新高考数学考前能力综合测试卷一（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前能力综合测试卷一（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A．－1B．C．D．1
4．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位得到，则下列关于函数的图象说法正确的是（ ）
A．关于y轴对称B．关于原点对称
C．关于直线对称D．关于点对称
6．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，过点的直线与动点的轨迹交于，两点，记点的轨迹的对称中心为，则当面积取最大值时，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ）
A．16B．24C．25D．36
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8
10．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，不可能垂直
B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，]
D．当时，的最小值为
12．当时，不等式成立．若，则（ ）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，四边形是边长为4的正方形，若，且为的中点，则______.
14．若的展开式中常数项为70，则______．
15．双曲线的离心率为，F是C的下焦点，若P为C上支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为______．
16．正实数，满足，，则的值为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求.
(2)若点D在边AC上，且，求.
18．（12分）
2022年，为贯彻落实党的十九届六中全会、中央经济工作会议、中央农村工作会议、中央1号文件精神，围绕巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴、加快农业农村现代化，国家继续加大支农投入，强化项目统筹整合．某企业为合理规划价格，积极响应号召，将某农产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（，2，3，4，5），如下表所示：
(1)若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回归方程；
(2)用表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值，当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“次数据”．现从5个销售数据中任取3个，求“次数捃”个数的分布列和数学期望．
（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为，）
19．（12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形且，M为的中点，，．
(1)证明：平面；
(2)若，与平面所成的角为45°，求二面角的正弦值．
20．（12分）
已知数列对于任意的均有；数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令 ，为数列的前n项和，且恒成立，求λ的最大值.
21．（12分）
已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中为切点.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
22．（12分）
已知函数，．
(1)求证：在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
试销单价（元）
3
4
5
6
7
产品销量（件）
20
16
15
12
6
新高考数学 综合能力测试（一）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】因为，所以，
在复平面内对应的点为，在第三象限.
故选：C
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
故选：B
3．是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A．－1B．C．D．1
【答案】A
【解析】是定义在R上的函数，为奇函数，则
.
∴.
故选：A
4．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，因为，，，所以，，所以，所以，所以．因为，所以．所以椭圆的方程是．
故选：C
5．已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位得到，则下列关于函数的图象说法正确的是（ ）
A．关于y轴对称B．关于原点对称
C．关于直线对称D．关于点对称
【答案】D
【解析】因为，所以，且，所以函数是非奇非偶函数，故A，B项错误；
因为，既不是的最大值也不是最小值，所以不是的对称轴，故C项错误；
因为，所以是的一个对称中心，故D项正确.
故选：D.
6．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，
易得.
取的中点O，连接，易得，
∴.
∴多面体的体积
，
故选：A.
7．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，过点的直线与动点的轨迹交于，两点，记点的轨迹的对称中心为，则当面积取最大值时，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，由得，
化简得的轨迹方程为，所以点，
设点到的距离为，则，
所以的面积，
等号成立时，即面积最大时，点到直线的距离为，
故直线不垂直于轴，设直线方程为，
即，则，
解得，所以直线方程为．
故选：A
8．在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ）
A．16B．24C．25D．36
【答案】A
【解析】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．设内角，，所对的边分别为，，．因为，所以，所以．因为，所以．设内切圆与边切于点，由可求得，则．又因为，所以．所以．又因为，所以，即，整理得．因为，所以，当且仅当时，取得最小值．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8
【答案】AD
【解析】对于A，共有7个数据，而，故第60百分位数为9，A正确；
对于B，易知，而，所以，B错误；
对于C，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是，C错误；
对于D，若样本数据的平均数为2，则的平均数为，D正确.
故选：AD
10．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】在等差数列中，因为，所以，则，故B正确；
因为公差，所以，故A错误；
因为，所以即，
所以，故C正确；
因为，且未知正负，故D错误；
故选：BC．
11．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，不可能垂直
B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，]
D．当时，的最小值为
【答案】BD
【解析】对A，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
则，，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的一个法向量为，若平面，则，即，
由，则，即P为中点时，有平面，且，A错；
对B，因为平面，连接，则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，则，所以，
即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B对；
对C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，
设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错；
对D，如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，
利用余弦定理可知，
所以，D对.
故选：BD
12．当时，不等式成立．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】当时，不等式，令，则在上单调递增，
因，则，A正确；
因，则，B不正确；
由知，，有，则，
由选项A知，，即，C不正确；
由得，，则，D正确.
故选：AD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，四边形是边长为4的正方形，若，且为的中点，则______.
【答案】5
【解析】以A为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
则，，
所以.
故答案为：5.
14．若的展开式中常数项为70，则______．
【答案】
【解析】展开式的通项公式为，
当时，，；
当时，，，
所以常数项为，解得．
故答案为：
15．双曲线的离心率为，F是C的下焦点，若P为C上支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为______．
【答案】7
【解析】由已知可得，，解得，
则双曲线方程为，，双曲线的渐近线方程为，
如图，由双曲线的定义得：，则，
到直线的距离为，
∴，即的最小值为7．
故答案为：7．
16．正实数，满足，，则的值为____________．
【答案】1
【解析】解法一：由，得，又因为，
所以，是方程的两个解，
设函数，，
所以函数在上单调递减，
又，，
则函数在上只有一个零点，即方程只有一个解，
所以，∴．
解法二：因为，所以，，即，
设函数，当时，，所以函数在上单调递增，
∵，，∴，
∴，，∴．
故答案为：1．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求.
(2)若点D在边AC上，且，求.
【解析】（1）据已知条件及正弦定理得
整理得，
又据余弦定理，则有，因为
则；
（2）因为，
所以，
故,
即
所以,
整理得
故,
化解得，因为，
故，
则.
18．（12分）
2022年，为贯彻落实党的十九届六中全会、中央经济工作会议、中央农村工作会议、中央1号文件精神，围绕巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴、加快农业农村现代化，国家继续加大支农投入，强化项目统筹整合．某企业为合理规划价格，积极响应号召，将某农产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（，2，3，4，5），如下表所示：
(1)若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回归方程；
(2)用表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值，当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“次数据”．现从5个销售数据中任取3个，求“次数捃”个数的分布列和数学期望．
（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为，）
【解析】（1）由已知得，，，
，，
所以，，
所以产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程．
（2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；易知“次数据”有3个，则的可能取值为1，2，3，
，，，
所以的分布列为：
所以．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形且，M为的中点，，．
(1)证明：平面；
(2)若，与平面所成的角为45°，求二面角的正弦值．
【解析】（1）因为在和Rt中，
，，
所以，
因为，，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面．
（2）因为，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
所以为与平面所成的角，
则，
所以，
由勾股定理知：，
可如图建立空间直角坐标系，
所以，，，，
所以，，
由（1）知，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则有，
即，
取，得，
所以，
设二面角的大小为，
则．
20．（12分）
已知数列对于任意的均有；数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令 ，为数列的前n项和，且恒成立，求λ的最大值.
【解析】（1）因为①,
当时，；
当时，②.,
①-②可得,
所以时.
经检验，符合上式，所以.
对于{}，由题意可得，，当，所以，
时，，则，
即，，因为，所以，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以.
（2）由（1）可得，
所以
，
则，
恒成立，等价于，
化简得，即即可.
令，
若，则，
即时，数列单调递增；又因为，所以，
即，可得的最大值为10.
21．（12分）
已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中为切点.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）设椭圆和抛物线的方程分别为，，，
椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，
，解得，，
椭圆的方程为，抛物线的方程为．
（2）由题意知过点与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，设，则切线方程为，
联立，消去，得，
由，得，
直线，的斜率分别为，，，
为定值．
22．（12分）
已知函数，．
(1)求证：在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【解析】（1），，
当时，，，，（等号不能同时成立），所以；
当时，，，，所以，
所以当时，，综上，在上单调递增．
（2），化简得，
①当时，，显然恒成立；
②当时，，显然恒成立；
③当时，，∴．
设，，
设，．
∵，∴，，∴，在上单调递增，
又由，所以
当时，∴，，∴在上单调递减，
当时，，，∴在上单调递增，
所以，故．
试销单价（元）
3
4
5
6
7
产品销量（件）
20
16
15
12
6
1
2
3