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吉林省吉林市吉化实验学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（9月份）
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这是一份吉林省吉林市吉化实验学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（9月份），共27页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
吉林省吉林市昌邑区吉化实验学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（9月份）(解析版)
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
2．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，下列说法中（ ）
A．△ABC中，AC是BC上的高 B．△ABD中，DE是AB上的高
C．△ABD中，AC是BD上的高 D．△ADE中，AE是AD上的高
3．（2分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
4．（2分）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
5．（2分）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹（ ）
A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE
6．（2分）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
8．（3分）一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边长可以是 ．（写出一个即可）
9．（3分）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，若OM＝ON，则∠ABO＝ 度．
10．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，CE＝5，则CF的长为 ．
11．（3分）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 ．
12．（3分）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 cm．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ABD的面积为30，AB＝15 ．
14．（3分）如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍多180°，则这个多边形的边数是多少？
16．（5分）如果一个三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，若第三边长为xcm．
（1）求第三边x的范围；
（2）当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
17．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
18．（5分）如图，AB＝AD，∠DAC＝∠BAE，求证BC＝DE．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图为7×9的网格，每一小格均为正方形，已知△ABC．
（1）画出△ABC中BC边上的中线AD；
（2）画出△ABC中AB边上的高CE；
（3）直接写出△ABC的面积为 ．
20．（7分）如图，OC是∠AOB内的一条射线，D是OC上一点，DF⊥OB于点F，已知OE＝OF
21．（7分）数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），在数学老师带领下他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点；
②沿河岸直走10m有一棵树C，继续前行10m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长为4.5m．
（1）河流的宽度为 m；
（2）请你说明他们做法的正确性．
22．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
24．（8分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A1．
（1）如图1，若∠A＝70°，则∠A1＝ ．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的角平分线相交于点F，求∠F的度数．
（3）如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的角平分线交于A1，若E为BA延长线上一动点，连接EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于点Q
①∠Q+∠A1的值为定值；
②∠Q﹣∠A1的值为定值；
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
26．（10分）（1）模型的发现：
如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，CE⊥直线l，垂足分别为点D
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若B，请说明DE、BD和CE的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，其中90°＜a＜180°，（1）的结论还成立吗？若成立；若不成立，请说明DE、BD和CE的关系
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】根据直角三角形的两锐角互余求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝55°，
∴∠B＝35°，
故选：B．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形的两锐角互余”是解题的关键．
2．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，下列说法中（ ）
A．△ABC中，AC是BC上的高 B．△ABD中，DE是AB上的高
C．△ABD中，AC是BD上的高 D．△ADE中，AE是AD上的高
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、△ABC中，说法正确；
B、△ABD中，说法正确；
C、△ABD中，说法正确；
D、△ADE中，不是AD上的高，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3．（2分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【分析】如图（见解析），先根据三角板可得∠2＝45°，∠4＝30°，再根据角的和差可得∠3＝45°，然后根据三角形的外角性质即可得．
【解答】解：如图，由题意可知，∠4＝30°，
∵两个三角板中有刻度的边互相垂直，
∴∠3＝90°﹣∠2＝45°，
∴∠1＝∠3+∠6＝45°+30°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
4．（2分）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE；
当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE；
当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE；
当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
5．（2分）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹（ ）
A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE
【分析】利用基本作图得到AF平分∠MAN，则根据角平分线的画法可对选项进行一一判断．
【解答】解：角平分线的作法如下：①以点A为圆心，AD长为半径作弧、AN于点D、E；
②分别以点D、E为圆心，两弧在∠MAN内相交于点F；
③作射线AF，AF即为∠MAN的平分线．
根据角平分线的作法可知，AD＝AE，
根据等腰三角形的三线合一可知AF⊥DE，
故选：B．
【点评】本题考查了用直尺和圆规作角平分线的方法，掌握画法是解题的关键．
6．（2分）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】延长a、b交于点E，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为45°，进而可得正多边形的边数．
【解答】解：如图，延长a，
∵a⊥b，
∴∠ABC＝90°，
∴正多边形的一个外角为，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
8．（3分）一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边长可以是 5 ．（写出一个即可）
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得5﹣2＜x＜5+2，再解即可．
【解答】解：设第三边长为x，由题意得：
5﹣2＜x＜4+2，
则3＜x＜8，
故答案可为：5（答案不唯一，大于3且小于3之间的数均可）．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
9．（3分）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，若OM＝ON，则∠ABO＝ 15 度．
【分析】方法一：根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度数．
方法二：根据角平分线的判定定理求解即可．
【解答】解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC，
∴∠OMB＝∠ONB＝90°，
在Rt△OMB和Rt△ONB中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），
∴∠OBM＝∠OBN，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO＝15°．
方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC，
又∵OM＝ON，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBM＝∠OBN，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO＝15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法（HL）是解题的关键．
10．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，CE＝5，则CF的长为 3 ．
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝8，计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝8，
∴EF＝8，
∵EC＝8，
∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝8．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
11．（3分）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 30° ．
【分析】根据多边形内角和及正多边形性质求得∠ABO的度数，从而求得∠OBC的度数，再结合正方形性质及三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：∵图中六边形为正六边形，
∴∠ABO＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠OBC＝180°﹣120°＝60°，
∵正方形中，OC⊥CD，
∴∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12．（3分）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 23 cm．
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm），
∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长7cm，
∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）．
故答案为23．
【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ABD的面积为30，AB＝15 4 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E；首先运用角平分线的性质证明CD＝DE，再求出DE的长度，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
∵S△ABD＝AB•DE＝30，
∴DE＝7，CD＝DE＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线．
14．（3分）如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ 360° ．
【分析】根据三角形外角性质得到∠7＝∠4+∠6，∠8＝∠1+∠5，根据四边形内角和即可得解．
【解答】解：如图，
∵∠7＝∠4+∠2，∠8＝∠1+∠3，
∴∠1+∠2+∠4+∠4+∠5+∠8＝360°．
故答案为：360°．
【点评】此题考查了多边形的内角、三角形外角性质，熟记三角形外角性质及四边形的内角和是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍多180°，则这个多边形的边数是多少？
【分析】多边形的内角和比外角和的2倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是900度，n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180＝2×360+180，
解得：n＝7．
则这个多边形的边数是7．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．
16．（5分）如果一个三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，若第三边长为xcm．
（1）求第三边x的范围；
（2）当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
【分析】（1）根据三角形的三边关系得到有关第三边x的取值范围即可；
（2）根据（1）得到的取值范围确定第三边的值，从而求出三角形的周长．
【解答】解：（1）∵三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，
∴8﹣2＜x＜9+4，
即7＜x＜11；
（2）由（1）知，7＜x＜11，
∵第三边的长为奇数，
∴第三边的长为2cm，
∴三角形的周长为20cm．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三角形的三边关系列出有关x的取值范围．
17．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质求出∠CAD的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝40°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝40°+60°＝100°．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
18．（5分）如图，AB＝AD，∠DAC＝∠BAE，求证BC＝DE．
【分析】由∠DAC＝∠BAE，推导出∠BAC＝∠DAE，而∠B＝∠D，AB＝AD，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABC≌△ADE，得BC＝DE．
【解答】证明：∵∠DAC＝∠BAE，
∴∠DAC+∠BAD＝∠BAE+∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC＝DE．
【点评】此题重点考查等式的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图为7×9的网格，每一小格均为正方形，已知△ABC．
（1）画出△ABC中BC边上的中线AD；
（2）画出△ABC中AB边上的高CE；
（3）直接写出△ABC的面积为 6 ．
【分析】（1）根据中线的意义及网格线的特征作图；
（2）根据高线的意义及网格线的特征作图；
（3）根据三角形的面积公式作图．
【解答】解：如图：
（1）AD即为所求；
（2）CE即为所求；
（3）△ABC的面积为：0.5×8×3＝6，
故答案为：7．
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征是解题的关键．
20．（7分）如图，OC是∠AOB内的一条射线，D是OC上一点，DF⊥OB于点F，已知OE＝OF
【分析】根据垂直的定义和HL证明Rt△EOD与Rt△FOD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F，
∴∠DEO＝∠DFO＝90°，
在Rt△EOD与Rt△FOD中，
，
∴Rt△EOD≌Rt△FOD（HL），
∴∠EOD＝∠FOD，
即OC是∠AOB的平分线．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据HL证明Rt△EOD与Rt△FOD全等解答．
21．（7分）数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），在数学老师带领下他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点；
②沿河岸直走10m有一棵树C，继续前行10m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长为4.5m．
（1）河流的宽度为 4.5 m；
（2）请你说明他们做法的正确性．
【分析】（1）根据全等三角形的性质就得到结论；
（2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】（1）解：河流的宽度为4.5m，
故答案为：2.5；
（2）证明：如图，由作法知：AB⊥BD，BC＝DC＝10m，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED＝4.4m，
即他们的做法是正确的．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题．
22．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB
【分析】利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【解答】证明：在△ABC 中，∠B＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．
∵AE⊥BC．
∴∠AEC＝90°．
∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，
∴∠DAF＝∠CAB．
在△DAF和△CAB中，
，
∴△DAF≌△CAB（SAS）．
∴DF＝CB．
【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明△ACE≌△DBF即可；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（AAS）；
（2）由（1）知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝2，
故CD的长为4．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．
24．（8分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°，
∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：HL，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A1．
（1）如图1，若∠A＝70°，则∠A1＝ 35° ．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的角平分线相交于点F，求∠F的度数．
（3）如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的角平分线交于A1，若E为BA延长线上一动点，连接EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于点Q
①∠Q+∠A1的值为定值；
②∠Q﹣∠A1的值为定值；
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
【分析】（1）由BA1平分∠BAC，CA1平分∠ACD，可得∠A1＝∠ACD﹣∠ABC＝（∠ACD﹣∠ABC），而∠BAC＝70°，即可得出答案；
（2）由BF平分∠ABC，CF平分∠DCE，可得∠F＝∠FCE﹣∠FBC＝（∠DCE﹣∠ABC），根据∠A+∠D＝230°，得∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝130°，∠DCE﹣∠ABC＝50°，故∠F＝（∠DCE﹣∠ABC）＝25°；
（3）同（1）可得∠A1＝∠BAC，根据EQ平分∠AEC，CQ平分∠ACE，得∠Q＝180°﹣（∠AEC+∠ACE），故∠Q＝180°﹣∠BAC，从而可得∠Q+∠A1的值为定值，其值是180°．
【解答】解：（1）∵BA1平分∠BAC，CA1平分∠ACD，
∴∠A3BC＝∠ABC7CD＝∠ACD，
∵∠A2＝∠A1CD﹣∠A1BC，
∴∠A4＝∠ACD﹣（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠BAC＝70°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝∠BAC＝70°，
∴∠A1＝×70°＝35°，
故答案为：35°；
（2）如图：
∵BF平分∠ABC，CF平分∠DCE，
∴∠FBC＝∠ABC∠DCE，
∴∠F＝∠FCE﹣∠FBC＝（∠DCE﹣∠ABC），
∵∠A+∠D＝230°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D）＝130°，
∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝130°，
∴∠DCE﹣∠ABC＝50°，
∴∠F＝（∠DCE﹣∠ABC）＝25°；
（3）正确的结论是①，理由如下：
如图：
同（1）可得∠A3＝∠BAC，
∵EQ平分∠AEC，CQ平分∠ACE，
∴∠QEC＝∠AEC∠ACE，
∵∠Q＝180°﹣（∠QEC+∠QCE），
∴∠Q＝180°﹣（∠AEC+∠ACE），
∵∠BAC＝∠AEC+∠ACE，
∴∠Q＝180°﹣∠BAC，
而∠A1＝∠BAC，
∴∠Q+∠A1＝180°﹣∠BAC+，
∴∠Q+∠A1的值为定值，①正确．
【点评】本题考查三角形的内角和定理及三角形的外角的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义．
26．（10分）（1）模型的发现：
如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，CE⊥直线l，垂足分别为点D
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若B，请说明DE、BD和CE的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，其中90°＜a＜180°，（1）的结论还成立吗？若成立；若不成立，请说明DE、BD和CE的关系
【分析】（1）证明△DAB≌△ECA，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，结合图形得出结论；
（2）仿照（1）的方法证明；
（3）仿照（1）的方法证明．
【解答】解：（1）DE＝BD+CE，
理由如下：∵∠DAC＝∠AEC+∠ACE，∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠DAB＝∠ECA，
在△DAB和△ECA中，
，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（2）BD＝DE+CE，
证明如下：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵CE⊥直线l，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△BAD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝DE+CE；
（3）（1）的结论成立，
理由如下：∵∠DAC＝∠2+∠ACE，∠BAC＝∠2，
∴∠DAB＝∠ECA，
在△DAB和△ECA中，
，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
吉林省吉林市昌邑区吉化实验学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（9月份）(解析版)
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
2．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，下列说法中（ ）
A．△ABC中，AC是BC上的高 B．△ABD中，DE是AB上的高
C．△ABD中，AC是BD上的高 D．△ADE中，AE是AD上的高
3．（2分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
4．（2分）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
5．（2分）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹（ ）
A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE
6．（2分）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
8．（3分）一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边长可以是 ．（写出一个即可）
9．（3分）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，若OM＝ON，则∠ABO＝ 度．
10．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，CE＝5，则CF的长为 ．
11．（3分）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 ．
12．（3分）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 cm．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ABD的面积为30，AB＝15 ．
14．（3分）如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍多180°，则这个多边形的边数是多少？
16．（5分）如果一个三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，若第三边长为xcm．
（1）求第三边x的范围；
（2）当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
17．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
18．（5分）如图，AB＝AD，∠DAC＝∠BAE，求证BC＝DE．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图为7×9的网格，每一小格均为正方形，已知△ABC．
（1）画出△ABC中BC边上的中线AD；
（2）画出△ABC中AB边上的高CE；
（3）直接写出△ABC的面积为 ．
20．（7分）如图，OC是∠AOB内的一条射线，D是OC上一点，DF⊥OB于点F，已知OE＝OF
21．（7分）数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），在数学老师带领下他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点；
②沿河岸直走10m有一棵树C，继续前行10m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长为4.5m．
（1）河流的宽度为 m；
（2）请你说明他们做法的正确性．
22．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
24．（8分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A1．
（1）如图1，若∠A＝70°，则∠A1＝ ．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的角平分线相交于点F，求∠F的度数．
（3）如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的角平分线交于A1，若E为BA延长线上一动点，连接EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于点Q
①∠Q+∠A1的值为定值；
②∠Q﹣∠A1的值为定值；
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
26．（10分）（1）模型的发现：
如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，CE⊥直线l，垂足分别为点D
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若B，请说明DE、BD和CE的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，其中90°＜a＜180°，（1）的结论还成立吗？若成立；若不成立，请说明DE、BD和CE的关系
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】根据直角三角形的两锐角互余求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝55°，
∴∠B＝35°，
故选：B．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形的两锐角互余”是解题的关键．
2．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点E，下列说法中（ ）
A．△ABC中，AC是BC上的高 B．△ABD中，DE是AB上的高
C．△ABD中，AC是BD上的高 D．△ADE中，AE是AD上的高
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、△ABC中，说法正确；
B、△ABD中，说法正确；
C、△ABD中，说法正确；
D、△ADE中，不是AD上的高，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3．（2分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【分析】如图（见解析），先根据三角板可得∠2＝45°，∠4＝30°，再根据角的和差可得∠3＝45°，然后根据三角形的外角性质即可得．
【解答】解：如图，由题意可知，∠4＝30°，
∵两个三角板中有刻度的边互相垂直，
∴∠3＝90°﹣∠2＝45°，
∴∠1＝∠3+∠6＝45°+30°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
4．（2分）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE；
当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE；
当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE；
当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
5．（2分）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹（ ）
A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE
【分析】利用基本作图得到AF平分∠MAN，则根据角平分线的画法可对选项进行一一判断．
【解答】解：角平分线的作法如下：①以点A为圆心，AD长为半径作弧、AN于点D、E；
②分别以点D、E为圆心，两弧在∠MAN内相交于点F；
③作射线AF，AF即为∠MAN的平分线．
根据角平分线的作法可知，AD＝AE，
根据等腰三角形的三线合一可知AF⊥DE，
故选：B．
【点评】本题考查了用直尺和圆规作角平分线的方法，掌握画法是解题的关键．
6．（2分）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】延长a、b交于点E，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为45°，进而可得正多边形的边数．
【解答】解：如图，延长a，
∵a⊥b，
∴∠ABC＝90°，
∴正多边形的一个外角为，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
8．（3分）一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边长可以是 5 ．（写出一个即可）
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得5﹣2＜x＜5+2，再解即可．
【解答】解：设第三边长为x，由题意得：
5﹣2＜x＜4+2，
则3＜x＜8，
故答案可为：5（答案不唯一，大于3且小于3之间的数均可）．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
9．（3分）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，若OM＝ON，则∠ABO＝ 15 度．
【分析】方法一：根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度数．
方法二：根据角平分线的判定定理求解即可．
【解答】解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC，
∴∠OMB＝∠ONB＝90°，
在Rt△OMB和Rt△ONB中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），
∴∠OBM＝∠OBN，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO＝15°．
方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC，
又∵OM＝ON，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBM＝∠OBN，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO＝15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法（HL）是解题的关键．
10．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，CE＝5，则CF的长为 3 ．
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝8，计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝8，
∴EF＝8，
∵EC＝8，
∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝8．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
11．（3分）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 30° ．
【分析】根据多边形内角和及正多边形性质求得∠ABO的度数，从而求得∠OBC的度数，再结合正方形性质及三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：∵图中六边形为正六边形，
∴∠ABO＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠OBC＝180°﹣120°＝60°，
∵正方形中，OC⊥CD，
∴∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12．（3分）如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 23 cm．
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm），
∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长7cm，
∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）．
故答案为23．
【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ABD的面积为30，AB＝15 4 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E；首先运用角平分线的性质证明CD＝DE，再求出DE的长度，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
∵S△ABD＝AB•DE＝30，
∴DE＝7，CD＝DE＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线．
14．（3分）如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ 360° ．
【分析】根据三角形外角性质得到∠7＝∠4+∠6，∠8＝∠1+∠5，根据四边形内角和即可得解．
【解答】解：如图，
∵∠7＝∠4+∠2，∠8＝∠1+∠3，
∴∠1+∠2+∠4+∠4+∠5+∠8＝360°．
故答案为：360°．
【点评】此题考查了多边形的内角、三角形外角性质，熟记三角形外角性质及四边形的内角和是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍多180°，则这个多边形的边数是多少？
【分析】多边形的内角和比外角和的2倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是900度，n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180＝2×360+180，
解得：n＝7．
则这个多边形的边数是7．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．
16．（5分）如果一个三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，若第三边长为xcm．
（1）求第三边x的范围；
（2）当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
【分析】（1）根据三角形的三边关系得到有关第三边x的取值范围即可；
（2）根据（1）得到的取值范围确定第三边的值，从而求出三角形的周长．
【解答】解：（1）∵三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，
∴8﹣2＜x＜9+4，
即7＜x＜11；
（2）由（1）知，7＜x＜11，
∵第三边的长为奇数，
∴第三边的长为2cm，
∴三角形的周长为20cm．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三角形的三边关系列出有关x的取值范围．
17．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质求出∠CAD的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝40°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝40°+60°＝100°．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
18．（5分）如图，AB＝AD，∠DAC＝∠BAE，求证BC＝DE．
【分析】由∠DAC＝∠BAE，推导出∠BAC＝∠DAE，而∠B＝∠D，AB＝AD，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABC≌△ADE，得BC＝DE．
【解答】证明：∵∠DAC＝∠BAE，
∴∠DAC+∠BAD＝∠BAE+∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC＝DE．
【点评】此题重点考查等式的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图为7×9的网格，每一小格均为正方形，已知△ABC．
（1）画出△ABC中BC边上的中线AD；
（2）画出△ABC中AB边上的高CE；
（3）直接写出△ABC的面积为 6 ．
【分析】（1）根据中线的意义及网格线的特征作图；
（2）根据高线的意义及网格线的特征作图；
（3）根据三角形的面积公式作图．
【解答】解：如图：
（1）AD即为所求；
（2）CE即为所求；
（3）△ABC的面积为：0.5×8×3＝6，
故答案为：7．
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征是解题的关键．
20．（7分）如图，OC是∠AOB内的一条射线，D是OC上一点，DF⊥OB于点F，已知OE＝OF
【分析】根据垂直的定义和HL证明Rt△EOD与Rt△FOD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F，
∴∠DEO＝∠DFO＝90°，
在Rt△EOD与Rt△FOD中，
，
∴Rt△EOD≌Rt△FOD（HL），
∴∠EOD＝∠FOD，
即OC是∠AOB的平分线．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据HL证明Rt△EOD与Rt△FOD全等解答．
21．（7分）数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），在数学老师带领下他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点；
②沿河岸直走10m有一棵树C，继续前行10m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长为4.5m．
（1）河流的宽度为 4.5 m；
（2）请你说明他们做法的正确性．
【分析】（1）根据全等三角形的性质就得到结论；
（2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】（1）解：河流的宽度为4.5m，
故答案为：2.5；
（2）证明：如图，由作法知：AB⊥BD，BC＝DC＝10m，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED＝4.4m，
即他们的做法是正确的．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题．
22．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB
【分析】利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【解答】证明：在△ABC 中，∠B＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．
∵AE⊥BC．
∴∠AEC＝90°．
∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，
∴∠DAF＝∠CAB．
在△DAF和△CAB中，
，
∴△DAF≌△CAB（SAS）．
∴DF＝CB．
【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明△ACE≌△DBF即可；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（AAS）；
（2）由（1）知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝2，
故CD的长为4．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．
24．（8分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°，
∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：HL，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A1．
（1）如图1，若∠A＝70°，则∠A1＝ 35° ．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的角平分线相交于点F，求∠F的度数．
（3）如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的角平分线交于A1，若E为BA延长线上一动点，连接EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于点Q
①∠Q+∠A1的值为定值；
②∠Q﹣∠A1的值为定值；
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
【分析】（1）由BA1平分∠BAC，CA1平分∠ACD，可得∠A1＝∠ACD﹣∠ABC＝（∠ACD﹣∠ABC），而∠BAC＝70°，即可得出答案；
（2）由BF平分∠ABC，CF平分∠DCE，可得∠F＝∠FCE﹣∠FBC＝（∠DCE﹣∠ABC），根据∠A+∠D＝230°，得∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝130°，∠DCE﹣∠ABC＝50°，故∠F＝（∠DCE﹣∠ABC）＝25°；
（3）同（1）可得∠A1＝∠BAC，根据EQ平分∠AEC，CQ平分∠ACE，得∠Q＝180°﹣（∠AEC+∠ACE），故∠Q＝180°﹣∠BAC，从而可得∠Q+∠A1的值为定值，其值是180°．
【解答】解：（1）∵BA1平分∠BAC，CA1平分∠ACD，
∴∠A3BC＝∠ABC7CD＝∠ACD，
∵∠A2＝∠A1CD﹣∠A1BC，
∴∠A4＝∠ACD﹣（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠BAC＝70°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝∠BAC＝70°，
∴∠A1＝×70°＝35°，
故答案为：35°；
（2）如图：
∵BF平分∠ABC，CF平分∠DCE，
∴∠FBC＝∠ABC∠DCE，
∴∠F＝∠FCE﹣∠FBC＝（∠DCE﹣∠ABC），
∵∠A+∠D＝230°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D）＝130°，
∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝130°，
∴∠DCE﹣∠ABC＝50°，
∴∠F＝（∠DCE﹣∠ABC）＝25°；
（3）正确的结论是①，理由如下：
如图：
同（1）可得∠A3＝∠BAC，
∵EQ平分∠AEC，CQ平分∠ACE，
∴∠QEC＝∠AEC∠ACE，
∵∠Q＝180°﹣（∠QEC+∠QCE），
∴∠Q＝180°﹣（∠AEC+∠ACE），
∵∠BAC＝∠AEC+∠ACE，
∴∠Q＝180°﹣∠BAC，
而∠A1＝∠BAC，
∴∠Q+∠A1＝180°﹣∠BAC+，
∴∠Q+∠A1的值为定值，①正确．
【点评】本题考查三角形的内角和定理及三角形的外角的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义．
26．（10分）（1）模型的发现：
如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，CE⊥直线l，垂足分别为点D
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若B，请说明DE、BD和CE的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，其中90°＜a＜180°，（1）的结论还成立吗？若成立；若不成立，请说明DE、BD和CE的关系
【分析】（1）证明△DAB≌△ECA，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，结合图形得出结论；
（2）仿照（1）的方法证明；
（3）仿照（1）的方法证明．
【解答】解：（1）DE＝BD+CE，
理由如下：∵∠DAC＝∠AEC+∠ACE，∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠DAB＝∠ECA，
在△DAB和△ECA中，
，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（2）BD＝DE+CE，
证明如下：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵CE⊥直线l，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△BAD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝DE+CE；
（3）（1）的结论成立，
理由如下：∵∠DAC＝∠2+∠ACE，∠BAC＝∠2，
∴∠DAB＝∠ECA，
在△DAB和△ECA中，
，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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