卷08——【上海专用】2023年高考数学模拟卷（原卷版+解析版）

【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（上海卷专用）

黄金卷08

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

4．测试范围：高考全部内容

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、填空题：本大题共12小题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12每题5分．

1．复数的实部为___________．

【答案】7

【详解】．故实部为7，

故答案为：7.

2．函数的定义域是___________.

【答案】

【详解】的定义域需满足，

所以函数的定义域．

故答案为：

3．已知平面向量，，则与的夹角为______.

【答案】

【详解】设与的夹角为，由已知，得，

所以.

又，，

所以，

因为，所以.

故答案为：.

4．已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：

甲组：、、、、、；

乙组：、、、、、.

若这两组数据的第百分位数，第百分位数分别对应相等，则___________.

【答案】##

【详解】因为，，

所以，甲组第百分位数为，乙组的第百分位数为，则，

甲组第百分位数为，乙组的第百分位数为，则，可得，

因此，.

故答案为：.

5．已知直线被圆截得的弦长为，则的值为_________.

【答案】1

【详解】依题意可得圆心，半径，

则圆心到直线的距离，

由勾股定理可知，，代入化简可得，

且，解得．

故答案为：．

6．曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为______．

【答案】

【详解】由可得，

则，

故曲线在点处的切线方程为，

令，则；令，则，

故曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为，

故答案为：

7．已知函数是定义域为的奇函数，当时，且，则不等式的解集为________.

【答案】

【详解】依题意，函数是定义域为的奇函数，，

当时，，即，

，

奇函数的图象关于原点对称，由此画出的大致图象如下图所示，

由图可知，不等式的解集为.

故答案为：

8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，， ，则的面积等于______．

【答案】##

【详解】解：由，①知，，

由余弦定理，得．

又，

所以．

由及正弦定理，得②．

联立①②，得，

所以的面积为．

故答案为：．

9．已知实数a，b，m，n满足，，则的最小值为________．

【答案】##

【详解】由题意知，是直线l：上的点，

是抛物线上的点，

的几何意义是抛物线C上的点到直线l上的点的距离的平方．

设与抛物线相切，切点为

则，即，所以直线与C切于点，

所以的最小值为．

故答案为：

10．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若（O为坐标原点）的面积为，则双曲线的渐近线方程为______．

【答案】

【详解】设双曲线的左，右焦点分别为，,

不妨设曲线的一条渐近线的方程为，

因为过作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，则，

所以直线的方程为 ，

联立，解得，

则,即，即，

化简可得 ，故

所以 曲线的渐近线方程为，

故答案为：．

11．设与是定义在同一区间上的两个函数， 若对任意， 都有成立， 则称和在上是 “亲密函数”， 区间称为 “亲密区间”．若与在上是 “亲密函数”，则的最大值______

【答案】4

【详解】解：因为，

若与在上是“亲密函数”，

则，即，即，

解得或，即，

所以的最大值为.

故答案为：

12．已知数列中，，，设，且数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最小值为______.

【答案】

【详解】由，得，则，

当时，，

又满足上式，故.

另解：由，得，

又，所以，

故数列是首项为，公比为的等比数列，

故，故）

所以，

所以.

因为对任意的恒成立，

所以对任意的恒成立.

令，因为，所以t随着的增大而增大.

当n为奇数时，递减，所以，则；

当n为偶数时，递增，所以，，

所以，，所以，

所以.

故答案为：.

二、选择题：本大题共4小题，满分18分，第13~14每题4分，第15~16每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

13．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【详解】解：集合或，又集合，

所以.

故选：C

14．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为.

设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.

由且可得，

在中，由正弦定理得，解得.

在中，由余弦定理，得，

所以，，

即，可得，当且仅当时等号成立.

在中，，

由余弦定理可得

，

即，即，当且仅当时等号成立，

因此，这块四边形木板周长的最大值为.

故选：D.

15．已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】易知在上单调递增，所以当时，；

在上单调递增，所以当时，.

所以要使函数存在最大值，只需(易错：注意等号能否取到)，解得.

故选：C.

16．如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】过点作，交于点，交于点，

过点作，交于点，连接，

取中点，连接，

根据题意，因为，

所以当三点共线，且时，

，且有最小值，如图所示，

在中，，，

所以，

在中，，

所以，

在中，，

所以，

所以的最小值为，

故选：A.

三、解答题：本大题共有5题，满分78分．

17．（14分）已知函数在时取得极大值3.

(1)求a，b的值；

(2)求曲线在点处的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1），

由题意可得，解得，

检验：，令，解得或，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，满足题意；

（2）由（1）得，所以.

所以，.

所以所求切线方程为，即.

18．（14分）某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：

一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．

方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；

方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”．

当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度．

(1)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；

(2)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．

【答案】(1)4

(2)40%．

【详解】（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，

每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率，

由题意可得：该部门9名员工中按方式Ⅰ回答问卷的人数，

所以X的数学期望．

（2）记事件A为“按方式Ⅰ回答问卷”，事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”，事件C为“在问卷中画○”．

由（1）知，，．

∵，

由全概率公式，则，解得，

故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为40%．

19．（14分）如图所示，过原点O作两条互相垂直的线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，连接AB，交y轴于点P．

(1)求点P的坐标；

(2)证明：存在相异于点P的定点T，使得恒成立，请求出点T的坐标，并求出面积的最小值．

【答案】(1)；

(2)证明见解析，，8.

【详解】（1）设，，，的斜率必存在，设

与抛物线联立可得，

∴，

可知：.

∵，∴

∵，∴，则

∴，即.

（2）由，可知：，

当与x轴平行时，，

∴存在点T在y轴上，设，，

∴TP为的角平分线，有，

∴，

∵，

∴，∴，

∴存在，使得：恒成立，

∴

，

当且仅当轴时，面积的最小值为8.

20．（16分）数学与音乐之间有着密切联系，如在一首乐曲中常常会有一段音符反复出现，这就是它的主旋律，从数学上看，乐曲的主旋律就是通过周期性表达的，可以用三角函数来表示．某乐曲的一个音量y（单位：分贝）关于时间x（单位：秒）的函数模型为，它可以看做是由纯音与合成的．

(1)已知在一个周期内，正的最强音出现一次．若，，则在三分钟内出现了几次正的最强音？

(2)当弹奏两个频率很接近的纯音时，合成出来的音听上去时有时无，好像某人在以一个固定的频率调大和调小音量，这种现象叫做差拍，我们可以利用三角函数中的和差化积公式解释它， ，由此我们可以认为是对声音的周期性放缩，故缩倍数为．若秒时放缩倍数与秒时放缩倍数相同（假设放缩倍数为正数），，，则秒时音量为多少分贝？

【答案】(1)90次

(2)分贝

【详解】（1）因为2为函数的一个周期，1为函数的一个周期，

所以2为函数的一个周期，

令，设T是的一个周期，，

则由，得，

故，解得，

但，故不是的周期，

所以2是的最小正周期，

由于在一个周期内，正的最强音出现一次，，

所以在三分钟内出现了90次正的最强音；

（2）由题意，，故，

所以，

设，，

故，解得，（舍），

所以，因为，，

故，所以，

，

则秒时音量为分贝．

21.（18分）椭圆曲线加密算法运用于区块链．

椭圆曲线．关于x轴的对称点记为．C在点处的切线是指曲线在点P处的切线．定义“”运算满足：①若，且直线PQ与C有第三个交点R，则；②若，且PQ为C的切线，切点为P，则；③若，规定，且．

(1)当时，讨论函数零点的个数；

(2)已知“”运算满足交换律、结合律，若，且PQ为C的切线，切点为P，证明：；

(3)已知，且直线PQ与C有第三个交点，求的坐标．

参考公式：

【答案】(1)见解析

(2)证明见解析

(3)

【详解】（1）由题设可知，有，

若，则，则，此时仅有一个零点；

若，令，解得．

当或时，，当时，，

故在，上为单调递增；

在上单调递减.

因为，

若，则，

此时，而

故此时有2个零点；

若，则，

此时，而

故此时有2个零点；

综上，

当，所以有2个零点．当，所以有2个零点．

当，有，则有1个零点．

（2）因为为C在点P处的切线，且，所以，

故，故，

因为“”运算满足交换律、结合律，

故，

故.

（3）直线的斜率，设与C的第三个交点为，

则，代入得

，

而，

故，

整理得到：，

故即，

同理可得，

两式相减得：，

故，

所以，故，故，

所以，

因此的坐标为：

．