新高考数学一轮复习精品教案第25讲 空间向量与立体几何（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精品教案第25讲 空间向量与立体几何（含解析），共69页。教案主要包含了知识点总结，典型例题，技能提升训练等内容，欢迎下载使用。

第25讲 空间向量与立体几何
【知识点总结】
一、空间向量的数量积运算
1.两向量夹角
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作.
2.数量积定义
已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，.
3.空间向量的数量积满足的运算律：
，（交换律）；
（分配律）.
二、空间向量的坐标运算及应用
（1）设，，则；
；
；
；
；
.
（2）设，，则.
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.
①已知，，则；
；
；
；
②已知，，则,
或者.其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.
（4）向量在向量上的射影为.
（5）设是平面的一个法向量，，是内的两条相交直线，则，由此可求出一个法向量（向量及已知）.
（6）利用空间向量证明线面平行：设是平面的一个法向量，为直线的方向向量，证明，（如图8-155所示）.已知直线（），平面的法向量，若，则.
（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量，，只要证明，即.
（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.




（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.
（10）空间角公式.
①异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则.
②线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为
与所成角的大小，则.
③二面角公式：
设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中.
（11）点到平面的距离为，，为平面的法向量，则.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥中，侧棱平面BCD，F为线段BD中点，，，.

（1）证明：平面ABD；
（2）设Q是线段AD上一点，二面角的正弦值为，求的值.
【详解】
解：（1）因为，F为线段BD中点，所以.
因为平面BCD，平面BCD，
所以.
又因为平面ABD，平面ABD，，
所以平面ABD.
（2）在三棱锥中，在平面BCD内作于E.
以B为原点建立如图空间直角坐标系.

由题得，，，，
，，.
设，
所以.
设，分别为平面ABQ，平面CBQ的一个法向量.
则，.
即，.
不妨取，.
因为二面角的正弦值为，则余弦值为，
所以，
解得（舍）或.
因此，的值为.
例2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，，，，分别是，上的点，且，，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结.

（1）证明：平面；
（2）在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】
（1）

在四棱锥中，取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，，
则，，
因为平面，平面，
则平面，
同理可得，平面，
又，，平面，
故平面平面，
因为平面，
故平面；
（2）因为在等腰直角三角形中，，，
所以，则在四棱锥中，，，
因为，则，，
又，，平面，
故平面，又平面，故，
因为，，，则，
所以，故，
所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，0，，，0，，，8，，，5，，
故，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故；
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
故，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
例3．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.

（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到平面的距离.
【详解】
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，，， .
（1）取，，则.
所以，点到直线的距离为.
（2）因为，所以，所以平面.
所以点到平面的距离为直线到平面的距离.
设平面的法向量为，则
所以
所以
取，则.所以，是平面的一个法向量.
又因为，所以点到平面的距离为.
即直线到平面的距离为.
例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，
，，且．

（Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得?若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
【详解】
（Ⅰ）过点作，交于，连接，

因为，，所以．
又，，所以．
所以为平行四边形, 所以．
又平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）因为梯形中，，，所以．
因为平面，所以,
如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系,

所以．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,
因为
所以，即，取得到，
因为，所以，即，令得，
所以,
因为二面角为锐角，所以二面角为；
（Ⅲ）假设存在点，设，其中，
所以，
所以，解得，
所以存在点，且．
例5.（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点.

（1）证明：平面；
（2）求直线到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2

则，，，， ，
（1）设平面的法向量为，，
令，则，，
，，
面平面.
（2）平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离，
，，==，
直线到平面的距离为.
（3）平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，
，==，
所以平面与平面夹角的余弦值.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
以为轴建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角．
【详解】
由题意以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，．，，，
，，
，
所以，即异面直线与所成角是．
故选：B．

2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如图建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用空间向量夹角公式计算夹角的余弦值，再由同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】
因为底面，面，可得，，
因为四边形为正方形，可得，
所以两两垂直，如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，
可得，，，，，
所以，，
所以，
设异面直线与所成的角为，
则，所以，
故选：A.


3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值．
【详解】
由题意以为轴建立空间直角坐标系，如图，
，，，，
又，
．
，
则，
设异面直线与所成角为，则，为锐角，
，所以．
故选：D．

4．（2022·全国·高三专题练习（理））在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
以为坐标原点, 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量法可求，从而求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
解：以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则，，，
，，
设平面的法向量为，
，，
，令，则，
，
设直线与平面所成角为，则，
故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，中点为，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
建立空间直角坐标系，设出正方体的棱长，然后利用向量法求二面角的余弦值.
【详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体的棱长为2，
则，0，，，2，，，0，，，2，，
，2，，，2，，，2，，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，0，，
设平面的法向量为，
则，取，得，，，
设二面角的平面角为，由图知为钝角，
二面角的余弦值.

故选：.
6．（2022·全国·高三专题练习）若正四棱柱的底边长为2，，E是的中点，则到平面EAC的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用线面平行的判定定理证明∥平面EAC，则点到平面EAC的距离即为直线到平面EAC的距离，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面AEC的法向量，由点到直线的距离公式求解即可．
【详解】
解：由棱柱的几何性质可知，∥AC，
又⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，
则∥平面EAC，
所以点到平面EAC的距离即为直线到平面EAC的距离，
因为正四棱柱的底边长为2，，
则，
以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则A（0，0，0），，，，
所以，，，
设平面AEC的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
所以点到平面EAC的距离，
故到平面EAC的距离为．
故选：C．

7．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量，
利用向量的距离公式，即可求解．
【详解】
建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，
即，解得，故，
显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离．

【点睛】
本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
建立空间直角坐标系，先求夹角的余弦，再求点A到直线BE的距离.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．

∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.
故点A到直线BE的距离d＝||sinθ＝2×.
故答案为B
【点睛】
本题主要考查点到线距离的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
9．（2021·浙江·杭州市余杭高级中学高二阶段练习）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积求得结论．
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
，，
设与的公垂线的一个方向向量为，
则，取，得，，即，
又，
所以异面直线与之间的距离为．
故选：D．



二、填空题
10．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在长方体中，，，若为中点，则点到平面的距离为________.

【答案】
【分析】
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求平面的法向角，再求向量在法向量上的投影的绝对值，由此可得点到平面的距离
【详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接，
由题意得，，
∴ ，，，
设平面的法向角为，则，
即，
令，得，
∴ 点到平面的距离，
故答案为：.


三、解答题
11．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，．

（1）求异面直线和所成角的大小；
（2）求直线和平面所成角的大小．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）、根据题意可证得两两垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系，然后根据即可求出异面直线和所成角的大小；
（2）、先求出平面的一个法向量，然后根据即可求出直线和平面所成角的正弦值，进而求出直线和平面所成角的大小.
（1）
为直三棱柱，⊥平面，,
又，两两垂直，
以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则
设直线和所成角的大小为，则，
又，，直线和所成角的大小为．
（2）
由（1）可知：
设平面的一个法向量，
则，取，得，
设直线和平面所成角的大小为，则，．
直线和平面所成角的大小为．
12．（2022·天津南开·高三期末）如图，四棱锥中，底面，，，，，E为上一点，且.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小.
【答案】
（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
【分析】
（1）如图，以A为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，即可得证；
（2）利用向量法证明垂直平面的法向量即可；
（3）利用向量法即可得出答案.
（1）
证明：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，，
所以，
因为，
所以，
因为，，
所以，，
所以，，
因为，
所以平面；
（2）
证明：设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得是平面的一个法向量，
所以，
所以，
因为平面，
所以平面；
（3）
解：设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得是平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角为.

13．（2022·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.且Q为线段的中点

（1）求直线与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的大小
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）以为x轴，为y轴，为z轴，建立坐标系.，用向量法求异面直线所成的角；
（2）用直线方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值求线面角的正弦值．
【详解】
以为x轴，为y轴，为z轴，建立坐标系.

，，，，
则，，，
设异面直线与所成的角为，则，
即异面直线与所成角的大小为.
（2）设平面的法向量为，

设直线与平面所成的角为，则
即直线与平面所成角的大小为．
【点睛】
方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求二面角．求空间角的方法：
（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；
（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．
14．（2022·上海·高三专题练习）如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧AB的中点.

（1）求异面直线PA1与BC所成的角的大小；
（2）求点B1到平面PAC的距离.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成的角的大小即可
（2）求出平面的法向量，利用向量法求出点到平面的距离
【详解】
（1）根据题意可得平面, C是弧AB的中点,则
则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图

则，， ，，
， ，
，
异面直线与所成的角的大小为．
（2）， ， ， ， ，
设平面的法向量，则，取，得，
点到平面的距离为：．
【点睛】
方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取
1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.
2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.
3、求：求出所需平面的法向量
4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值
5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.
15．（2022·上海·高三专题练习）如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,,分别为棱的中点.

（1）求证:、、、四点共面；
（2）求异面直线与所成的角.
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】
（1）因为在中,由、为、中点得:为中位线,可得∥,结合底面为矩形,即可求得答案;
（2）以为原点建立坐标系,其中、、分别为、、轴,求得和,,即可求得答案.
【详解】
（1）在中,由、为、中点得:为中位线,
∥
又底面为矩形, ∥,
∥
由平行线确定唯一平面得、、、在同一平面上.
（2）以为原点建立坐标系,其中、、分别为、、轴,
如图:

可得,,,
,,
故:
异面直线与夹角:.
【点睛】
本题主要考查了求证四点共面和向量法求异面直线夹角,解题关键是掌握向量法求线线角的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
16．（2022·天津和平·高三期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】
（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】
（1）连接交于，进而证明，然后根据线面平行的判定定理证明问题；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而通过空间向量的夹角公式求得答案；
（3）求出平面的法向量，结合（2），进而通过空间向量的夹角公式求得答案.
（1）
证明：连接，与交于，则为的中点，又分别为的中点，∴，∵平面，平面，∴平面．
（2）
设是的中点，连接，∵是正方形，为正三角形，∴．又∵面面，交线为，∴平面．
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，,∴，，
设平面的法向量为，则，令．则，得．设直线与平面所成角为，
∴，即直线与平面所成角的正弦值．
（3）
由（2）可知，设平面的法向量为，则
，令．则，，．
设面与面夹角为，∴，∴面与面夹角的余弦值为．
17．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，在底面ABC上的射影是BC的中点．

（1）证明：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值．
【答案】
（1）证明见解析；
（2）
【分析】
（1）设中点为，连接，推出平面，得到平面平面，然后证明平面，推出，结合，证明平面．
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面法向量，利用空间向量的数量积求解与平面所成角的正弦值．
（1）
（1）证明：设中点为，连接，
因为在底面上的射影为中点，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
又因为平面平面，，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为四边形为菱形，
所以，
而，所以平面．
（2）
解：不妨设，则，
因为，，所以，
又因为四边形为菱形，所以，故为等边三角形，
所以，故，由（1）知平面，平面，所以，
以为原点，建立空间直角坐标系如图，，，，，，
所以，
设平面法向量为，，
由，即，令，则，，所以，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为．

18．（2022·全国·模拟预测）如图所示，直三棱柱的上、下底面的顶点分别在圆柱的上、下底面的圆周上，且AB过圆柱下底面的圆心为与的交点.

（1）求证:平面；
（2）若圆柱底面半径为，母线长为，求直线与平面所成角的正切值.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）法一：连接可证得，由线面平行的判定定理即可证得结论；
法二：取中点中点，连接可证得四边形为平行四边形，则，由线面平行的判定定理即可证得结论.
（2）法一：取中点中点，连接可知,易证得平面，从而平面，则连接为直线与平面所成的角，计算即可求得结果;
法二:分别以向量，的方向为的正方向建立空间直角坐标系,求得
，求出平面的一个法向量可以记为，利用数量积公式计算即可得出结果.
（1）
法一:连接由题易知为矩形，所以为的中点，
又为中点，所以，
又平面平面，所以平面.

法二:取中点中点，连接由题易知为矩形，
所以为的中点，又为中点，
所以，所以，
又易知，
所以，
从而四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面；
（2）
法一:取中点中点，连接可知

又因为点在圆周上，为圆的直径，所以
又因为直三棱柱中底面，所以，
从而平面，从而平面，所以连接为直线与平面所成的角，圆柱底面半径为，
所以，
又依题可知，所以，从而，
所以在中，
法二:因为点在圆周上，为圆的直径，所以，
又因为直三棱柱中底面，所以两两垂直，分别以向量，
的方向为的正方向建立如图所示的空间直角坐标系

圆柱底面半径为，母线长为，
所以，所以，
所以，从而，
又由平面，且为底面圆的直径，所以，
又，可知平面，
所以平面的一个法向量可以记为，
设直线与平面所成角为，
则
所以.
19．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥中，，，，，.

（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）.
【分析】
(1)由勾股定理证明，再结合已知条件即可证明；
(2)作交于，又平面，∴以，，所在直线为轴，轴，
轴建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.
（1）
∵，，，
∴在中，由余弦定理得，
∴，
又，，
∴，
即，
又，
，
∴平面；
（2）
作交于，
又平面，
∴以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

在△中，由正弦定理得，
故，
∴，即，
∴，
∴，，，
又，0，，，，，，，，
∴，，，，，，，，，
设平面的法向量为，，，
∴，
令，∴，，
∴，，，
设直线与平面所成角为，
∴，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20．（2022·全国·高三专题练习（理））如图1，直角梯形ABCD中，，，．如图2，将图1中沿AC折起，使得点D在平面ABC上的正投影G在内部．点E为AB的中点．连接DB，DE，三棱锥D－ABC的体积为．对于图2的几何体．

（1）求证：；
（2）求DE与平面DAC所成角的正弦值．
【答案】
（1）证明见解析；
（2）.
【分析】
(1)取AC的中点F，连接DF，CE，EF，证明AC⊥平面DEF即可.
(2)以G为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解线面角.
（1）
取AC的中点F，连接DF，CE，EF，则△DAC，△EAC均为等腰直角三角形．
∴AC⊥DF，AC⊥EF，∵DF∩EF＝F，∴AC⊥平面DEF，又DE⊂平面DEF，∴DE⊥AC．
（2）
连接GA，GC，
∵DG⊥平面ABC，而GA⊂平面ABC，GC⊂平面ABC，∴DG⊥GA，DG⊥GC，
又DA＝DC，∴GA＝GC，∴G在AC的垂直平分线上，又EA＝EC，∴E在AC的垂直平分线上，∴EG垂直平分AC，又F为AC的中点，∴E，F，G共线．
∴S△ABC＝×|AC|×|BC|＝×6×6＝18，
∴VDABC＝×S△ABC×|DG|＝×18×|DG|＝12，∴DG＝2．
在Rt△DGF中，|GF|＝．
以G为坐标原点，GM为x轴，GE为y轴，GD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，－1，0)，E(0，2，0)，C(－3，－1，0)，D(0，0，2)，
∴＝(0，2，－2)，＝(3，－1，－2)，＝(－3，－1，－2)，
设平面DAC的法向量为＝(x，y，z)，
则，得，令z＝1，得：，
于是，.
21．（2022·河北张家口·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，、、、分别为、、、的中点.

（1）证明：平面；
（2）若平面平面，为等边三角形，求二面角的正弦值.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）.
【分析】
（1）连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；
（2）取的中点，连接、，证明平面，，设，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值.
（1）
证明：连接、、.
因为、分别为、的中点，且，
因为四边形为正方形，则且，
为的中点，则且，所以，且，
故四边形为平行四边形，故，
平面，平面，故平面，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，所以，平面，
，所以，平面平面.
又平面，所以平面.
（2）
解：取的中点，连接、.
因为为等边三角形，为的中点，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为四边形为正方形，则，且，
、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，故，则，
如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

设，则、、、，
，，，
设为平面的法向量，
则，即，取，则，
设为平面的法向量，
则，即，取，则，
所以，故.
所以二面角的正弦值为.
22．（2022·全国·模拟预测）如图①，直角梯形中，，，点，分别在，上，，，将四边形沿折起，使得点，分别到达点，的位置，如图②，平面平面，.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）根据，，，，易证，再根据平面平面，，得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定定理证明平面即可；
（2）根据（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，设二面角的大小为，由求解.
（1）
解：因为，，，
所以，，
又，所以是等腰直角三角形，即，
所以.
由平面几何知识易知，
所以，即.
又平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，
所以.
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）
由（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，F（1，0，0），
则，，
设平面的一个法向量为，
由，得，
取，则.
由，，，
得平面，
所以平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
则，
由图可知二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为.
23．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，为的中点.

（1）求证：∥平面；
（2）求平面与平面所成二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，.
【分析】
(1)只要证明所在平面与平面平行即可；
(2)用向量数量积计算二面角的余弦值；
(3)用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值，列方程求解．
（1）
取中点，连接、，

∵∥，，，，，，为的中点，
∴四边形是矩形，，，
由平面ANE，平面PBC，PC平面PBC知NE∥平面PBC，
由平面ANE，平面PBC，BC平面PBC知AE∥平面PBC，
又∵NEAE＝E，∴平面∥平面，
∵平面，∴∥平面．
（2）
因为面，∴，，
由(1)知、、两两垂直，建系如图，
，0，，，，，，1，，，1，，，0，，
，0，，，，，，0，，，，，
设平面的法向量为，
则，取，，，
设平面的法向量，
则，取，1，，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
（3）
假设在线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，
设，，，，，，，，，，1，，
∴，，，，，，
由(2)知，1，是平面的法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值是，
解得．
24．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，且是的中点.

（1）求点到平面的距离；
（2）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.
【答案】
（1）;
（2）.
【解析】
（1）
解：以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，
，
因为为的中点，则
因为
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故，
所以，
设点到平面的距离为，
则，
所以点到平面的距离为；
（2）
解：由题意，设，其中，
则，
所以，
又是平面的一个法向量，
因为直线和平面所成角的正弦值为，
则，
整理可得，
又，解得
故线段的长为.

25．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥底面是矩形，面，，、是棱、上的点，，．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）棱上是否存在点，使面？若存在，求出的值；不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）不存在满足条件的点，理由见解析.
【分析】
（Ⅰ）、、三条线两两垂直建立空间直角坐标系，表示出所需点的坐标，然后求出平面平面的法向量，验证，即可得出结论；
（Ⅱ）假设存在，设出点的坐标，然后通过列方程，通过方程是否有解，可确认点是否存在.
【详解】
（Ⅰ）∵平面，、平面．
∴，
在矩形中，
∴、、三条线两两垂直
如图，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系

则，，，
∵ ∴；∵ ∴
∴
设为平面的一个法向量
由 得： 取
∵
∴
又∵平面
∴平面
（Ⅱ）假设存在满足，使平面

若平面，则
∴
即： ∴
故不存在满足条件的点
【点睛】
向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取
1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需要做辅助线；建立右手直角坐标系（尽可能使得较多的关键点落在坐标轴或者坐标平面内）
2、设：设出所需的点的坐标，得出所需要的向量坐标
3、求：求出所需平面的法向量
4、算：运用向量的数量积，验证平行垂直，利用线面角公式求线面角、或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值
5、取：根据题意或者二面角线面角的范围，得出答案.
26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且.

（1）证明：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点为靠近点的三等分点.
【分析】
（1）连接，与的交点记为点，证明出平面，可得出，利用勾股定理证明出，利用线面垂直的判定定理可证得平面；
（2）以为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出关于实数的方程，结合可求得实数的值，即可得出结论.
【详解】
（1）证明：如图，连接，与的交点记为点，
，，，
所以，，所以，
因为，所以，所以，即，
又因为，且，所以平面，
因为平面，所以，
因为在中，，所以，
又因为，所以平面；
（2）存在，点为靠近点的三等分点，理由如下：
如图，以为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、，

，设，即点，
则，，
设平面的法向量，由，
取，则，
易知，平面的一个法向量为，
因为二面角的余弦值为，
即，
整理可得，解得（舍）或.
故线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时点为靠近点的三等分点.
【点睛】
方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：
（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；
（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在.
27．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，，.

（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，.
【分析】
(1)线线垂直需要借助于线面垂直，结合图形分析出需要先证明平面；而证明线面垂直需要证明与面里面的两条相交线垂直即和；
(2)由两两垂直可建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量之后，直接利用空间向量的夹角公式即可求得；
(3)通过向量表示出所求线段的比例关系，然后依次表示出所需向量的坐标，利用线面垂直时线与面的法向量平行即可得出等量关系，解方程即可求得结果.
【详解】
解：(1)证明：在直四棱柱中，
底面，
因为底面，
所以.
因为，，
所以平面.
因为平面，
所以.

(2)因为平面，且，所以两两垂直.
如图建立空间直角坐标系，则，，

，，，
设平面的法向量为
，，
由 可得
令，解得，
所以
因为平面，
所以平面的一个法向量为
所以
由题可知二面角为锐角，
所以二面角的大小为.
(3)设.
因为，
由(2)知平面的一个法向量为，
因为平面，可得.
所以，解得.
所以，在线段上存在点使得平面，的值是.
【点睛】
向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取
1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需要做辅助线；建立右手直角坐标系（尽可能使得较多的关键点落在坐标轴或者坐标平面内）；
2、设：设出所需的点的坐标，得出所需要的向量坐标；
3、求：求出所需平面的法向量；
4、算：运用向量的数量积，验证平行垂直，求出两个平面的法向量的夹角的余弦值；
5、取：根据题意或者二面角线面角的范围，得出答案.
28．（2022·河北·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且.

（1）若F为棱的中点，求证：平面；
（2）（i）求证平面；
（ii）设Q为棱上的点(不与C，P重合)，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【答案】（1）见解析；（2）（i）建立空间直角坐标系，利用空间向量方法证明；（ii）.
【分析】
（1）取PA中点G,连接GF,由中位线定理，结合平行四边形判定与性质，利用线面平行的判定定理证明；
（2）（i）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证；
（ii）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案.
【详解】
（1）取PA中点G,连接GF,BG,FG=1，BG=1,FG∥AD,AD∥BC,∴FG∥BE,∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG,又∵EF⊄平面PAB,BG⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB；

（2）（i）因为平面，平面，平面，
所以，，又因为，
则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得，，，，，，
所以，，，
因为，，所以，，
又，平面，平面，
所以平面.
（ii）由（i）可知平面，
可作为平面的法向量，设，即，，
所以，即，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
即，解得，即.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，线面垂直的证明，线面角问题，利用空间坐标系中的向量运算证明或求解问题中，关键要注意认真仔细准确计算.
29．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，侧面底面，是边长为2的正三角形，已知点满足.

（1）求二面角的大小；
（2）求异面直线与的距离；
（3）直线上是否存在点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）（3）存在点，其坐标为，即恰好为点
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，由此求得其大小.
（2）求得异面直线与的公垂线的方向向量，并由此计算出异面直线与的距离.
（3）根据求得点的坐标，设出点的坐标，根据、与平面的法向量垂直列方程组，解方程组求得点的坐标，由此判断出存在点符合题意.
【详解】
（1）侧面底面，又均为正三角形，取得中点，连接，，
则底面，
故以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
则


设平面的法向量为

取，可得
又平面的一个法向量为

由图知二面角为锐角，故二面角的大小为.
（2）异面直线与的公垂线的方向向量，则
易得，异面直线与的距离
（3），而

又，点的坐标为
假设存在点符合题意，则点的坐标可设为

平面为平面的一个法向量，
由，得.
又平面，
故存在点，使平面，其坐标为，即恰好为点.

【点睛】
本小题主要考查利用空间向量法计算二面角、异面直线公垂线段的长，考查利用空间向量法研究线面平行的条件，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.
30．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，与底面所成角的正切值为，是的中点，线段上的动点.

（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先通过题目条件证明平面，得到，由，是的中点，得到,再根据线面垂直的判定定理证明出平面；
（2）以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，计算平面的法向量及平面的法向量，
使平面和平面的法向量夹角余弦值的绝对值为，求解出的值.
【详解】
（1）证明：平面平面，
.
又，，，平面，
平面，
又平面，∴.
又，是的中点，
，
又，，平面，
平面.
（2）以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
∵与底面所成角的正切值为，，∴，
则，，.
设，则，
设平面的法向量为，由，得：，
而平面的一个法向量为，依题意得：，
即，得或(舍).
故.

【点睛】
本题的难点在于（2）中已知二面角大小求解设的长，解答时设，可采用空间向量的方法求解，先利用空间向量求解已知面的法向量，使法向量满足条件，然后求解出的值.
31．（2022·全国·高三专题练习）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，点M在线段A1B1上．

（1）若A1M＝3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值；
（2）若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．
【答案】（1）；（2）M为A1B1的中点．
【分析】
先证明CC1⊥CA，CC1⊥CB，CA⊥CB，以{、、}这组正交基底建立空间直角坐标系.
（1）用向量法求异面直线AM和A1C所成角的余弦值；
（2）设＝λ，λ∈[0，1]，用向量法表示出直线AM与平面ABC1所成角，解出λ，即可确定M的位置.
【详解】
解：（1）因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又CA、CBÜ平面ABC，所以CC1⊥CA，CC1⊥CB；因为∠ACB＝90°，所以CA⊥CB；

以{、、}这组正交基底建立空间直角坐标系，所以A(4，0，0)，B(0，4，0)，A1(4，0，2)，B1(0，4，2)，C1(0，0，2)；因为A1M＝3MB1，所以M(1，3，2)；因为＝(－3，3，2)，
＝(－4，0，－2)，所以cos<，>＝＝＝，所以异面直线AM和A1C所成角的余弦值为；
（2）设＝λ，λ∈[0，1]，所以M(4－4λ，4λ，2)，＝(－4λ，4λ，2)；设平面ABC1的一个法向量＝(x，y，z)，由·＝0，·＝0得，，其一组解为，所以＝(1，1，)；因为直线AM与平面ABC1所成角为30°，所以│cos<，>│＝││＝＝sin30°，得λ＝(负舍)，即M为A1B1的中点．
32．（2022·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，．

（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量，由点面距离的向量公式即得解；
（2）计算平面PCD的法向量，结合（1）中平面PBC的法向量，利用二面角的向量公式即得解
【详解】

（1）由题意，平面，，，

以A为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系
则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0），
设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），
=(1，0，﹣1)， =(0，2，0)， =(﹣1，1，0)，
则，取x=1，得=(1，0，1)，
∴点D到平面PBC的距离．
（2）由（1）可得平面PBC的一个法向量为=(1，0，1)，
设平面PCD的一个法向量为，
， =(﹣1，1，0)，
则，取，得，
设二面角的平面角为，由图得二面角为钝角
故