新高考物理一轮复习知识梳理+分层练习专题57 带电粒子在磁场中的运动（含解析）

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2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题57 带电粒子在磁场中的运动
导练目标
导练内容
目标1
洛伦兹力的大小方向
目标2
带电粒子在有界磁场中的运动
目标3
带电粒子在磁场中运动的多解问题
【知识导学与典例导练】
一、洛伦兹力的大小方向
1.洛伦兹力的大小和周期
（1）大小：（）；（2）向心力公式：；（3）周期：
2.洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力永不做功。
3.洛伦兹力的方向
(1)判断方法：左手定则
(2)方向特点：洛伦兹力的方向一定与粒子速度方向和磁感应强度方向所决定的平面垂直(B与v可以有任意夹角)。
注意：由左手定则判断洛伦兹力方向时，四指指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。
【例1】如图所示，光滑的水平桌面处于匀强磁场中，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B；在桌面上放有内壁光滑、长为L的试管，底部有质量为m、带电量为q的小球，试管在水平向右的拉力作用下以速度v向右做匀速直线运动（拉力与试管壁始终垂直），带电小球能从试管口处飞出，关于带电小球及其在离开试管前的运动，下列说法中正确的是（　　）

A．小球带负电，且轨迹为抛物线
B．小球运动到试管中点时，水平拉力的大小应增大至
C．洛伦兹力对小球做正功
D．对小球在管中运动全过程，拉力对试管做正功，大小为qvBL
【答案】BD
【详解】A．小球能从试管口处飞出，说明小球受到指向试管口的洛伦兹力，根据左手定则判断，小球带正电；小球沿试管方向受到洛伦兹力的分力恒定，小球运动的轨迹是一条抛物线，故A错误；
B．由于小球相对试管做匀加速直线运动，会受到与试管垂直且向左的洛，则拉力应增大伦兹力的分力
小球运动到中点时沿管速度为则拉力应增大至以维持匀速运动，故B正确；
C．沿管与垂直于管洛伦兹力的分力合成得到的实际洛伦兹力总是与速度方向垂直，不做功，故C错误；
D．对试管、小球组成的系统，拉力做功的效果就是增加小球的动能，由功能关系
故D正确；故选BD。
二、带电粒子在有界磁场中的运动

圆心的确定
半径的确定
时间的确定
基本思路
①与速度方向垂直的直线过圆心
②弦的垂直平分线过圆心
③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心
利用平面几何知识求半径
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间①t＝T；②t＝
图例





说明
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
某点的速度垂线与切点法线的交点
常用解三角形法(如图)：R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝
(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：
φ<180°时，φ＝2α；
φ>180°时，φ＝360°－2α
【类型一】直线边界磁场
直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)

图甲中粒子在磁场中运动的时间t＝＝
图乙中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝＝
图丙中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝。
【例2】如图所示，竖直线CD右边的空间存在范围无限大且垂直向里的有界匀强磁场，带有同种电荷的M粒子和N粒子同时从匀强磁场的边界CD上的S点分别以与边界的夹角为 和60°射入磁场，两粒子又恰好同时到达点。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（　　）

A．M、N两粒子的运动轨迹半径之比为
B．M、N两粒子的运动轨迹半径之比为
C．M、N两粒子的初速度大小之比为
D．M、N两粒子的比荷之比为
【答案】AD
【详解】AB．设，由题图可知，M粒子在磁场中运动轨迹半径运动轨迹所对应的圆心角为300°，运动轨迹弧长，N粒子在磁场中运动轨迹的半径所对应的圆心角为120°，运动轨迹弧长
所以M、N两粒子运动半径之比为， B错误A正确；
C．因运动时间而即M、N粒子的初速度大小之比为，C错误；
D．根据得故M、N粒子的比荷之比为，D正确。故选AD。
【类型二】平行边界磁场
平行边界存在临界条件(如图所示)

图甲中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝；
图乙中粒子在磁场中运动的时间t＝；
图丙中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝＝；
图丁中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝。
【例3】如图所示，区域Ⅰ和区域Ⅱ是宽度相同的匀强磁场，区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；区域Ⅱ内磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。一质量为、电荷量为的粒子从区域Ⅰ的左边界垂直于边界射入区域Ⅰ，粒子离开区域Ⅰ时速度方向改变了60°，然后进入区域Ⅱ，不计粒子重力，粒子在磁场中运动的时间为（  ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】粒子在磁场中运动的轨迹如图

在区域Ⅰ中，根据牛顿第二定律得解得磁场宽度为运动时间为在区域Ⅱ中，根据牛顿第二定律得解得磁场宽度为解得运动时间为粒子在磁场中运动的时间为故选B。
【类型三】圆形边界磁场
带电粒子在圆形边界磁场中，等角进出，沿径向射入必沿径向射出。如图甲、乙所示。

【例4】水平桌面上方区域内存在一垂直于桌面的磁感应强度为的匀强磁场，科研人员将均匀涂抹荧光物质的半径为的圆环，放置于水平桌面上如图1所示，A为圆环边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过A点，在平面内沿不同的方向射入磁场，科研人员观测到整个圆环发出淡淡的荧光（高速微观粒子打在荧光物质上会发出荧光），且粒子在圆环内磁场中运动的最长时间为。更换半径为的圆环时如图2所示，只有相应的三分之一圆周上有荧光发出，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则（　　）

A．粒子在磁场中做圆周运动的周期 B．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
C．粒子在磁场中做圆周运动的速度 D．该粒子的比荷
【答案】BD
【详解】B．半径为的圆环时，只有相应的三分之一圆周上有荧光发出，则粒子在磁场中运动的半径为，B正确；
A．半径为R时，粒子从过A为直径的另一端点射出时，时间最长，则有解得，A错误；
C．根据周期公式得，C错误；
D．根据周期公式得，D正确。故选BD。
【类型四】三角形、四边形边界磁场
1．三角形边界磁场：带电粒子速度的大小不同，运动半径不同，出射点的位置也不同。
　　　
2．四边形边界磁场：带电粒子射入磁场的初速度方向与边界垂直，速度不同，对应不同的粒子轨迹；粒子速度不变，磁感应强度可调时，也可对应类似轨迹。
【例5】如图所示，边长为a的正三角形区域内有垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场。现有一带正电、电荷量为q、质量为m的粒子，由边上距A点的P点，以初速度垂直边进入磁场，后从边离开磁场，则磁场磁感应强度的大小可能是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设当磁感应强度为时粒子恰好与边相切，如图

由几何关系可知此时粒子的轨道半径为由洛伦兹力提供向心力有解得
设当磁感应强度为时，粒子恰好与边相切，如图

可知解得同理解得则磁场磁感应强度大小范围为
只有B选项符合条件，其他不符合。故选B。
【例6】如图所示，边长为0.64m的正方形内有磁感应强度的匀强磁场，方向垂直于纸面向外。在正方形中央处有一个点状的放射源P，它在纸面内同时向各个方向均匀连续发射大量同种粒子，该种粒子速度大小为，比荷。不考虑粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（　　）

A．粒子在磁场中运动的最短时间为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．正方形边界上有粒子射出的区域总长为1.6m
D．稳定后单位时间内射出磁场的粒子数与单位时间内粒子源发射的总粒子数之比为1∶2
【答案】ABC
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据解得带入数据解得
AB．假设粒子逆时针转动，则粒子射出范围如图所示

当轨迹对应弦最短时，对应圆心角最小，此时在磁场中运动时间最短，由题意知，即弦恰好垂直于磁场边界时，弦最短，由几何关系知弦长为由几何关系知，此时对应圆心角为
所以最短时间为同理可知，最长弦恰好为直径，所以最长时间为
故AB正确；
C．由几何关系知；解得；则
所以边界上有粒子射出的总长度为故C正确；
D．由上述分析和轨迹图可知，所有粒子在磁场中均不会做完整圆周运动，即都会从边界射出磁场，故稳定后单位时间内射出磁场的粒子数与单位时间内粒子源发射的总粒子数之比为1∶1，故D错误。故选ABC。
三、 带电粒子在磁场中运动的多解问题
类型
分析
图例
带电粒子
电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b

磁场方向
不确定
在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解
如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b

临界状态
不唯一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解

运动具有
周期性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解

【例7】如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外，，为坐标轴上的两点。现有一质量为m、电荷量为e的电子从P点沿PQ方向射出，不计电子的重力，则下列说法中正确的是（　　）

A．若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动时间可能为
B．若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动路程可能为
C．若电子从P点出发经原点O到达Q点，运动时间可能为
D．若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程为或
【答案】AD
【详解】AB．电子从P点出发恰好第一次经原点O点，有两类情况，一类是第奇数次回到x轴经过原点O，另一类是第偶数次回到x轴经过原点O。其中第一次和第二次回到x轴的轨迹如图

由轨迹图结合几何关系，可得运动时间为解得
当n=1时，运动时间为由轨迹图结合几何关系，轨迹圆的半径为
可得运动路程为故A正确；B错误；
CD．同理，若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，轨迹也为两类，如图

由轨迹图结合几何关系，可得运动时间为或
解得
若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程为解得
故C错误；D正确。故选AD。
【多维度分层专练】
1．如图所示，在直线上方存在着范围足够大、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从O点以速度沿垂直于方向进入磁场，经过t时间运动到磁场中的C点。已知O、C连线与初速度的夹角为，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）

A．带电粒子从O点运动至C点的过程中，速度偏转角为
B．带电粒子在磁场中运动的时间为
C．带电粒子在磁场中运动的轨迹直径为
D．若仅增大粒子的入射速度大小，经过时间粒子速度方向偏转的角度为
【答案】BD
【详解】A．作出粒子从O点运动至C点的轨迹如图所示

根据几何关系可知，粒子的速度偏向角等于圆心角故A错误；
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，从O点运动至C点的时间为t，因此且联立解得
而带电粒子在磁场在磁场中运动的时间故B正确；
C．根据可得带电粒子在磁场中运动的半径执行为，故C错误；
D．若仅增大粒子的入射速度大小，粒子在磁场中运动的切不变，经过t时间运动的圆弧对应的圆心角为，由A可知经过时间粒子速度方向偏转的角度为，故D正确。故选BD。
2．如题图所示，竖直平面内的平行金属板ab、cd长均为2l，相距l水平放置。一带电粒子从靠近a点处以速度v水平向右射入两板之间，经时间沿直线从靠近b点处以速度v水平向右射出。若ab、cd间存在竖直方向的匀强电场E，该粒子从靠近a点处以速度v水平向右射入两板之间，经时间刚好从靠近d点处以速度射出，速度偏角为；若ab、cd间存在垂直于纸面的匀强磁场B，粒子从靠近a点处以速度v水平向右射入两板之间，经时间也刚好从靠近d点处以速度射出，速度偏角为。下列说法正确的是（   ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A．若不加电场或磁场，粒子沿水平方向做匀速直线运动；若ab、cd间存在竖直方向的匀强电场粒子做类平抛运动，在水平方向也做匀速直线运动，则有t1= t2若ab、cd间存在垂直于纸面的匀强磁场粒子做匀速圆周运动，则在磁场中走过的路程长于2l，则t1= t2 < t3，A错误；
C．若ab、cd间存在垂直于纸面的匀强磁场粒子做匀速圆周运动，有根据几何关系有
r2= (r - l)2 + 4l2若ab、cd间存在竖直方向的匀强电场粒子做类平抛运动，有，联立有
C正确；
B．若ab、cd间存在垂直于纸面的匀强磁场粒子做匀速圆周运动，有根据几何关系有
若ab、cd间存在竖直方向的匀强电场粒子做类平抛运动，有
根据选项C有，综上有，则θ2、θ3不相等，B错误；
D．若ab、cd间存在垂直于纸面的匀强磁场，由于洛伦兹力不做功则v3= v若ab、cd间存在竖直方向的匀强电场，根据选项B知则，D错误。故选C。
3．如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AC是圆的一条直径，D为圆上一点，∠COD=60°。在A点有一个粒子源，沿与AC成30°角斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD射出磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。则从A点射出的粒子的比荷可能是（　　）

A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】带电粒子从C点射出磁场，轨迹如图所示

由几何关系得解得带电粒子从D点射出磁场，轨迹如图所示

由几何关系得是菱形，所以粒子的轨迹半径所以粒子在磁场中运动的轨迹半径满足
由洛伦兹力提供向心力得解得从A点射出的粒子的比荷满足故选AD。
4．如图所示，半径为R=2cm的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B=2T，一个带正电粒子从圆形磁场边界上的A点以v0=8×104m/s的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且∠AON=120°。下列选项正确的是（　　）

A．带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为1cm
B．带电粒子的比荷为2×106C/kg
C．带电粒子在磁场中运动的轨迹圆心一定在圆形磁场的边界上
D．若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出
【答案】BCD
【详解】AC．如图所示

由几何关系得带电粒子做圆周运动的轨迹半径r=R=2cm且带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心一定在圆形磁场的边界上，故A错误，C正确；
B．对带电粒子由牛顿第二定律得解得故B正确；
D．若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，假设出射点位置在N′点，圆心在O′点，如图所示，根据几何关系可得CON′O′为菱形，则CO′∥ON′，N′和N重合，故粒子从N点射出，故D正确。

故选BCD。
5．如图所示，E、F、G是边长为a的正三角形的三个顶点，位于方向垂直于△EFG所在平面、向外的匀强磁场中。一质量为m、电荷量为q的粒子沿FE方向由F点垂直于磁场的方向射入磁场区域，速度大小为v0，粒子恰好从G点离开磁场，不计粒子重力，则（　　）

A．粒子可能带负电
B．粒子在G点的速度沿直线EG的方向
C．磁感应强度的大小为
D．粒子在磁场中运动的时间为
【答案】BC
【详解】A．作出带电粒子的运动轨迹，如图所示

其在F点所受洛伦兹力方向垂直于FE向上，根据左手定则可知，粒子带正电，故A错误；
B．由对称性可知，带电粒子沿着FE射入，FE与GF夹角为，当从GF边射出时，其速度方向和GF也成，所以粒子在G点的速度沿直线EG方向，故B正确；
C．由几何关系知粒子做圆周运动的半径由联立解得故C正确；
D．由图可知，力粒子从F点运动到G点的圆心角为，所以运动的时间
故D错误。故选BC。
6．如图所示，△AOC为直角三角形，∠O=90°，∠A=60°，AO=L，D为AC的中点。△AOC中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在O点放置一粒子源，可以向各个方向发射质量为m、电荷量为-q，速度大小均为的粒子。不计粒子间的相互作用及重力作用，对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是（　　）

A．粒子在磁场中运动的半径为L
B．与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出
C．在AC边界上有粒子射出的区域长度为L
D．所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等
【答案】ABC
【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有
解得粒子在磁场中运动的半径为故A正确；
B．如图1所示，当粒子恰好从A点射出时，根据几何关系可得粒子与OC成60°角入射，所以与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出，故B正确；

图1
C．如图2所示，根据几何关系可知沿CO方向入射的粒子将恰好从D点射出，结合上面B项分析可知AD为AC边界上有粒子射出的区域，其长度为L，故C正确；

图2
D．所有粒子在磁场中运动的周期均相同，设为T，设粒子在磁场运动过程中转过的圆心角为α，则粒子运动时间为由于所有粒子的运动轨迹为半径相同的圆，从OA射出的粒子，其轨迹所截AO的长度不同，对应转过的圆心角不同，所以所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间不等，故D错误。
故选ABC。
7．如图，矩形区域（含边界）内存在方向垂直于矩形面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，矩形的长和宽分别为和，矩形长边的中点有一粒子发射源S，从S可分别发射出方向垂直于指向和方向沿Sb的不同速率的粒子。若粒子的质量均为、电荷量均为、不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。则（　　）

A．从边射出的粒子的速率范围是
B．从边射出的粒子的速率范围是
C．从边射出的粒子的速率范围是
D．从边射出的粒子的速率范围是
【答案】B
【详解】A．由左手定则可判断，只有沿Sb方向发射的粒子才能从bc边射出，当恰好从c点射出时速度v1最小，轨迹如图所示

由洛伦兹力作为向心力可得解得故从边射出的粒子的速率范围是，A错误；
B．沿Sb方向射出的粒子恰好与cd相切时，轨迹如图所示

由洛伦兹力作为向心力可得解得故当满足时，沿Sb方向射出的粒子能从cd边射出，当满足时，沿垂直于射出的粒子能从cd边射出，故从边射出的粒子的速率范围是，B正确；
C．沿垂直于射出的粒子恰好打到a点时，轨迹如图所示

类比B的分析可知，从a点射出的粒子速度为故从边射出的粒子的速率范围是，C错误；
D．只有沿垂直于射出的粒子才能从ab边射出，结合C的分析可知，从边射出的粒子的速率范围是
，D错误。故选B。
8．如图所示，在一边长为a的正方形区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。甲和乙两个带电粒子，分别从P点和Q点同时沿垂直于边界方向以不同的速度射入磁场，两粒子在图中S点相遇。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，已知PO1=a，QO2=a，O1S=，甲粒子的速度为v0，质量为m，带电荷量为q，下列说法正确的是（　　）

A．匀强磁场的磁感应强度大小为
B．乙粒子射入磁场时速度为0.25v0
C．甲粒子在磁场中运动的时间为
D．甲、乙两粒子的比荷之比为1∶2
【答案】C
【详解】A．甲和乙两粒子从P、Q两点分别射入磁场，在边界上S点相遇，据此可画出两个粒子的运动轨迹，如图所示

由图中几何关系可知解得由解得匀强磁场的磁感应强度大小，A错误；
B．由图中几何关系可知解得由图中几何关系可
所以圆弧PS所对的圆心角；圆弧QS所对的圆心角两粒子在图中S点相遇，则解得，B错误；
C．甲粒子在磁场中运动的轨迹长度甲粒子在磁场中运动的时间，C正确；
D．甲、乙两粒子运动轨迹半径相同，由可得甲、乙两粒子的比荷之比，D错误。
故选C。
9．控制带电粒子的运动在现代科学实验、生产生活、仪器电器等方面有广泛的应用．现有这样一个简化模型：如图所示，y轴左、右两边均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，右边磁场的磁感应强度始终为左边的2倍．在坐标原点O处，一个电荷量为+q、质量为m的粒子a，在t=0时以大小为v0的初速度沿x轴正方向射出，另一与a相同的粒子b某时刻也从原点O以大小为v0的初速度沿x轴负方向射出．不计粒子重力及粒子间的相互作用，粒子相遇时互不影响．

（1）若a粒子能经过坐标为的P点，求y轴右边磁场的磁感应强度B1；
（2）为使粒子a、b能在y轴上Q（0，-l0）点相遇，求y轴右边磁场的磁感应强度的最小值B2；
（3）若y轴右边磁场的磁感应强度为B0，求粒子a、b在运动过程中可能相遇的坐标值．
【答案】（1）（2）（3）（n=1，2，3，…）
【详解】（1）设a粒子在y轴右侧运动的半径为R1，由几何关系有

由于 解得
（2）B2最小，说明Q点是a、b粒子在y轴上第一次相遇的点，由图乙可知，a、b粒子同时从O点出发，且粒子在y轴右侧运动的圆周运动半径

又 解得
（3）由图丙可见，只有在两轨迹相交或相切的那些点， 才有相遇的可能性，所以有y轴上的相切点和 y轴左侧的相交点．经分析可知，只要a、b粒子从O点出发的时间差满足一定的条件，这些相交或相切的点均能相遇．

粒子在y轴右侧的运动半径粒子在y轴左侧的运动半径
①y轴上的相切点坐标为 （k=1，2，3，…）
②y轴左侧的相交点相遇由丙图可知，OA=AC=OC=r2可得；
y轴左侧的相遇点的坐标（n=1，2，3，…）
10．如图，在空间中有一坐标系xoy，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域I和II，直线OP是它们的边界，区域I中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域II中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内，边界上的P点坐标为（4L，3L）．一质量为m,电荷量为q的带正粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O,忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8.求：

（1）粒子从P点运动到O点的时间至少为多少？
（2）粒子的速度大小可能是多少？
【答案】（1）（2）
【详解】(1)设粒子的入射速度为v，用R1、R2、T1、T2分别表示粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中运动的轨道半径和周期，则有，，，
粒子先在磁场Ⅰ区中做顺时针的圆周运动，后在磁场Ⅱ区中做逆时针的圆周运动，然后从O点射出，这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短．粒子运动轨迹如图所示

tanα＝＝0.75，得α＝37°，α＋β＝90°.
粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中的运动时间分别为，
粒子从P点运动到O点的时间至少为t=n（t1+t2 ） （n=1，2，3，…），
由以上各式解得：（n=1，2，3，…）
(2)当粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场Ⅰ区中运动，后在磁场Ⅱ区中运动，然后又重复前面的运动，直到经过原点O.这样粒子经过n个周期性的运动到达O点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移为：（n=1、2，3，…）
粒子每次在磁场Ⅰ区中运动的位移为
由图中的几何关系可知，
由以上各式解得粒子的速度大小为： (n＝1,2,3，…)．