新高考数学模拟练习卷一（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学模拟练习卷一（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．若复数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应的点位于第三象限D． SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0
3．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．打羽毛球是全民皆宜的运动．标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，若把球托之外由羽毛围成的部分看成一个圆台的侧面，又测得顶端所围成圆的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，则这个圆台的体积约是（单位： SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
注：本题运算时 SKIPIF 1 < 0 取3， SKIPIF 1 < 0 取2.24，运算最后结果精确到整数位．
A．108B．113C．118D．123
5．2020年8月3日(农历六月十四)23时59分上演了“十五的月亮十四圆”的天文奇观.某同学准备对2020年农历正月到七月期间的月圆情况进行一次调研，现从这七个月中月亮最圆的夜晚中任意选取两个夜晚进行分析，则其中恰好包括农历六月十四日晚上的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知函数f（x）=sin（2x+ SKIPIF 1 < 0 ），其中 SKIPIF 1 < 0 为实数，若f（x）≤|f（ SKIPIF 1 < 0 ）|对x∈R恒成立，且f（ SKIPIF 1 < 0 ）>0，则f（x）的单调递减区间是
A．[kπ，kπ+ SKIPIF 1 < 0 ]（k∈Z）B．[kπ– SKIPIF 1 < 0 ，kπ+ SKIPIF 1 < 0 ]（k∈Z）
C．[kπ+ SKIPIF 1 < 0 ，kπ+ SKIPIF 1 < 0 ]（k∈Z）D．[kπ– SKIPIF 1 < 0 ，kπ]（k∈Z）
7．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成 SKIPIF 1 < 0 角；③ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成异面直线且夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
其中正确的是（ ）
A．①B．②C．③D．①②③
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是奇函数
B． SKIPIF 1 < 0 是周期函数
C．在区间 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 有且只有一个极值点
D．过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的切线，有且仅有2条
11．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的两个不同的点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
C．若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为16
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，函数 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
13．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有___________
① SKIPIF 1 < 0 ；
②展开式中常数项为160；
③展开式中各项系数的绝对值的和1458；
④若 SKIPIF 1 < 0 为偶数，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的系数相等
14．已知圆 SKIPIF 1 < 0 和两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________．
15．过原点作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，则切线的斜率为_____________.
16．椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.当 SKIPIF 1 < 0 的周长最大时，则 SKIPIF 1 < 0 的值等于______.
四、解答题
17．数列 SKIPIF 1 < 0 和它的前 SKIPIF 1 < 0 项的和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求出该数列的通项公式；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
①求 SKIPIF 1 < 0 ；
②是否存在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列？如果存在，求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如果不存在，请说明理由.
18．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
19．如图， SKIPIF 1 < 0 为正方形 SKIPIF 1 < 0 所在平面外一点， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
20．自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得到了越来越多消费者和商家的青睐．某金融机构为了调查研究“支付方式的选择与年龄是否有关”，从某市市民中随机抽取100名进行调查，得到部分统计数据如下表：
(1)根据以上数据，判断是否有99%的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
(2)将频率视为概率，现从该市60岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中选择“现金支付”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，数学期望 SKIPIF 1 < 0 和方差 SKIPIF 1 < 0 ．
参考公式： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
21．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，且斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴分别相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
22．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 且关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 只有一个实数解，求t的值．
手机支付
现金支付
合计
60岁以下
40
10
50
60岁以上
30
20
50
合计
70
30
100
SKIPIF 1 < 0
0.10
0.050
0.010
0.001
SKIPIF 1 < 0
2.706
3.841
6.635
10.828
新高考数学模拟练习卷一
一、单选题
1．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用函数单调性求解不等式，求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
2．若复数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应的点位于第三象限D． SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】将复数 SKIPIF 1 < 0 化简成复数的代数形式，即可依次判断各个选项的正误.
【详解】因为复数 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，D错误；
SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，位于第一象限，故C错误；
故选：B.
3．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.
【详解】由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点F在BE上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
4．打羽毛球是全民皆宜的运动．标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，若把球托之外由羽毛围成的部分看成一个圆台的侧面，又测得顶端所围成圆的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，则这个圆台的体积约是（单位： SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
注：本题运算时 SKIPIF 1 < 0 取3， SKIPIF 1 < 0 取2.24，运算最后结果精确到整数位．
A．108B．113C．118D．123
【答案】D
【分析】由圆台的体积公式求解即可.
【详解】圆台的体积为 SKIPIF 1 < 0
故选：D
5．2020年8月3日(农历六月十四)23时59分上演了“十五的月亮十四圆”的天文奇观.某同学准备对2020年农历正月到七月期间的月圆情况进行一次调研，现从这七个月中月亮最圆的夜晚中任意选取两个夜晚进行分析，则其中恰好包括农历六月十四日晚上的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】基本事件总数是 SKIPIF 1 < 0 ，其中恰好包含农历六月十四日晚上的基本事件个数是 SKIPIF 1 < 0 ，由此能求出其中恰好包含农历六月十四日晚上的概率.
【详解】从七个月中月亮最圆的夜晚中任意选取两个夜晚进行分析, 基本事件总数是 SKIPIF 1 < 0 ，
其中恰好包含农历六月十四日晚上的基本事件个数是 SKIPIF 1 < 0 ，
则其中恰好包含农历六月十四日晚上的概率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
6．已知函数f（x）=sin（2x+ SKIPIF 1 < 0 ），其中 SKIPIF 1 < 0 为实数，若f（x）≤|f（ SKIPIF 1 < 0 ）|对x∈R恒成立，且f（ SKIPIF 1 < 0 ）>0，则f（x）的单调递减区间是
A．[kπ，kπ+ SKIPIF 1 < 0 ]（k∈Z）B．[kπ– SKIPIF 1 < 0 ，kπ+ SKIPIF 1 < 0 ]（k∈Z）
C．[kπ+ SKIPIF 1 < 0 ，kπ+ SKIPIF 1 < 0 ]（k∈Z）D．[kπ– SKIPIF 1 < 0 ，kπ]（k∈Z）
【答案】C
【解析】由题意可得2 SKIPIF 1 < 0 φ＝kπ SKIPIF 1 < 0 ，k∈z，即 φ＝kπ，k∈z①，再由f（ SKIPIF 1 < 0 ）＝sin（ SKIPIF 1 < 0 φ）＞0 ②，求得φ＝0，可得f（x）＝sin2x．令2kπ SKIPIF 1 < 0 2x≤2kπ SKIPIF 1 < 0 ，k∈z，求得x的范围，可得函数的减区间．
【详解】由题意可得函数f（x）=sin（2x+φ）的图象关于直线x= SKIPIF 1 < 0 对称，故有2× SKIPIF 1 < 0 +φ=kπ+ SKIPIF 1 < 0 ，k∈Z，即φ=kπ，k∈Z①．又f（ SKIPIF 1 < 0 ）=sin（ SKIPIF 1 < 0 +φ）>0②，由①②可得φ=2kπ，k∈Z，
∴f（x）=sin2x．令2kπ+ SKIPIF 1 < 0 ≤2x≤2kπ+ SKIPIF 1 < 0 ，k∈Z，解得kπ+ SKIPIF 1 < 0 ≤x≤kπ+ SKIPIF 1 < 0 ，k∈Z，
故函数的减区间为[kπ+ SKIPIF 1 < 0 ，kπ+ SKIPIF 1 < 0 ]，k∈Z，
故选:C．
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象性质，考查对称性及单调性，准确计算是关键，属于中档题．
7．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，利用幂函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性可得， SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，通过求导判断函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，利用函数 SKIPIF 1 < 0 判断 SKIPIF 1 < 0 的大小关系即可.
【详解】由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，因为幂函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【点睛】本题考查通过求导判断函数的单调性、利用函数的单调性比较大小；考查运算求解能力和函数与方程的思想；通过构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用函数的单调性比较 SKIPIF 1 < 0 的大小是求解本题的关键；属于难度较大型试题.
8．已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据给定条件，确定四棱锥体积最大时为正四棱锥，设出底面外接圆半径，求出体积函数式，再利用导数求解作答.
【详解】令球O的内接四棱锥为 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 外接圆 SKIPIF 1 < 0 半径为 SKIPIF 1 < 0 ，对角线 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形时取等号，
由球的结构特征知，顶点P为直线 SKIPIF 1 < 0 与球面O的交点，并且球心O在线段 SKIPIF 1 < 0 上，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高最大，如图，
SKIPIF 1 < 0 ，高 SKIPIF 1 < 0 ，
因此四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的最大体积关系式为： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
求导得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当该四棱锥的体积最大时，其高为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
二、多选题
9．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成 SKIPIF 1 < 0 角；③ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成异面直线且夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
其中正确的是（ ）
A．①B．②C．③D．①②③
【答案】BC
【分析】还原正方体直观图，根据直观图直观可判断①；利用正三角形性质和线线平行可判断②③.
【详解】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，故①错误；连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成 SKIPIF 1 < 0 角，故②正确；
同理 SKIPIF 1 < 0 成 SKIPIF 1 < 0 角，由图可知 SKIPIF 1 < 0 成异面直线，故③正确.
故选：BC
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是奇函数
B． SKIPIF 1 < 0 是周期函数
C．在区间 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 有且只有一个极值点
D．过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的切线，有且仅有2条
【答案】ACD
【分析】利用奇偶函数的定义判断A；
利用周期函数的定义判断B；
利用函数的导数和极值的应用判断C；
利用导数的几何意义求出切线方程即可判断D.
【详解】A：由函数 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，故A正确；
B：取一个数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不是周期函数，故B错误；
C：由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个解，所以 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个极值点，故C正确；
D：设切点的横坐标为t，则切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
由于直线过 SKIPIF 1 < 0 ，所以得到 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ACD
11．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的两个不同的点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
C．若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为16
【答案】BCD
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，即可判断A；设直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，由 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断B；设直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线方程，消元列出韦达定理，即可判断C、D；
【详解】解：对于A，由题意 SKIPIF 1 < 0 ，所以焦点 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，显然不合题意；设直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，由直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，可设直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，由C可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为16，故D正确，
故选：BCD.
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，函数 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【分析】根据已知条件，易得函数 SKIPIF 1 < 0 偶函数，再结合 SKIPIF 1 < 0 ，
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，只需判断函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，即可做出正确选择.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，知函数 SKIPIF 1 < 0 偶函数，
故函数 SKIPIF 1 < 0 也为偶函数.
对于选项A，因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，因此A正确；
对于选项B，因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，因此B错；
对于选项C，因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，因此C错；
对于选项D，因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，因此D正确.
故选：AD.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
三、填空题
13．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有___________
① SKIPIF 1 < 0 ；
②展开式中常数项为160；
③展开式中各项系数的绝对值的和1458；
④若 SKIPIF 1 < 0 为偶数，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的系数相等
【答案】①③④
【分析】由题意令 SKIPIF 1 < 0 为1，可求得a得值，即可判断①；再根据二项展开式得通项即可求得展开式中常数项，即可判断②；展开式中各项系数的绝对值的和即为 SKIPIF 1 < 0 展开式系数的绝对值的和，从而可判断③；根据二项展开式得通项即可判断④.
【详解】对于①， SKIPIF 1 < 0 ，令二项式中的 SKIPIF 1 < 0 为1得到展开式的各项系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
对于②， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 展开式是中常数项为：令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得展开式中常数项为： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 展开式是中常数项为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项为-160.故②错误；
对于③，求其展开式系数的绝对值的和与 SKIPIF 1 < 0 展开式系数的绝对值的和相等，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 展开式系数的绝对值的和为：1458，故③正确；
对于④， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数，保证展开式中 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的系数相等，
① SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的系数相等，
SKIPIF 1 < 0 展开式系数中 SKIPIF 1 < 0 系数为： SKIPIF 1 < 0
展开式系数中 SKIPIF 1 < 0 系数为： SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的系数相等，
② SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的系数相等，
SKIPIF 1 < 0 展开式系数中 SKIPIF 1 < 0 系数为： SKIPIF 1 < 0
展开式系数中 SKIPIF 1 < 0 系数为： SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的系数相等，
③ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的系数相等，
SKIPIF 1 < 0 展开式系数中 SKIPIF 1 < 0 系数为： SKIPIF 1 < 0 ，
展开式系数中 SKIPIF 1 < 0 系数为： SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的系数相等，故④正确.
故答案为：①③④.
14．已知圆 SKIPIF 1 < 0 和两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是圆 SKIPIF 1 < 0 ，从而将问题转化为两圆有公共点的问题，由此得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 的中点（即原点 SKIPIF 1 < 0 ）为圆心， SKIPIF 1 < 0 为直径的圆 SKIPIF 1 < 0 ，其半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 同时是圆 SKIPIF 1 < 0 上的点，所以圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．过原点作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，则切线的斜率为_____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】试题分析：设切点为（ SKIPIF 1 < 0 ），∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴a=1， SKIPIF 1 < 0 ，∴切线的斜率为e
考点：本题考查了导数的几何意义
点评：对于此类问题常常利用在某一点的导函数值就是过该点的切线斜率，属基础题
16．椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.当 SKIPIF 1 < 0 的周长最大时，则 SKIPIF 1 < 0 的值等于______.
【答案】4
【解析】设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义得△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+(2a−AE)+(2a−BE)=4a+AB−AE−BE，利用三角形两边之和与第3边的关系即可得结果.
【详解】
设椭圆的右焦点为E. 如图：
由椭圆的定义得△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+(2a−AE)+(2a−BE)=4a+AB−AE−BE；
∵AE+BE SKIPIF 1 < 0 AB；
∴AB−AE−BE SKIPIF 1 < 0 0，当AB过点E时取等号；
∴AB+AF+BF=4a+AB−AE−BE SKIPIF 1 < 0 4a；
即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；
此时直线x=m=c=4；
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
四、解答题
17．数列 SKIPIF 1 < 0 和它的前 SKIPIF 1 < 0 项的和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求出该数列的通项公式；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
①求 SKIPIF 1 < 0 ；
②是否存在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列？如果存在，求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析， SKIPIF 1 < 0 ；（2）① SKIPIF 1 < 0 ；②不存在，详见解析.
【分析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 的值，令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差后利用等比数列的定义可证明出数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，确定该数列的公比，可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）①求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而利用裂项相消法可求得 SKIPIF 1 < 0 ；
②假设存在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，运用等差数列中项性质，以及不等式的性质，即可判断存在性．
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项与公比的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）① SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
②假设存在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
去分母，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （*）
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三个互不相等，且 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
显然等式（*）不成立， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不可能成等差数列.
【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．
18．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据题设条件和利用正弦定理，化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的大小.
（2）由余弦定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合基本不等式，求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用面积公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，在 SKIPIF 1 < 0 中，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
利用正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：
对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.
19．如图， SKIPIF 1 < 0 为正方形 SKIPIF 1 < 0 所在平面外一点， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）1.
【分析】（1）利用平面几何的知识，在面 SKIPIF 1 < 0 中证明出 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，然后得到 SKIPIF 1 < 0 ；（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，利用余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由等体积法得 SKIPIF 1 < 0 ，得到点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【详解】证明：（1）在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
解：（2） SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
解：（2） SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高，
设 SKIPIF 1 < 0 为点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由等体积法得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，三棱锥等体积转化求点到面的距离，属于中档题.
20．自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得到了越来越多消费者和商家的青睐．某金融机构为了调查研究“支付方式的选择与年龄是否有关”，从某市市民中随机抽取100名进行调查，得到部分统计数据如下表：
(1)根据以上数据，判断是否有99%的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
(2)将频率视为概率，现从该市60岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中选择“现金支付”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，数学期望 SKIPIF 1 < 0 和方差 SKIPIF 1 < 0 ．
参考公式： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)没有99%的把握认为支付方式的选择与年龄有关
(2)分布列见解析， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）计算 SKIPIF 1 < 0 的观测值，结合独立性检验的思想求解即可；
（2）由题知 SKIPIF 1 < 0 ，再根据二项分布求解即可；
【详解】（1）解：根据题意可得： SKIPIF 1 < 0 的观测值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以没有99%的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
（2）由题意可知：在60岁以上的市民中抽到1人选择“现金支付”的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，X的所有可能取值为0，1,2，3，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以X的分布列为
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
21．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，且斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴分别相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件，先求出C的方程，写出直线l的方程，与双曲线方程联立求出P，Q点的坐标，运用两点距离公式和点到直线的距离公式即可计算出 SKIPIF 1 < 0 的面积；
（2）根据M，N关于原点的对称性，设立坐标 SKIPIF 1 < 0 ，求出直线AM和直线AN的方程，与双曲线方程联立，运用韦达定理求出P，Q的坐标，再利用两点式直线方程化简即可.
【详解】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 的方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 整理得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
依题意作上图，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线AP的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，直线AQ的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
联立方程： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时，
直线PQ的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，将上面求得的 SKIPIF 1 < 0 解析式代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线PQ过定点 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题第二问计算量很大，需要反复计算确认，但思路比较容易，只要根据对称性设立M，N点坐标，其他的只要顺势而为即可.
22．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 且关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 只有一个实数解，求t的值．
【答案】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
(2)2
【分析】（1）先求导，再分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况讨论即可；
（2）先构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，求导确定最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，确定单调性后解出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 .
(1)
SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
(2)
关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 只有一个实数解，即 SKIPIF 1 < 0 只有唯一正实数解．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
要使得方程 SKIPIF 1 < 0 只有唯一实数解，
若 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 至多有一解．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，
由上得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 单增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 各存在一个零点，不合题意.
综上： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题关键点在于构造函数 SKIPIF 1 < 0 后求出函数的最小值 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，
再构造函数确定单调性后解出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 .
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0.050
0.010
0.001
SKIPIF 1 < 0
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0