：
；；；
无外力不等距式
（导轨光滑）
1、 动量关系：；
2、 稳定条件：
3、 最终速度：；
4、 能量关系：
5、 电量关系：
有外力不等距式
（导轨光滑）
F为恒力，则：
1、 稳定条件：，I恒定，两棒做匀加速直线运动
2、 常用关系：
3、 常用结果：
此时回路中电流为：与两棒电阻无关
一、无外力等距式双棒问题
【例1】如图，水平面内固定有两根平行的光滑长直金属导轨，导轨间距为l，电阻不计。整个装置处于两个磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中，虚线为两磁场的分界线，质量均为m的两根相同导体棒MN、PQ静置于图示的导轨上（两棒始终与导轨垂直且接触良好）。现使MN棒获得一个大小为v0、方向水平向左的初速度，则在此后的整个运动过程中（ ）
A．两棒受到的安培力冲量大小相等，方向相反
B．两棒最终的速度大小均为
C．MN棒产生的焦耳热为
D．通过PQ棒某一横截面的电荷量为
【答案】D
【详解】A．根据右手定则知，回路中产生沿NMPQN方向的感应电流，根据左手定则可知，MN棒受到的安培力水平向右，PQ棒受到的安培力也水平向右，且两棒受到的安培力大小相等，则两棒受到的安培力冲量大小相等，方向相同，选项A错误；
B．当两棒产生的感应电动势大小相等，相互抵消，回路中感应电流为零时，两棒均做匀速运动，达到稳定状态，稳定时，有Blv1＝Blv2解得v1＝v2对PQ棒，根据动量定理得I＝mv2－0对MN棒，根据动量定理得
－I＝mv1－mv0解得v1＝v2＝选项B错误；
C．根据能量守恒定律得2Q＝mv－解得MN棒产生的焦耳热为Q＝选项C错误；
D．对PQ棒，根据动量定理得Bl·t＝mv2－0通过PQ棒某一横截面的电荷量为q＝t可得q＝选项D正确。故选D。
二、有外力等距式双棒问题
【例2】如图所示，U形光滑金属框置于水平绝缘平台上，和边平行，和边垂直。、足够长，整个金属框电阻可忽略。一根具有一定电阻的导体棒置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，与金属框保持良好接触且与bc边保持平行。经过一段时间后（ ）
①金属框的速度大小趋于恒定值 ②金属框的加速度大小趋于恒定值
③导体棒所受安培力的大小趋于恒定值 ④导体棒到金属框边的距离趋于恒定值
A．①②是正确的 B．②③是正确的 C．③④是正确的 D．①④是正确的
【答案】B
【详解】由bc边切割磁感线产生电动势，形成电流，使得导体棒MN受到向右的安培力，做加速运动，bc边受到向左的安培力，向右做加速运动。当MN运动时，金属框的bc边和导体棒MN一起切割磁感线，设导体棒MN和金属框的速度分别为和， 则电路中的电动势电路中的电
金属框和导体棒MN受到的安培力与运动方向相反与运动方向相同
设导体棒MN和金属框的质量分别为和，则对导体棒MN对金属框
初速度均为零，则从零开始逐渐增加，从开始逐渐减小。当=时，相对速度大小恒定。
整个运动过程用速度时间图像描述如下
综上可得，金属框的加速度趋于恒定值，安培力也趋于恒定值，②③正确；金属框的速度会一直增大，导体棒到金属框bc边的距离也会一直增大，①④错误。故选B。
三、 无外力不等距式双棒问题
【例3】两根相互平行、足够长的光滑金属导轨ACD-A1C1D1固定于水平桌面上，左侧AC-A1C1轨道间距为L，右侧CD-C1D1轨道间距为2L，导轨所在区域存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。如图所示，两横截面积相同、由同种金属材料制成的导体棒a、b分别置于导轨的左右两侧，已知导体棒a的质量为m。某时刻导体棒a获得一个初速度v0开始向右运动，导体棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计。关于导体棒以后的运动，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒a、b运动稳定后，相等时间内通过的位移之比是2∶1
B．导体棒a、b运动稳定后的速度分别为，
C．从开始到运动稳定的过程中，通过导体棒a的电荷量为
D．从开始到运动稳定的过程中，导体棒b产生的热量为
【答案】AD
【详解】A．设导体棒a的电阻为R，则导体棒b的质量为2m、电阻为2R。导体棒a获得向右的初速度后，导体棒a、b与导轨组成的回路产生感应电流，根据楞次定律可判断出导体棒a受向左的安培力，开始向右做减速运动；导体棒b中电流方向与a相反，受到向右的安培力，开始向右做加速运动，同时产生与a相反的感应电动势，因此电路中感应电动势为当a、b产生的感应电动势大小相等时，即
；电路中电流为零，此后导体棒a、b将分别以va、vb做匀速运动，相等时间内通过的位移之比是2∶1，故A正确；
B．在导体棒从开始运动到稳定运动的过程中，根据动量定理列方程，取向右为正方向，对导体棒a，有；对导体棒b，有联立以上三式解得，故B错误；
C．由于通过导体棒的电荷量为根据以上分析可得解得故C错误；
D．在整个过程中由能量守恒定律知，整个电路中产生的焦耳热为
由于a、b棒产生的热量之比为因此导体棒b产生的热量故D正确。故选AD。
四、 有外力不等距式双棒问题
【例4】如图所示，两电阻不计的光滑平行导轨水平放置，部分的宽度为部分的宽度为，金属棒和的质量分别为和，其电阻大小分别为和，a和分别静止在和上，垂直于导轨且相距足够远，整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为。现对金属棒施加水平向右的恒力，两棒运动时始终保持平行且总在上运动，总在上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的是（ ）
A．回路中的感应电动势为零
B．流过金属棒的电流大小为
C．金属棒和均做匀速直线运动
D．金属棒和均做加速度相同的匀加速直线运动
【答案】B
【详解】ACD．对ab整体分析，由于受恒定拉力作用，则经过足够长时间后最终达到稳定状态，此时回路中的感应电动势保持恒定，则回路中的电流恒定，设两棒的加速度为aa、ab，有由于电动势恒定，则对上式两边求变化率有则可得
故ACD错误；
B． 根据受力分析，由牛顿第二定律得；；联立解得由于金属棒a，b串联，则流过a的电流大小也为，故B正确。故选B。
【多维度分层专练】
1．如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。两导体棒、均垂直于导轨静止放置。已知导体棒质量为，导体棒质量为；长度均为，电阻均为；其余部分电阻不计。现使导体棒获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度v0。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．任何一段时间内，导体棒动能增加量跟导体棒动能减少量的数值总是相等的
B．任何一段时间内，导体棒动量改变量跟导体棒动量改变量总是大小相等、方向相反
C．全过程中，通过导体棒的电荷量为
D．全过程中，b棒共产生的焦耳热为
【答案】BCD
【详解】AB．根据题意可知，两棒组成回路，电流相同，故所受安培力合力为零，动量守恒，故任何一段时间内，导体棒b动量改变量跟导体棒a动量改变量总是大小相等、方向相反，根据能量守恒可知，a动能减少量的数值等于b动能增加量与产热之和，故A错误B正确；
CD．最终共速速度对b棒解得根据能量守恒，两棒共产生的焦耳热为而由于两棒的电阻大小相等，因此b棒产生的焦耳热为
故CD正确。故选BCD。
2．如图所示，固定于水平面内的电阻不计的足够长光滑平行金属导轨间距为L，质量均为m、阻值均为R的金属棒、垂直搁置于导轨上，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上某一时刻同时给、以平行于导轨的初速度、。则两棒从开始运动至达到稳定速度的过程中（ ）
A．中的最大电流为 B．达到稳定速度时，其两端的电压为0
C．速度为时，其加速度比的小 D．、间距增加了
【答案】AD
【详解】A．根据右手定则，回路产生顺时针的感应电流，根据左手定则，cd所受安培力向左做减速运动，ab所受安培力向右做加速运动，故回路中的感应电动势为所以，回路中感应电动势逐渐减小，感应电流逐渐减小，稳定时回路中感应电流为零，两根杆以相同的速度运动。故初始时刻电流最大
，A正确；
B．两杆组成的系统合外力为零，动量守恒，可得解得稳定时棒两端电压为
，B错误；
C ．根据牛顿第三定律，稳定前两棒所受安培力大小相等，方向相反，两棒的加速度也大小相等，方向相反，C错误；
D．设、间距增加了x，对回路；；；故对ab根据动量定理得 解得，D正确。故选AD。
3．如图，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。有两根完全相同的金属棒a和b垂直静置于水平光滑平行金属导轨上。导轨间距为L，电阻不计，金属棒与导轨接触良好，两根金属棒质量均为m，电阻均为R。某时刻给a施加一个水平向右的恒力F，关于a、b棒最终的状态，下列说法正确的是（ ）
A．a、b棒处于相对静止的状态 B．a棒受到的安培力与F是一对平衡力
C．b棒的加速度为 D．回路中的电功率为
【答案】CD
【详解】A．开始时a棒在拉力和安培力作用下加速运动，此时速度较小，安培力较小，加速度较大，b棒在安培力作用下做加速运动，此时安培力较小，加速度较小，a速度增加的比b快，则根据
回路电动势增加，安培力增加，则a加速度减小，b加速度增加，最终稳定时，两棒的速度差恒定即加速度相同，安培力不再变化，故a相对于b向右运动，故A错误；
B．由上分析可知，拉力F大于a受到的安培力，故B错误；
C．最终稳定时，两棒受到的安培力等大反向，对整体根据牛顿第二定律解得故C正确；
D．对a，根据牛顿第二定律对b，根据牛顿第二定律解得回路中的电功率故D正确。故选CD。
4．如图所示，光滑金属导轨M、N互相平行，相距为L，两金属棒a和b垂直于导轨且紧靠着放置，它们的质量均为m，在两导轨之间的电阻均为R。整个装置位于水平面内，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨电阻忽略不计，长度足够长。t＝0时刻对棒a施加一平行于导轨的恒力F，在t＝t1时刻电路中电流恰好达到稳定，然后在时刻撤去力F。则（ ）
A．t1时刻两金属棒的加速度相同
B．在t1～（t1+Δt）时间内a、b两棒位移之差为
C．撤去力F后，导轨之间的电势差UMN逐渐增大
D．撤去力F后，两个导体棒最终速度为
【答案】ABD
【详解】A．a棒在拉力F作用下向右做加速运动切割磁感线，与b棒组成回路，所以b棒在安培力作用下向右做加速运动，电路中的总电动势为；a棒做加速度减小的加速，b棒做加速度增大的加速，当加速度相等时，电路中的电流恒定，故t1时刻两金属棒的加速度相同，A正确；
B．t1时刻由牛顿第二定律，对a：；对b故即其中
解得因为在t1～（t1+Δt）时间内，两杆速度差保持不变，故a、b两棒位移之差为，B正确；
C．撤去力F后，由闭合电路欧姆定律可知由动量守恒可知
即所以恒定，C错误；
D．撤去力F后，两个导体棒水平方向合外力为零，动量守恒，最终二者共速，设共速速度为v。全过程两金属棒受到的安培力始终等大、反向，作用时间相等，故安培力对两金属棒的冲量等大、反向。设全过程安培力对金属棒的冲量大小为I安，规定向右为正方向，对金属棒a应用动量定理可得
对b应用动量定理可得联立可得，D正确。故选ABD。
5．如图所示，导体棒a、b分别置于平行光滑水平固定金属导轨的左右两侧，其中a棒离宽轨道足够长，b棒所在导轨无限长，导轨所在区域存在垂直导轨所在平面竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。已知导体棒的长度等于导轨间的距离，导体棒粗细均匀，材质相同，a棒的质量为m，电阻为R，a棒的长度为L，b棒的长度为。现给导体棒a一个水平向右的瞬时冲量I。导体棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好，不计导轨电阻，关于导体棒以后的运动，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒a稳定运动后的速度为
B．导体棒b稳定运动后的速度为
C．从开始到稳定运动过程中，通过导体棒a的电荷量为
D．从开始到稳定运动过程中，导体棒b产生的热量为
【答案】AC
【详解】AB．导体棒a受向右的瞬时冲量I，由动量定理可知导体棒的初速度导体棒开始向右运动后，受安培力作用做减速运动，导体棒b受安培力作用开始向右做加速运动，当两棒产生的感应电动势大小相等时，回路中的电流是零，两棒不在受安培力作用，均做匀速直线运动，达到稳定状态，则有BLva=B2Lvb
解得va=2vb对a棒，由动量定理得−BL∙∆t=mva−mv0对b棒，由动量定理得B2L∙∆t=2mvb解得
，A正确，B错误；
C．设从开始到稳定运动中，经导体棒a的电荷量为q，则有结合−BL∙∆t=mva−mv0解得，C正确；
D．从开始到稳定运动中，对整个电路，由能量守恒定律可得解得
；，D错误。故选AC。
6．如图，足够长的平行光滑金属导轨M、N固定在水平面上，虚线CD左侧导轨间距为2L，右侧导轨间距离为L。垂直导轨平面有竖直方向的匀强磁场，以CD为分界线，左侧磁感应强度大小为B、方向向下；右侧磁感应强度大小为2B、方向向上。导体棒a、b垂直导轨放置，棒与导轨始终接触良好，导轨电阻不计。现使棒a获得一向左的水平速度，在两棒之后的运动中，导轨M、N两端的电势差，导体棒a、b的速度，以及棒a、b受到的安培力与时间t的关系，下列图像大致正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】BC．导体棒a向左运动，穿过闭合回路的磁通量发生变化，产生感应电流，根据楞次定律和左手定则可知，a受到的安培力向右、b受到的安培力向右，故a向左做减速运动，b向右做加速运动，当穿过闭合回路的磁通量不再变化，回路不再有感应电流，两棒均做匀速运动，匀速运动时应有
即得当定义向左为正方向，B图大致正确，故B正确，C错误；
A．根据右手定则，导轨M、N两端的电势差由于b棒开始做加速度减小的加速度运动，当两棒产生的电动势大小相等时，回路中的电流为0，最后匀速运动，最后M、N间的电压为BLv，A正确；
D．根据以上分析可知，两棒受到的安培力方向相同，故D错误。故选AB。
7．如图所示，a1b1c1d1和a2b2c2d2为竖直放置且共面的金属导轨，处在垂直导轨平面（纸面）向里的匀强磁场中磁感应强度为B。导轨的a1b1段与a2b2段距离为l，c1d1段与c2d2段距离为2l。p、q为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m和2m，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。F为作用于金属杆q上的恒力，方向竖直向上。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，则此时（ ）
A．p杆受到的安培力方向竖直向下
B．p杆受到的安培力大小为F-3mg
C．p杆中的电流大小为
D．p杆匀速运动的速度大小为
【答案】BD
【详解】A．q杆和p杆在F的作用下，竖直向上运动，两杆都切割磁感线，两杆上都产生感应电动势，若将他们各自都看作电源，则根据右手定则，都是右边为正极，左边为负极，这样两杆产生的电动势要进行抵消之后才是整个电路中总的电动势。即闭合回路中的电流方向为逆时针。电流大小处处相等，根据左手定则判断，p杆受到的安培力方向竖直向上，记为F安。A错误；
B．因为q杆长度是p杆的两倍，故其受到的安培力大2F安，方向竖直向下。系统做匀速直线运动，受力平衡，对p、q组成的系统进行受力分析可得：解得故B正确；
C．由得，C错误；
D．由得，D正确。故选BD。
8．如图所示，将两根质量均为的金属棒a、b分别垂直地放在足够长的水平导轨和上，左右两部分导轨间距分别为0.5m和1m，左右两部分导轨间有磁感应强度，方向相反的匀强磁场，两棒电阻与棒长成正比，不计导轨电阻，金属棒b开始时位于图中位置，金属棒a在NQ位置，金属棒b用绝缘细线绕过光滑定滑轮和一物块c相连，c的质量，c开始时距地面的高度。物块c由静止开始下落，触地后不反弹，物块c触地时两棒速率之比，物块c下落过程中b棒上产生的焦耳热为20J，设导轨足够长且两棒始终在磁场中运动，，整个过程中导轨和金属棒接触良好，且导轨光滑，求：
（1）物块c触地时，b棒的速度大小；
（2）从b开始运动到c落地的过程中通过b棒的电荷量；
（3）从物块c触地后开始，到两棒匀速运动过程中系统产生的热量。
【答案】（1）8m/s；（2）1.6C；（3）28.8J
【详解】（1）金属棒a、b的有效长度分别为L和2L，电阻分别为R和2R，金属棒a、b串联，在任何时刻电流均相等，b棒产生的焦耳热Q2＝20 J，根据焦耳定律Q＝I2Rt得a棒上产生的焦耳热为Q1＝10 J
根据能量守恒定律有根据题意有va∶vb＝1∶2解得va＝4 m/s，vb＝8 m/s
（2）对a，由动量定理又解得，a与b串联，相同时间通过的电量相等，所以从b开始运动到c落地的过程中通过b棒的电荷量为1.6C。
（3）物块c触地后，a棒向左做加速运动，b棒向右做减速运动，两棒最终匀速运动时电路中电流为零，即两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，设磁感应强度大小为B，则BLva′＝B·2Lvb′得va′＝2vb′
对两棒分别应用动量定理，有；解得联立以上各式解得va′＝6.4 m/s，vb′＝3.2 m/s根据能量守恒定律，从物块c触地到两棒匀速运动的过程中系统产生的热量为
代入数据，解得Q3＝28.8 J
9．如图（a）所示，在水平面内固定有两根平行且足够长光滑金属导轨MN、PQ，间距为L，电阻不计。以PQ上的O点为坐标原点，沿导轨建立如图所示的x轴。导轨间区域内存在竖直向上的磁场，磁感应强度B随位置坐标x的变化规律如图（b）所示（图中，d已知）。金属棒a置于处，金属棒b置于的某处，两棒均与导轨垂直且始终接触良好，电阻均为R，质量均为m。时，锁定b棒，a棒获得瞬时初速度并在拉力的作用下开始做匀速直线运动。
（1）求a棒运动到处回路中电流的大小；
（2）写出a棒从处运动到处的过程中回路中电流i与时间的关系式并求出此过程中通过a棒的电荷量：
（3）当a棒运动到处时，撤去拉力，同时解锁b棒，假设a、b棒不会相碰，求此后回路中产生的焦耳热。
【答案】（1）；（2），；（3）
【详解】（1）根据题意，由图（b）可知，a棒运动到处时，此处的磁感应强度为，则感应电动势为；a棒运动到处回路中电流的大小
（2）根据题意，由图（b）可知，磁感应强度与的关系式为由于a棒获得瞬时初速度并在拉力的作用下开始做匀速直线运动，设运动时间为，则有则时刻，磁感应强度为
感应电动势为感应电流为根据题意可知，感应电动势为 感应电流为通过a棒的电荷量为由图（b）可得则
（3）当a棒运动到处时，撤去拉力，同时解锁b棒，假设a、b棒不会相碰，a、b棒系统动量守恒，且最终两棒速度相等，设相等速度为，则有解得由能量守恒定律可得，回路中产生的焦耳热为
10．如图所示，间距为d的平行光滑金属导轨ab、fg构成倾角为的斜面，平行光滑金属导轨bcde、ghij访处于同一水平面内，bc、gh段间距为d，de、ij段间距为2d，倾斜导轨与水平导轨分别在b、g处由一小段光滑绝缘圆弧（长度可忽略）相连。倾斜导轨部分处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为2B，水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B（磁场均未画出）。导体棒Q静止于de、ij段，导体棒P从距bg为L的位置由静止释放。导体棒P、Q的质量均为m、电阻均为R，两导体棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，导轨af端接有电容的电容器，bc、gh、de、ij段均足够长，重力加速度为g，不计导轨电阻及空气阻力。求：
（1）导体棒P到达bg时的速度大小；
（2）导体棒P在水平导轨上运动的过程中，闭合回路面积的改变量；
（3）整个运动过程中，导体棒P上产生的焦耳热。
【答案】（1）（2）（3）
【详解】（1）倾斜导轨与水平导轨在b、g处由两小段光滑绝缘圆弧（长度可忽略）相连，导体棒P到达bg前，导体棒Q保持静止。对导体棒P，由牛顿第二定律得又
故I为解得所以导体棒P在倾斜导轨上做匀加速直线运动，由运动规律得解得
（2）导体棒P到达bg后，导体棒P做减速运动，导体棒Q做加速运动，最终导体棒P、Q做匀速运动，闭合回路中的感应电流为0，由法拉第电磁感应定律得对导体棒P，由动量定理得对导体棒Q，由动量定理得又由法拉第电磁感应定律得
由闭合电路欧姆定律得解得
（3）导体棒P在倾斜导轨上做匀加速直线运动，由（1）可得；；
导体棒P在水平导轨上运动，由能量守恒定律得整个运动过程中，导体棒P上产生的焦耳热为解得
2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题65 电磁感应中的双棒问题
导练目标
导练内容
目标1
无外力等距式双棒问题
目标2
有外力等距式双棒问题
目标3
无外力不等距式双棒问题
目标4
有外力不等距式双棒问题
【知识导学与典例导练】
模型
规律
无外力等距式（导轨光滑）
1、 电流大小：
2、 稳定条件：两棒达到共同速度
3、 动量关系：
4、 能量关系：；
有外力等距式（导轨光滑）
1、 电流大小：
2、 力学关系：；。（任意时刻两棒加速度）
3、 稳定条件：当a2＝a1时，v2-v1恒定；I恒定；FA恒定；两棒匀加速。
4、 稳定时的物理关系：
；；；
无外力不等距式
（导轨光滑）
1、 动量关系：；
2、 稳定条件：
3、 最终速度：；
4、 能量关系：
5、 电量关系：
有外力不等距式
（导轨光滑）
F为恒力，则：
1、 稳定条件：，I恒定，两棒做匀加速直线运动
2、 常用关系：
3、 常用结果：
此时回路中电流为：与两棒电阻无关
一、无外力等距式双棒问题
【例1】如图，水平面内固定有两根平行的光滑长直金属导轨，导轨间距为l，电阻不计。整个装置处于两个磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中，虚线为两磁场的分界线，质量均为m的两根相同导体棒MN、PQ静置于图示的导轨上（两棒始终与导轨垂直且接触良好）。现使MN棒获得一个大小为v0、方向水平向左的初速度，则在此后的整个运动过程中（ ）
A．两棒受到的安培力冲量大小相等，方向相反
B．两棒最终的速度大小均为
C．MN棒产生的焦耳热为
D．通过PQ棒某一横截面的电荷量为
【答案】D
【详解】A．根据右手定则知，回路中产生沿NMPQN方向的感应电流，根据左手定则可知，MN棒受到的安培力水平向右，PQ棒受到的安培力也水平向右，且两棒受到的安培力大小相等，则两棒受到的安培力冲量大小相等，方向相同，选项A错误；
B．当两棒产生的感应电动势大小相等，相互抵消，回路中感应电流为零时，两棒均做匀速运动，达到稳定状态，稳定时，有Blv1＝Blv2解得v1＝v2对PQ棒，根据动量定理得I＝mv2－0对MN棒，根据动量定理得
－I＝mv1－mv0解得v1＝v2＝选项B错误；
C．根据能量守恒定律得2Q＝mv－解得MN棒产生的焦耳热为Q＝选项C错误；
D．对PQ棒，根据动量定理得Bl·t＝mv2－0通过PQ棒某一横截面的电荷量为q＝t可得q＝选项D正确。故选D。
二、有外力等距式双棒问题
【例2】如图所示，U形光滑金属框置于水平绝缘平台上，和边平行，和边垂直。、足够长，整个金属框电阻可忽略。一根具有一定电阻的导体棒置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，与金属框保持良好接触且与bc边保持平行。经过一段时间后（ ）
①金属框的速度大小趋于恒定值 ②金属框的加速度大小趋于恒定值
③导体棒所受安培力的大小趋于恒定值 ④导体棒到金属框边的距离趋于恒定值
A．①②是正确的 B．②③是正确的 C．③④是正确的 D．①④是正确的
【答案】B
【详解】由bc边切割磁感线产生电动势，形成电流，使得导体棒MN受到向右的安培力，做加速运动，bc边受到向左的安培力，向右做加速运动。当MN运动时，金属框的bc边和导体棒MN一起切割磁感线，设导体棒MN和金属框的速度分别为和， 则电路中的电动势电路中的电
金属框和导体棒MN受到的安培力与运动方向相反与运动方向相同
设导体棒MN和金属框的质量分别为和，则对导体棒MN对金属框
初速度均为零，则从零开始逐渐增加，从开始逐渐减小。当=时，相对速度大小恒定。
整个运动过程用速度时间图像描述如下
综上可得，金属框的加速度趋于恒定值，安培力也趋于恒定值，②③正确；金属框的速度会一直增大，导体棒到金属框bc边的距离也会一直增大，①④错误。故选B。
三、 无外力不等距式双棒问题
【例3】两根相互平行、足够长的光滑金属导轨ACD-A1C1D1固定于水平桌面上，左侧AC-A1C1轨道间距为L，右侧CD-C1D1轨道间距为2L，导轨所在区域存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。如图所示，两横截面积相同、由同种金属材料制成的导体棒a、b分别置于导轨的左右两侧，已知导体棒a的质量为m。某时刻导体棒a获得一个初速度v0开始向右运动，导体棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计。关于导体棒以后的运动，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒a、b运动稳定后，相等时间内通过的位移之比是2∶1
B．导体棒a、b运动稳定后的速度分别为，
C．从开始到运动稳定的过程中，通过导体棒a的电荷量为
D．从开始到运动稳定的过程中，导体棒b产生的热量为
【答案】AD
【详解】A．设导体棒a的电阻为R，则导体棒b的质量为2m、电阻为2R。导体棒a获得向右的初速度后，导体棒a、b与导轨组成的回路产生感应电流，根据楞次定律可判断出导体棒a受向左的安培力，开始向右做减速运动；导体棒b中电流方向与a相反，受到向右的安培力，开始向右做加速运动，同时产生与a相反的感应电动势，因此电路中感应电动势为当a、b产生的感应电动势大小相等时，即
；电路中电流为零，此后导体棒a、b将分别以va、vb做匀速运动，相等时间内通过的位移之比是2∶1，故A正确；
B．在导体棒从开始运动到稳定运动的过程中，根据动量定理列方程，取向右为正方向，对导体棒a，有；对导体棒b，有联立以上三式解得，故B错误；
C．由于通过导体棒的电荷量为根据以上分析可得解得故C错误；
D．在整个过程中由能量守恒定律知，整个电路中产生的焦耳热为
由于a、b棒产生的热量之比为因此导体棒b产生的热量故D正确。故选AD。
四、 有外力不等距式双棒问题
【例4】如图所示，两电阻不计的光滑平行导轨水平放置，部分的宽度为部分的宽度为，金属棒和的质量分别为和，其电阻大小分别为和，a和分别静止在和上，垂直于导轨且相距足够远，整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为。现对金属棒施加水平向右的恒力，两棒运动时始终保持平行且总在上运动，总在上运动，经过足够长时间后，下列说法正确的是（ ）
A．回路中的感应电动势为零
B．流过金属棒的电流大小为
C．金属棒和均做匀速直线运动
D．金属棒和均做加速度相同的匀加速直线运动
【答案】B
【详解】ACD．对ab整体分析，由于受恒定拉力作用，则经过足够长时间后最终达到稳定状态，此时回路中的感应电动势保持恒定，则回路中的电流恒定，设两棒的加速度为aa、ab，有由于电动势恒定，则对上式两边求变化率有则可得
故ACD错误；
B． 根据受力分析，由牛顿第二定律得；；联立解得由于金属棒a，b串联，则流过a的电流大小也为，故B正确。故选B。
【多维度分层专练】
1．如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。两导体棒、均垂直于导轨静止放置。已知导体棒质量为，导体棒质量为；长度均为，电阻均为；其余部分电阻不计。现使导体棒获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度v0。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．任何一段时间内，导体棒动能增加量跟导体棒动能减少量的数值总是相等的
B．任何一段时间内，导体棒动量改变量跟导体棒动量改变量总是大小相等、方向相反
C．全过程中，通过导体棒的电荷量为
D．全过程中，b棒共产生的焦耳热为
【答案】BCD
【详解】AB．根据题意可知，两棒组成回路，电流相同，故所受安培力合力为零，动量守恒，故任何一段时间内，导体棒b动量改变量跟导体棒a动量改变量总是大小相等、方向相反，根据能量守恒可知，a动能减少量的数值等于b动能增加量与产热之和，故A错误B正确；
CD．最终共速速度对b棒解得根据能量守恒，两棒共产生的焦耳热为而由于两棒的电阻大小相等，因此b棒产生的焦耳热为
故CD正确。故选BCD。
2．如图所示，固定于水平面内的电阻不计的足够长光滑平行金属导轨间距为L，质量均为m、阻值均为R的金属棒、垂直搁置于导轨上，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上某一时刻同时给、以平行于导轨的初速度、。则两棒从开始运动至达到稳定速度的过程中（ ）
A．中的最大电流为 B．达到稳定速度时，其两端的电压为0
C．速度为时，其加速度比的小 D．、间距增加了
【答案】AD
【详解】A．根据右手定则，回路产生顺时针的感应电流，根据左手定则，cd所受安培力向左做减速运动，ab所受安培力向右做加速运动，故回路中的感应电动势为所以，回路中感应电动势逐渐减小，感应电流逐渐减小，稳定时回路中感应电流为零，两根杆以相同的速度运动。故初始时刻电流最大
，A正确；
B．两杆组成的系统合外力为零，动量守恒，可得解得稳定时棒两端电压为
，B错误；
C ．根据牛顿第三定律，稳定前两棒所受安培力大小相等，方向相反，两棒的加速度也大小相等，方向相反，C错误；
D．设、间距增加了x，对回路；；；故对ab根据动量定理得 解得，D正确。故选AD。
3．如图，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。有两根完全相同的金属棒a和b垂直静置于水平光滑平行金属导轨上。导轨间距为L，电阻不计，金属棒与导轨接触良好，两根金属棒质量均为m，电阻均为R。某时刻给a施加一个水平向右的恒力F，关于a、b棒最终的状态，下列说法正确的是（ ）
A．a、b棒处于相对静止的状态 B．a棒受到的安培力与F是一对平衡力
C．b棒的加速度为 D．回路中的电功率为
【答案】CD
【详解】A．开始时a棒在拉力和安培力作用下加速运动，此时速度较小，安培力较小，加速度较大，b棒在安培力作用下做加速运动，此时安培力较小，加速度较小，a速度增加的比b快，则根据
回路电动势增加，安培力增加，则a加速度减小，b加速度增加，最终稳定时，两棒的速度差恒定即加速度相同，安培力不再变化，故a相对于b向右运动，故A错误；
B．由上分析可知，拉力F大于a受到的安培力，故B错误；
C．最终稳定时，两棒受到的安培力等大反向，对整体根据牛顿第二定律解得故C正确；
D．对a，根据牛顿第二定律对b，根据牛顿第二定律解得回路中的电功率故D正确。故选CD。
4．如图所示，光滑金属导轨M、N互相平行，相距为L，两金属棒a和b垂直于导轨且紧靠着放置，它们的质量均为m，在两导轨之间的电阻均为R。整个装置位于水平面内，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨电阻忽略不计，长度足够长。t＝0时刻对棒a施加一平行于导轨的恒力F，在t＝t1时刻电路中电流恰好达到稳定，然后在时刻撤去力F。则（ ）
A．t1时刻两金属棒的加速度相同
B．在t1～（t1+Δt）时间内a、b两棒位移之差为
C．撤去力F后，导轨之间的电势差UMN逐渐增大
D．撤去力F后，两个导体棒最终速度为
【答案】ABD
【详解】A．a棒在拉力F作用下向右做加速运动切割磁感线，与b棒组成回路，所以b棒在安培力作用下向右做加速运动，电路中的总电动势为；a棒做加速度减小的加速，b棒做加速度增大的加速，当加速度相等时，电路中的电流恒定，故t1时刻两金属棒的加速度相同，A正确；
B．t1时刻由牛顿第二定律，对a：；对b故即其中
解得因为在t1～（t1+Δt）时间内，两杆速度差保持不变，故a、b两棒位移之差为，B正确；
C．撤去力F后，由闭合电路欧姆定律可知由动量守恒可知
即所以恒定，C错误；
D．撤去力F后，两个导体棒水平方向合外力为零，动量守恒，最终二者共速，设共速速度为v。全过程两金属棒受到的安培力始终等大、反向，作用时间相等，故安培力对两金属棒的冲量等大、反向。设全过程安培力对金属棒的冲量大小为I安，规定向右为正方向，对金属棒a应用动量定理可得
对b应用动量定理可得联立可得，D正确。故选ABD。
5．如图所示，导体棒a、b分别置于平行光滑水平固定金属导轨的左右两侧，其中a棒离宽轨道足够长，b棒所在导轨无限长，导轨所在区域存在垂直导轨所在平面竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。已知导体棒的长度等于导轨间的距离，导体棒粗细均匀，材质相同，a棒的质量为m，电阻为R，a棒的长度为L，b棒的长度为。现给导体棒a一个水平向右的瞬时冲量I。导体棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好，不计导轨电阻，关于导体棒以后的运动，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒a稳定运动后的速度为
B．导体棒b稳定运动后的速度为
C．从开始到稳定运动过程中，通过导体棒a的电荷量为
D．从开始到稳定运动过程中，导体棒b产生的热量为
【答案】AC
【详解】AB．导体棒a受向右的瞬时冲量I，由动量定理可知导体棒的初速度导体棒开始向右运动后，受安培力作用做减速运动，导体棒b受安培力作用开始向右做加速运动，当两棒产生的感应电动势大小相等时，回路中的电流是零，两棒不在受安培力作用，均做匀速直线运动，达到稳定状态，则有BLva=B2Lvb
解得va=2vb对a棒，由动量定理得−BL∙∆t=mva−mv0对b棒，由动量定理得B2L∙∆t=2mvb解得
，A正确，B错误；
C．设从开始到稳定运动中，经导体棒a的电荷量为q，则有结合−BL∙∆t=mva−mv0解得，C正确；
D．从开始到稳定运动中，对整个电路，由能量守恒定律可得解得
；，D错误。故选AC。
6．如图，足够长的平行光滑金属导轨M、N固定在水平面上，虚线CD左侧导轨间距为2L，右侧导轨间距离为L。垂直导轨平面有竖直方向的匀强磁场，以CD为分界线，左侧磁感应强度大小为B、方向向下；右侧磁感应强度大小为2B、方向向上。导体棒a、b垂直导轨放置，棒与导轨始终接触良好，导轨电阻不计。现使棒a获得一向左的水平速度，在两棒之后的运动中，导轨M、N两端的电势差，导体棒a、b的速度，以及棒a、b受到的安培力与时间t的关系，下列图像大致正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】BC．导体棒a向左运动，穿过闭合回路的磁通量发生变化，产生感应电流，根据楞次定律和左手定则可知，a受到的安培力向右、b受到的安培力向右，故a向左做减速运动，b向右做加速运动，当穿过闭合回路的磁通量不再变化，回路不再有感应电流，两棒均做匀速运动，匀速运动时应有
即得当定义向左为正方向，B图大致正确，故B正确，C错误；
A．根据右手定则，导轨M、N两端的电势差由于b棒开始做加速度减小的加速度运动，当两棒产生的电动势大小相等时，回路中的电流为0，最后匀速运动，最后M、N间的电压为BLv，A正确；
D．根据以上分析可知，两棒受到的安培力方向相同，故D错误。故选AB。
7．如图所示，a1b1c1d1和a2b2c2d2为竖直放置且共面的金属导轨，处在垂直导轨平面（纸面）向里的匀强磁场中磁感应强度为B。导轨的a1b1段与a2b2段距离为l，c1d1段与c2d2段距离为2l。p、q为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m和2m，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。F为作用于金属杆q上的恒力，方向竖直向上。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，则此时（ ）
A．p杆受到的安培力方向竖直向下
B．p杆受到的安培力大小为F-3mg
C．p杆中的电流大小为
D．p杆匀速运动的速度大小为
【答案】BD
【详解】A．q杆和p杆在F的作用下，竖直向上运动，两杆都切割磁感线，两杆上都产生感应电动势，若将他们各自都看作电源，则根据右手定则，都是右边为正极，左边为负极，这样两杆产生的电动势要进行抵消之后才是整个电路中总的电动势。即闭合回路中的电流方向为逆时针。电流大小处处相等，根据左手定则判断，p杆受到的安培力方向竖直向上，记为F安。A错误；
B．因为q杆长度是p杆的两倍，故其受到的安培力大2F安，方向竖直向下。系统做匀速直线运动，受力平衡，对p、q组成的系统进行受力分析可得：解得故B正确；
C．由得，C错误；
D．由得，D正确。故选BD。
8．如图所示，将两根质量均为的金属棒a、b分别垂直地放在足够长的水平导轨和上，左右两部分导轨间距分别为0.5m和1m，左右两部分导轨间有磁感应强度，方向相反的匀强磁场，两棒电阻与棒长成正比，不计导轨电阻，金属棒b开始时位于图中位置，金属棒a在NQ位置，金属棒b用绝缘细线绕过光滑定滑轮和一物块c相连，c的质量，c开始时距地面的高度。物块c由静止开始下落，触地后不反弹，物块c触地时两棒速率之比，物块c下落过程中b棒上产生的焦耳热为20J，设导轨足够长且两棒始终在磁场中运动，，整个过程中导轨和金属棒接触良好，且导轨光滑，求：
（1）物块c触地时，b棒的速度大小；
（2）从b开始运动到c落地的过程中通过b棒的电荷量；
（3）从物块c触地后开始，到两棒匀速运动过程中系统产生的热量。
【答案】（1）8m/s；（2）1.6C；（3）28.8J
【详解】（1）金属棒a、b的有效长度分别为L和2L，电阻分别为R和2R，金属棒a、b串联，在任何时刻电流均相等，b棒产生的焦耳热Q2＝20 J，根据焦耳定律Q＝I2Rt得a棒上产生的焦耳热为Q1＝10 J
根据能量守恒定律有根据题意有va∶vb＝1∶2解得va＝4 m/s，vb＝8 m/s
（2）对a，由动量定理又解得，a与b串联，相同时间通过的电量相等，所以从b开始运动到c落地的过程中通过b棒的电荷量为1.6C。
（3）物块c触地后，a棒向左做加速运动，b棒向右做减速运动，两棒最终匀速运动时电路中电流为零，即两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，设磁感应强度大小为B，则BLva′＝B·2Lvb′得va′＝2vb′
对两棒分别应用动量定理，有；解得联立以上各式解得va′＝6.4 m/s，vb′＝3.2 m/s根据能量守恒定律，从物块c触地到两棒匀速运动的过程中系统产生的热量为
代入数据，解得Q3＝28.8 J
9．如图（a）所示，在水平面内固定有两根平行且足够长光滑金属导轨MN、PQ，间距为L，电阻不计。以PQ上的O点为坐标原点，沿导轨建立如图所示的x轴。导轨间区域内存在竖直向上的磁场，磁感应强度B随位置坐标x的变化规律如图（b）所示（图中，d已知）。金属棒a置于处，金属棒b置于的某处，两棒均与导轨垂直且始终接触良好，电阻均为R，质量均为m。时，锁定b棒，a棒获得瞬时初速度并在拉力的作用下开始做匀速直线运动。
（1）求a棒运动到处回路中电流的大小；
（2）写出a棒从处运动到处的过程中回路中电流i与时间的关系式并求出此过程中通过a棒的电荷量：
（3）当a棒运动到处时，撤去拉力，同时解锁b棒，假设a、b棒不会相碰，求此后回路中产生的焦耳热。
【答案】（1）；（2），；（3）
【详解】（1）根据题意，由图（b）可知，a棒运动到处时，此处的磁感应强度为，则感应电动势为；a棒运动到处回路中电流的大小
（2）根据题意，由图（b）可知，磁感应强度与的关系式为由于a棒获得瞬时初速度并在拉力的作用下开始做匀速直线运动，设运动时间为，则有则时刻，磁感应强度为
感应电动势为感应电流为根据题意可知，感应电动势为 感应电流为通过a棒的电荷量为由图（b）可得则
（3）当a棒运动到处时，撤去拉力，同时解锁b棒，假设a、b棒不会相碰，a、b棒系统动量守恒，且最终两棒速度相等，设相等速度为，则有解得由能量守恒定律可得，回路中产生的焦耳热为
10．如图所示，间距为d的平行光滑金属导轨ab、fg构成倾角为的斜面，平行光滑金属导轨bcde、ghij访处于同一水平面内，bc、gh段间距为d，de、ij段间距为2d，倾斜导轨与水平导轨分别在b、g处由一小段光滑绝缘圆弧（长度可忽略）相连。倾斜导轨部分处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为2B，水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B（磁场均未画出）。导体棒Q静止于de、ij段，导体棒P从距bg为L的位置由静止释放。导体棒P、Q的质量均为m、电阻均为R，两导体棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，导轨af端接有电容的电容器，bc、gh、de、ij段均足够长，重力加速度为g，不计导轨电阻及空气阻力。求：
（1）导体棒P到达bg时的速度大小；
（2）导体棒P在水平导轨上运动的过程中，闭合回路面积的改变量；
（3）整个运动过程中，导体棒P上产生的焦耳热。
【答案】（1）（2）（3）
【详解】（1）倾斜导轨与水平导轨在b、g处由两小段光滑绝缘圆弧（长度可忽略）相连，导体棒P到达bg前，导体棒Q保持静止。对导体棒P，由牛顿第二定律得又
故I为解得所以导体棒P在倾斜导轨上做匀加速直线运动，由运动规律得解得
（2）导体棒P到达bg后，导体棒P做减速运动，导体棒Q做加速运动，最终导体棒P、Q做匀速运动，闭合回路中的感应电流为0，由法拉第电磁感应定律得对导体棒P，由动量定理得对导体棒Q，由动量定理得又由法拉第电磁感应定律得
由闭合电路欧姆定律得解得
（3）导体棒P在倾斜导轨上做匀加速直线运动，由（1）可得；；
导体棒P在水平导轨上运动，由能量守恒定律得整个运动过程中，导体棒P上产生的焦耳热为解得
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