新高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十四）椭圆（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十四）椭圆（含解析），共10页。试卷主要包含了基础练——练手感熟练度，综合练——练思维敏锐度，自选练——练高考区分度等内容，欢迎下载使用。

课时跟踪检测（四十四） 椭圆
一、基础练——练手感熟练度
1．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　)
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
解析：选AD　∵mx2＋ny2＝1，∴＋＝1，若m＞n＞0，∴0＜＜，∴C是椭圆，且焦点在y轴上，故A正确，B错误．若m＝n＞0，则x2＋y2＝，C是圆，半径为，C错误．若m＝0，n＞0，∴y2＝，∴y＝±，则C是两条直线，D正确．故选A、D.
2．(2019·北京高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)
A．a2＝2b2　　　　　　　 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
解析：选B　因为椭圆的离心率e＝＝，
所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.
3．已知焦点在y轴上的椭圆 ＋＝1的长轴长为8，则m＝(　　)
A．4 B．8
C．16 D．18
解析：选C　椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.故选C.
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A　∵△AF1B的周长为4，
∴由椭圆的定义可知4a＝4，
∴a＝，∵e＝＝，∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝2，∴C的方程为＋＝1，故选A.
5．(2021年1月新高考八省联考卷)椭圆＋＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m＝(　　)
A．1 B．
C. D．2
解析：选C　∵c＝＝1，b＝m，由∠F1AF2＝，得∠F1AO＝，
∴tan∠F1AO＝＝，解得m＝，故选C.
6．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－ B．2－
C. D．－1
解析：选D　由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.故选D.

二、综合练——练思维敏锐度
1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．＋y2＝1或＋x2＝1
解析：选C　由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
2．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．5
解析：选A　连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故选A.
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．＋＝1
解析：选B　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，
故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝.
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.故选B.
5．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0 A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
解析：选AD　设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0,6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；
将y＝与椭圆方程联立，可解得A(－，)，B(，)，
又∵F(，0)，∴BA―→·＝(－2，0)·(－，－)＝6－6<0，∴△ABF不是直角三角形，C错误；
将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，
∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．
6．已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且AF2⊥F1F2，AF1与y轴交于点B，则的值为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A　由AF2⊥F1F2，可知＝＝，
∵OB∥AF2且O为F1F2中点，∴＝＝.
7．已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆x2＋＝1上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选B　由椭圆的方程可得焦点在y轴上，a2＝4，∴a＝2，由题意可得|NF2|≤|F2M|＋|MN|＝|F2M|＋|MF1|，
当N，M，F2三点共线时取得最大值(如图)，而|F2M|＋|MF1|＝2a＝4，
∴|NF2|的最大值为4.故选B.
8．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(　　)
A．|QF1|＋|QP|的最小值为2－1
B．椭圆C的短轴长可能为2
C．椭圆C的离心率的取值范围为
D．若＝，则椭圆C的长轴长为＋
解析：选ACD　因为|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A正确；若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋＝1，＋＞1，则点P在椭圆外，故B错误；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以＋＜1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋＜1，即a2－3a＋1＞0，解得a＞＝＝，所以＞，所以e＝＜，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故C正确；若＝，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，即a2－11a＋9＝0，解得a＝＝＝，所以＝，所以椭圆C的长轴长为＋，故D正确．故选A、C、D.
9．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．
解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.
答案：＋＝1
10．设F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________．
解析：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形，
又知△PF1F2的面积为9，∴|PF1|·|PF2|＝9，
得|PF1|·|PF2|＝18.
在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∴b＝3，
∵△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，∴a－c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P是椭圆在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆的离心率为________．
解析：如图，延长F2A交F1P于点M，由题意可知|PM|＝|PF2|，
由椭圆定义可知
|PF1|＋|PF2|＝2a，
故有|PF1|＋|PM|＝|MF1|＝2a.连接OA，知OA是△F1F2M的中位线，∴|OA|＝|MF1|＝a，
由|OA|＝2b，得2b＝a，则a2＝4b2＝4(a2－c2)，
即c2＝a2，∴e＝＝.
答案：
12．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点．若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为________．
解析：∵∠F1AF2＝90°，
∴a＝b，即椭圆方程为＋＝1.
设M，A，B，且＋＝1，
即n2－b2＝－，
kAMkBM＝·＝＝＝－，
又kAM＝－1，∴kBM＝.
答案：
13．(2020·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(0 (1)求C的方程；
(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
解：(1)由题设可得＝，解得m2＝，
所以C的方程为＋＝1.
(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，
根据对称性可设yQ>0，由题意知yP>0.
由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，
所以|BP|＝yP，|BQ|＝.
因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1，
将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8.
所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6，8)．
|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，点A(－5,0)到直线P1Q1的距离为，
故△AP1Q1的面积为××＝；
|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，点A到直线P2Q2的距离为，
故△AP2Q2的面积为××＝.
综上，△APQ的面积为.
14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
其中c＝，设B(x，y)．
由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
三、自选练——练高考区分度

1．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A　设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b.
∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AB|＝4|BF2|.
又|BF1|＝5|BF2|，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a.
∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，
∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．
如图所示，在Rt△AF2O中，
cos∠AF2O＝.
在△BF1F2中，由余弦定理可得
cos∠BF2F1＝＝，
根据cos∠AF2O＋cos∠BF2F1＝0，可得＋＝0，解得a2＝2，∴b2＝a2－c2＝2－1＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.故选A.
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆的离心率e的取值范围为(　　)
A. B．(－1,1)
C. D．
解析：选A　如图所示，设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′为矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccos α，
∴2csin α＋2ccos α＝2a，
∴e＝＝.
∵α∈，∴α＋∈，
∴sin∈，
∴sin∈，
∴e∈.故选A.
3.如图所示，A1，A2是椭圆C：＋＝1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．
解析：选A　由题意知A1(0,3)，A2(0，－3)．
设M(x0，y0)，N(x1，y1)，则直线MA1的斜率为kMA1＝.
由NA1⊥MA1，可得NA1的斜率为k NA1＝－.
于是直线NA1的方程为y＝－x＋3.　　①
同理，NA2的方程为y＝－x－3. ②
联立①②消去y，得x＝x1＝.
因为M(x0，y0)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，从而y－9＝－，所以x1＝－，所以＝＝2.故选A.