陕西省西安市长安区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份陕西省西安市长安区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省西安市长安区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列各组线段中，成比例的一组线段是（　　）
A．2、3、4、5 B．2、3、4、8 C．2、3、4、7 D．2、3、4、6
2．（3分）如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）a，b是实数，点A（4，a）、B（5，b）在反比例函数y＝的图象上，则（　　）
A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a
4．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值等于（　　）

A． B．3 C．1 D．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
6．（3分）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
7．（3分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE与AD交于点M，∠ACE＝∠B，下列结论中不正确的是（　　）

A．△ACM∽△ABD B．△ACE∽△ABC C．△AEM∽△CDM D．△AEM∽△ACD
8．（3分）如图，点A在x轴的正半轴上，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于点P，且OA•MP＝10，则k的值为（　　）

A．﹣5 B．5 C．20 D．10
9．（3分）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（　　）
A．a＜0，b＜0，c＝0 B．a＞0，b＜0，c＝0
C．a＜0，b＞0，c＝0 D．a＞0，b＞0，c＝0
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
11．（3分）反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（1，3），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点，你找的点的坐标为 　 　．
12．（3分）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 　 　．
13．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC＝∠ACB，若AC＝2，AD＝1，则DB＝　 　．

14．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象如图，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为　 　．

15．（3分）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6和2，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　 　．

三、解答题（共11小题，计75分解答应写出过程）
16．（5分）计算：（sin60°﹣cos45°）﹣（+6）．
17．（5分）解方程：x2﹣2＝x（5﹣2x）．
18．（5分）已知，2x+y≠0，求的值．
19．（5分）如图，AB、CD两根木杆竖直地立在地面上，课间小明观察到木杆AB在地面上的影子为BE，B、E、D在一条直线上，请用尺规作出木杆CD此时在地面上的影子DP．

20．（7分）如图，已知一次函数y1＝x+b（b为常数）的图象与反比例函数y2＝（k为常数）的图象相交于A、B两点，已知点A的坐标为（1，4）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标，并根据图象直接写出满足y1≥y2的自变量x的取值范围．

21．（7分）一天小明与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵树，小明想测量这棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为12米，坡面上的影长为5米，斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的拐杖在地面上的影长为2.5米，求这棵树的高度（结果精确到0.1米）．

22．（7分）有两部大小一样但型号不同的手机A、B，现有6个手机壳，其中与手机A匹配的手机壳有2个，与手机B匹配的手机壳有3个，还有1个手机壳与两部手机都不匹配．
（1）从6个手机壳中随机的取一个，求恰好与手机A匹配的概率；
（2）随机取一部手机和一个手机壳，求恰好能匹配的概率（用树状图或列表法解答）．
23．（8分）如图，在正方形ABCD中，点P是BC延长线上一点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，过点D作DF⊥AP于点F．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若AB＝10，∠P＝30°，求EF的长．

24．（8分）为了满足初中学业水平体育与健康考试的需求，某体育用品专卖店从厂家以单价40元进购了一种排球，如果以单价60元出售，那么每月可售出400个，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少5个．
（1）设销售单价提高x元，则每个排球获得的利润是 　 　元；这种排球这个月的销售量是 　 　个；
（2）若该专卖店准备在这种排球销售上一月获利10500元，同时又要使顾客得到实惠，则售价应定为多少元？
25．（8分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）已知AB＝3，AD＝5，求tan∠DAE的值．

26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，当四边形ABPC的面积最大时，求出点P的坐标．


2021-2022学年陕西省西安市长安区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列各组线段中，成比例的一组线段是（　　）
A．2、3、4、5 B．2、3、4、8 C．2、3、4、7 D．2、3、4、6
【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．
【解答】解：A、2×5≠3×4，所以选项A不符合题意；
B、2×8≠3×4，所以B选项不符合题意；
C、2×7≠3×4，所以C选项不符合题意；
D、2×6＝3×4，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
2．（3分）如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】本题中，圆柱的俯视图是个圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是个矩形，可以堵住方形空洞．
【解答】解：根据三视图的知识来解答．圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它的正视图以及侧视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项．
故选：B．
【点评】本题将立体图形的三视图运用到了实际中，只要弄清楚了立体图形的三视图，解决这类问题其实并不难．
3．（3分）a，b是实数，点A（4，a）、B（5，b）在反比例函数y＝的图象上，则（　　）
A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a
【分析】由k＝﹣3＜0，可得到图象位于二、四象限，y随x的增大而增大，再由A（4，a）、B（5，b）两点横坐标的大小判断出a、b，再由图象的位置进而判断出a、b、0，之间的关系．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴图象位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴点A（4，a）、B（5，b）在第四象限内图象上的两点，
∴a＜b＜0，
故选：A．
【点评】考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是正确判断的前提，利用图象法则会更直观．
4．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值等于（　　）

A． B．3 C．1 D．
【分析】求出△ABC三边的长，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，利用锐角三角函数得出结论．
【解答】解：∵AC＝，AB＝，BC＝，
∴AC2＝2，AB2＝20，BC2＝18，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴tan∠BAC＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理及锐角三角函数的边角关系．利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形是解决本题的关键．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6．
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．（3分）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【分析】由已知求出∠A、∠B的度数，再由三角形的内角和定理求出∠C的度数，得∠A＝∠B＝∠C，即可得出结论．
【解答】解：∵∠A、∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC为等边三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的判定、特殊角的三角函数值等知识，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值，求得∠A、∠B的度数．
7．（3分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE与AD交于点M，∠ACE＝∠B，下列结论中不正确的是（　　）

A．△ACM∽△ABD B．△ACE∽△ABC C．△AEM∽△CDM D．△AEM∽△ACD
【分析】利用相似三角形的判定依次判断可得结论．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，且∠ACE＝∠B，
∴△ACM∽△ABD，故A不符合题意；
∵∠ACE＝∠B，∠CAE＝∠CAB，
∴△ACE∽△ABC，故B不符合题意；
∵△ACE∽△ABC，
∴∠ACD＝∠AEC，且∠DAC＝∠BAD，
∴△AEM∽△ACD，故D不符合题意；
由条件无法证明△AEM与△CDM相似，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是本题的关键．
8．（3分）如图，点A在x轴的正半轴上，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于点P，且OA•MP＝10，则k的值为（　　）

A．﹣5 B．5 C．20 D．10
【分析】设P（x，y），则可表示出MP，由M为OA的中点，可求得OA，由条件可求得xy，则可求得k的值．
【解答】解：设P（x，y）则MP＝y，
∵M为OA的中点，
∴OA＝2x，
∵OA•MP＝10，
∴2xy＝10，
∴xy＝5，
∴k＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出线段的长度是解题的关键．
9．（3分）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由菱形的性质可得∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝140°，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO，
∵DE⊥BC，
∴OE＝OD＝OB，∠BDE＝20°，
∴∠ODE＝∠OED＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（　　）
A．a＜0，b＜0，c＝0 B．a＞0，b＜0，c＝0
C．a＜0，b＞0，c＝0 D．a＞0，b＞0，c＝0
【分析】根据抛物线所在的象限确定字母的符号．
【解答】解：如图所示：抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，过原点．
∴a＞0，b＞0，c＝0．

故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象，掌握a，b，c对图象位置的作用是求解本题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
11．（3分）反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（1，3），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点，你找的点的坐标为 　（﹣1，﹣3）　．
【分析】根据“第一象限内的图象经过点A（1，3）”先求出函数解析式，给x一个负数值，求出y值即可得到坐标．
【解答】解：∵图象经过点A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴函数解析式为y＝，
当x＝﹣1时，y＝＝﹣3，
∴P点坐标为（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，是开放型题目，答案不唯一，只要符合题意即可，点在第三象限，横坐标与纵坐标均为负数．
12．（3分）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 　6　．
【分析】利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【解答】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个，
故答案为6．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
13．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC＝∠ACB，若AC＝2，AD＝1，则DB＝　3　．

【分析】根据∠ADC＝∠ACB，∠A是公共角，得出△ACD∽△ABC，再利用相似三角形得性质进而得出AB的长度，求出答案即可．
【解答】解：在△ACD和△ABC中，
∵∠ADC＝∠ACB，∠A是公共角，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∵AC＝2，AD＝1，
∴AB＝4，
∴DB＝AB﹣AD＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质，根据已知得出AB的长是解题关键．
14．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象如图，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为　y＝﹣x2﹣2x　．

【分析】先求出如图所示的抛物线的解析式，再根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由题中图象可知，对称轴为直线x＝1，
所以﹣＝1，即b＝2．
把点（3，0）代入y＝﹣x2+2x+c，
得0＝﹣9+6+c，解得c＝3．
故原图象的解析式为y＝﹣x2+2x+3，即y＝﹣（x﹣1）2+4，
将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y＝﹣（x﹣1+2）2+4﹣3，即y＝﹣x2﹣2x．
故答案为y＝﹣x2﹣2x．
【点评】本题考查了抛物线解析式的确定及二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握二次函数的性质及图象平移的规律：左加右减，上加下减．
15．（3分）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6和2，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　2　．

【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．
【解答】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
则PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH＝OA＝（6﹣2）＝2．
∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝4，
同理△PHE中，HE＝PH＝2．
∴HG＝HE+EG＝2+2＝4．
∴在Rt△PHG中，PG＝．
故答案是2

【点评】本题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
三、解答题（共11小题，计75分解答应写出过程）
16．（5分）计算：（sin60°﹣cos45°）﹣（+6）．
【分析】首先计算小括号里面的加法和减法，然后计算乘法，最后从左向右依次计算即可．
【解答】解：（sin60°﹣cos45°）﹣（+6）
＝×（﹣）﹣（+6）
＝×﹣×﹣﹣6
＝﹣1﹣﹣6
＝﹣7．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17．（5分）解方程：x2﹣2＝x（5﹣2x）．
【分析】化成一般式，然后利用因式分解法求解即可．
【解答】解：原方程整理得3x2﹣5x﹣2＝0，
（3x+1）（x﹣2）＝0，
∴3x+1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．（5分）已知，2x+y≠0，求的值．
【分析】利用设k法进行计算即可解答．
【解答】解：设＝k，
∴x＝2k，y＝3k，z＝5k，
∴＝＝＝﹣，
∴的值为﹣．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
19．（5分）如图，AB、CD两根木杆竖直地立在地面上，课间小明观察到木杆AB在地面上的影子为BE，B、E、D在一条直线上，请用尺规作出木杆CD此时在地面上的影子DP．

【分析】在CD的右侧作∠DCP＝∠A，CP交BD于点P，线段DP即为所求．
【解答】解：如图，线段DP即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
20．（7分）如图，已知一次函数y1＝x+b（b为常数）的图象与反比例函数y2＝（k为常数）的图象相交于A、B两点，已知点A的坐标为（1，4）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标，并根据图象直接写出满足y1≥y2的自变量x的取值范围．

【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可得出反比例函数系数k，由此即可得出反比例函数解析式；由点A的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）联立两函数解析式，求出两函数交点坐标，根据函数图象的上下位置关系即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y2＝（k为常数）的图象上，
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数解析式为y2＝；
将点A（1，4）代入y1＝x+b中得：4＝1+b，
解得：b＝3，
∴一次函数解析式为y1＝x+3．
（2）联立两函数解析式得：，
解得：或，
∴B（﹣4，﹣1），
观察函数图形，发现：
当﹣4≤x＜0或x≥1时，一次函数图象不在反比例函数图象下方，
∴满足y1≥y2的自变量x的取值范围是﹣4≤x＜0或x≥1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键．
21．（7分）一天小明与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵树，小明想测量这棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为12米，坡面上的影长为5米，斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的拐杖在地面上的影长为2.5米，求这棵树的高度（结果精确到0.1米）．

【分析】延长AC、BF交于点D，过点C作CE⊥BD于E，根据直角三角形的性质求出CE，根据余弦的定义求出EF，根据题意求出DE，进而求出BD，计算即可．
【解答】解：延长AC、BF交于点D，过点C作CE⊥BD于E，
在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，∠CFE＝30°，CF＝5m，
∴CE＝（米），EF＝5cos30°＝（米），
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2.5米，
∴DE＝2.5CE＝（米），
∴BD＝BF+EF+DE＝12++＝（+）米，
∴AB＝BD÷2.5＝（+）×≈9.0（米），
答：这棵树的高度约为9.0米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用以及相似三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线、得到AB的影长．
22．（7分）有两部大小一样但型号不同的手机A、B，现有6个手机壳，其中与手机A匹配的手机壳有2个，与手机B匹配的手机壳有3个，还有1个手机壳与两部手机都不匹配．
（1）从6个手机壳中随机的取一个，求恰好与手机A匹配的概率；
（2）随机取一部手机和一个手机壳，求恰好能匹配的概率（用树状图或列表法解答）．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图（与手机A匹配的手机壳用a1、a2表示，与手机B匹配的手机壳用b1、b2、b3表示，与两部手机都不匹配的手机壳用c表示）展示所有12种等可能的结果，再找出恰好能匹配的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从6个手机壳中随机的取一个，恰好与手机A匹配的概率＝＝；
（2）画树状图为：（与手机A匹配的手机壳用a1、a2表示，与手机B匹配的手机壳用b1、b2、b3表示，与两部手机都不匹配的手机壳用c表示）

共有12种等可能的结果，其中恰好能匹配的结果数为5，
所以恰好能匹配的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
23．（8分）如图，在正方形ABCD中，点P是BC延长线上一点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，过点D作DF⊥AP于点F．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若AB＝10，∠P＝30°，求EF的长．

【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定可得答案；
（2）由正方形的性质及直角三角形的性质可得DF和AE的长，再由线段的和差关系可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠AEB＝∠DFA＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝∠BAE+∠FAD＝90°，
∴∠ABE＝∠DFA，
∴△ABE≌△DAF（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠APB＝30°，
∴AD∥BC，
∴∠DAP＝∠APB＝30°，
∵DF⊥AP，
∴DF＝AD＝＝5，
在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF＝＝＝5，
∵△ABE≌△DAF，
∴AE＝DF＝5，
∴EF＝5．
【点评】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形性质，掌握它们的性质定理是解决此题的关键．
24．（8分）为了满足初中学业水平体育与健康考试的需求，某体育用品专卖店从厂家以单价40元进购了一种排球，如果以单价60元出售，那么每月可售出400个，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少5个．
（1）设销售单价提高x元，则每个排球获得的利润是 　（20+x）　元；这种排球这个月的销售量是 　（400﹣5x）　个；
（2）若该专卖店准备在这种排球销售上一月获利10500元，同时又要使顾客得到实惠，则售价应定为多少元？
【分析】（1）利用每个排球获得的利润＝售价﹣进价，即可用含x的代数式表示出每个排球获得的利润；利用月销售量＝400﹣5×销售单价提高的价格，即可用含x的代数式表示出月销售量；
（2）利用月销售总利润＝每个排球的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合要使顾客得到实惠，即可确定x的值，再将其代入（60+x）中即可求出售价．
【解答】解：（1）依题意得：当销售单价提高x元时，每个排球获得的利润是60+x﹣40＝（20+x）元，这种排球这个月的销售量是（400﹣5x）个．
故答案为：（20+x）；（400﹣5x）．
（2）依题意得：（20+x）（400﹣5x）＝10500，
整理得：x2﹣60x+500＝0，
解得：x1＝10，x2＝50．
又∵要使顾客得到实惠，
∴x＝10，
∴60+x＝60+10＝70．
答：售价应定为70元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每个排球的销售利润及月销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．（8分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）已知AB＝3，AD＝5，求tan∠DAE的值．

【分析】（1）根据矩形的性质可得∠B＝∠C＝∠D＝90°，再利用折叠可得∠AFE＝90°，然后再证明一线三等角模型相似三角形△ABF∽△FCE，即可解答；
（2）根据矩形的性质可得AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，再利用折叠可得AF＝5，从而可得BF＝4，然后再利用（1）的结论求出CE，进而求出DE，最后在Rt△ADE中进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
由折叠可得：
∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
由折叠可得：
AD＝AF＝5，
∴BF＝＝＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝1，
∵△ABF∽△FCE，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴DE＝CD﹣CE＝3﹣＝，
∴tan∠DAE＝＝＝，
∴tan∠DAE的值为．
【点评】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），熟练掌握一线三等角模型相似三角形是解题的关键．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，当四边形ABPC的面积最大时，求出点P的坐标．

【分析】（1）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；
（2）解方程得到B（4，0），C（0，4），求得直线BC的解析式为y＝﹣x+4；设P（m，﹣m2+3m+4），过P作PQ∥y轴交直线BC于Q，得到Q（m，﹣m+4）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣1，0），B两点，抛物线的对称轴是直线x＝，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）当y＝0时，即﹣x2+3x+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
设P（m，﹣m2+3m+4），
过P作PQ∥y轴交直线BC于Q，
∴Q（m，﹣m+4），
∴S四边形ABPC＝S△ABC+S△PBC＝×5×4+（﹣m2+3m+4+m﹣4）×4＝﹣2m2+8m+10＝16，
解得：m＝1或m＝3，
∴P（1，6）或（3，4）；
（3）由（2）知，S四边形ABPC＝S△ABC+S△PBC＝×5×4+（﹣m2+3m+4+m﹣4）×4＝﹣2m2+8m+10＝﹣2（m﹣2）2+18，
∴当m＝2时，四边形ABPC的面积最大，此时，P（2，6）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．