陕西省西安市长安区兴国中学2020-2021学年九年级上学期第二次月考数学试卷

2020-2021学年陕西省西安市长安区兴国中学九年级（上）第二次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

2.若菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

3.茶叶产业是陕西南部地区的优势特色产业之一，因其得天独厚的生长条件，具有早采、富硒、有机的天然品质，具备发展优质茶产业的先天地理优势该地某茶叶种植合作社脱贫攻坚期间种植茶树棵，其中成活棵，请估计这个合作社茶树种植成活的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无法判断

5.下列说法正确的是(    )

A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似
B. 有一个角相等的两个菱形相似
C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似
D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似

6.如果关于的一元二次方程的两个根分别为，，那么这个一元二次方程是(    )

A.  B.  C.  D.

7.已知矩形的一边及对角线长分别是一元二次方程的两根，则该矩形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点于点若菱形的周长为，面积为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用在线上买菜，某买菜今年一月份新注册用户为万，三月份新注册用户为万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图，矩形，平分交于点，交的延长线于点，点为的中点，连接，，以下结论：；；；若：：，则，其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.如果是方程的一个根，那么代数式的值为______．

12.若，则的值为______ ．

13.如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域指针指向区域分界线时，忽略不计的颜色，则两次颜色相同的概率是______．

14.如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）

15.如图，矩形中，，点，分别在，边上，且，若矩形∽矩形，且相似比为：，求的长．

四、解答题（本大题共10小题，共71.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
解方程：
；
；
．

17.本小题分
在件同型号的产品中，件不合格品，件合格品在这件产品中加入件合格品后，随机抽取件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，共抽取产品次，其中抽到合格品次，请你估计的值．

18.本小题分
如图，在中，请利用尺规在上作一点，使得把分成两个等腰三角形不要求写作法，保留作图痕迹

19.本小题分

如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．
如果，，，求的长；
如果：：，，求的长．

20.本小题分

如图，已知正方形，是对角线上任意一点，为上的点，且，，．
求证：四边形是正方形；
求证：．

21.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；
若方程有一个根的平方等于，求的值．

22.本小题分
小红和小丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上小红先从中抽出一张，小丁从剩余的张牌中也抽出一张，把两人抽取的牌面上的数字相加，若为偶数，则小红获胜；若为奇数，则小丁获胜．
请用画树状图或列表法的方法表示游戏所有可能出现的结果；
请用概率说明这个游戏规则对双方是否公平．

 

23.本小题分
矩形中，，点，在对角线上，点，分别在边，上．
如图，若，，分别是，的中点．求证：四边形为矩形．
如图，若，，且四边形为矩形，求的值．

 

24.本小题分
网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在某网络平台上进行直播销售特色板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出元现金，作为红包发给购买者已知该板栗的成本价格为元经销售发现，当销售单价为元时，每日销售量为，销售单价每涨价元，平均每天少售出规定销售单价不低于成本价且不高于元．
当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利元？
若每日销售量不低于，每千克成本将降低元，每日销售量不低于时销售这种板栗日获利能否达到元？若能，请求出销售单价；若不能，请说明理由．

25.本小题分
定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．
在下列图形中：平行四边形、矩形、菱形，一定是“等距四边形”的是______ ；填序号
如图，在菱形中，，，于点，点是菱形边上的一点，顺次连接、、、，若四边形为“等距四边形”，求线段的长；
如图，在▱中，，，点是内一点，在、、上是否分别存在点，使得这些点与点的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，求这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：已知，，，是成比例线段，
根据比例线段的定义得：，
代入，，，
得，
解得：，
故线段的长为．
故选：．
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将，及的值代入即可求得．
本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的性质求解即可．

2.【答案】 

【解析】【分析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
本题主要考查菱形的面积的求法，熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
【解答】
解：四边形是菱形，
．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：，
估计这个合作社茶树种植成活的概率为：，
故选：．
用成活的棵数除以种植的棵数即可估计这个合作社茶树种植成活的概率．
本题考查用频率估计概率，掌握频率估计概率的方法是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
故选：．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

5.【答案】 

【解析】解：、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，故A不符合题意；
B、有一个角相等的两个菱形相似，故B符合题意；
C、对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，故C不符合题意；
D、对角线之比相等的两个矩形不一定相似，故D不符合题意；
故选：．
根据相似多边形的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的定义是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：方程两根分别为，，
则，
，，
原方程为．
故选：．
由根与系数的关系求得，的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．

7.【答案】 

【解析】解：，
，
则或，
解得，，
则长方形的另一边长为，
周长为，
故选：．
利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得其解，再得出长方形另一边的长度，继而可得答案．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．连结，如图，根据菱形的性质得，，然后利用三角形面积公式，由，得到，再整理即可得到的值．
【解答】
解：连结，如图，
四边形为菱形，菱形的周长为，
，，
，
，
，
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是，根据题意得
，
解得不合题意舍去，．
故二、三两个月新注册用户每月平均增长率是．
故选：．
可设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是，那么新注册用户可表示为，已知三月份新注册用户为万，即可列出方程，从而求解．
本题考查了一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．

10.【答案】 

【解析】解：平分，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
故正确；
，，
是等腰直角三角形，
点为的中点，
，，
，
在和中，
，
≌．
，
，
，
故正确；
，
，
故正确；
：：，
设，，
≌，
，，
，且，
，
，
过作于，

，
，
，
，
，
故正确；
故选：．
先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，故正确；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明≌，得到得到，故正确；由四边形内角和定理可求，故正确；由是等腰直角三角形得到，求得，过作于，求得，进而得出答案．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，四边形内角和定理等知识，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
原式
．
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
利用等比性质进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查树状图或列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．
用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解答】
解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：

共有种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有种，
两次颜色相同，
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：连接．

四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，，
，
≌，
，
点的运动轨迹是射线，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
，
，
最小值．
故答案为：．
连接证明≌，推出，推出点的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，的值最小．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答．

15.【答案】解：矩形∽矩形，且相似比为：，
，
四边形为矩形，
，
，，
． 

【解析】利用相似多边形的性质得到，而根据矩形的性质得到，从而利用比例性质得到，，然后计算即可．
本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．也考查了矩形的性质．

16.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
则，即，
，
则，；
，
，，，
，
，
，． 

【解析】根据直接开平方法解方程即可求解；
根据配方法解方程即可求解；
利用公式法求出解即可．
本题考查一元二次方程的解法，灵活掌握一元二次方程的各种解法与步骤是解题关键．

17.【答案】解：根据题意，可得，
解得：
经检验是分式方程的解，
的值为，
答：估计的值为． 

【解析】根据频率概率的意义列方程解出即可．
本题考查频率概率的意义，解答中涉及分式方程的解法，能根据频率的意义列方程是解题的关键．

18.【答案】解：作的垂直平分线交于，连接，如图，

点即为所求． 

【解析】作的垂直平分线交于，连接，则和为等腰三角形．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的尺规作图方法．

19.【答案】解：，
，即，
解得：；
，
，即，
解得：． 

【解析】根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

20.【答案】解：
证明：四边形是正方形，
，平分，
，，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由四边形是正方形，易得，平分，又由，，即可证得四边形是正方形；
由四边形是正方形，易证得≌，即可证得：．
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的各种性质是证题的关键．

21.【答案】证明：，
无论实数取何值，方程总有两个实数根；

解：方程有一个根的平方等于，
是原方程的根，
当时，．
解得；
当时，，
解得．
综上所述，的值为或． 

【解析】先根据方程有两个相等的实数根列出关于的一元二次方程，求出的值即可；
根据题意得到是原方程的根，将其代入列出关于的新方程，通过解新方程求得的值．
本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答时要分类讨论，这是此题的易错点．

22.【答案】解：画树状图及游戏所有可能出现的结果如下：

共有种等可能的结果数，其中是偶数的结果数是种，是奇数的结果数是种，
则小红获胜的概率是：，
小丁获胜的概率是：，
所以这个游戏规则对双方公平． 

【解析】用画树状图或列表法的方法表示游戏所有可能出现的结果即可；
分别求出小红获胜和小丁获胜的概率，若概率相同，则公平，否则不公平．
本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．

23.【答案】证明：连接，如图所示：

四边形是矩形，
，，，
，，
，分别是，的中点，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，
在和中，，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
，
四边形为矩形．
解：连接，作于，如图所示：

则四边形是矩形，
，，
，
四边形为矩形，，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
． 

【解析】连接，由勾股定理求出，证出四边形是矩形，得，证≌，得出，，证，得四边形是平行四边形，求出，即可得出结论；
连接，作于，则，，得，由矩形的性质得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．

24.【答案】解：设销售单价定为元，则每千克的销售利润为元，每日的销售量为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利元；
每日销售量不低于时销售这种板栗日获利不能达到元，理由如下：
假设每日销售量不低于时销售这种板栗日获利能达到元，设销售单价定为元，则每千克的销售利润为元，每日的销售量为，
根据题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
假设不成立，即每日销售量不低于时销售这种板栗日获利不能达到元． 

【解析】设销售单价定为元，则每千克的销售利润为元，每日的销售量为，利用总利润每千克的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
每日销售量不低于时销售这种板栗日获利不能达到元，假设每日销售量不低于时销售这种板栗日获利能达到元，设销售单价定为元，则每千克的销售利润为元，每日的销售量为，利用总利润每千克的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即每日销售量不低于时销售这种板栗日获利不能达到元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程没有实数根”．

25.【答案】 

【解析】解：平行四边形对角线互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线长的一半，不符合题意；
矩形的对角线相等且互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离等于这条对角线的一半，符合题意；
菱形的对角线互相平分，对角线不一定相等，因此一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线的一半，不符合题意；
故答案为：；
根据等距四边形的定义，当点在上且时，四边形是等距四边形，如图，
取的中点，连接，，，
，，
，
，

四边形是等距边形，
在菱形中，，，，
，
，
，
，
根据菱形的对称性得，，
是等边三角形，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
，
当点在上且时，四边形是等距四边形，如图，

连接，，交于点，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，在菱形中，，，
，
；
过点分别作于，于，于，如图，

同的方法得，四边形，四边形，四边形是等距四边形，过点作于，
在平行四边形中，，
四边形是菱形．
．
，
，
是等边三角形．
在中，，，
，
，
根据勾股定理得，，
，
，
，
，
，
四边形，四边形，四边形的周长的和为．
根据等距四边形的定义即可得出结论；
根据等距四边形的定义，分两种情况，利用菱形的性质和含度的直角三角形，即可得出结论；
先判断出四边形，四边形，四边形是等距四边形，再利用三角形的面积求出，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了新定义，菱形，矩形，等腰梯形的性质，矩形的判定和等边三角形的判定，三角形的面积公式，理解和运用新定义是解本题的关键．