南京市科利华2022-2023八年级上学期10月数学月考试卷及答案

南京科利华中学2022-2023八年级上学期10月数学月考试卷

考试时间：100分钟

一、选择题（每题3分，共18分）

1. 以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（　　）

A.  B.  C.  D.

2. 等腰三角形有两边长是3和6，则其周长是(   )

A. 12或15 B. 15 C. 12 D. 14或15

3. 根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC 的是（    ）

A. AB=6，BC=5，∠A=50° B. AB=5，BC=6，AC=13

C. ∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D. ∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°

4. 三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是的（    ）

A. 三条高线的交点 B. 三边垂直平分线的交点

C. 三条角平分线的交点 D. 三条中线的交点

5. 如图，在，，，是的平分线，过点作，交的延长线于点．若，则的长为(   )

A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5

6. 如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为(   )

A 2 B. 3 C. 3.5 D. 4

二、填空题（每题2分，共20分）

7. 如图，，，，则的度数为______．

8. 已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠ABC=∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为______°．

9. 如图，在中，，是的角平分线，，，则点到边的距离为______．

10. 如图，在中，，的周长为10，和的平分线交于点，过点作分别交、于、，则的长为______．

11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，DE垂直平分AB，求∠DBC的度数．

12. 如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为_____________．  

13. 如图，线段、的垂直平行线、相交于点，则，则的度数______．

14. 如图，已知等边△ABC 和等边△BPE，点 P 在 BC 的延长线上，EC 的延长线交 AP 于点 M，连接 BM；下列结论：①AP＝CE；②∠PME＝60°；③BM 平分∠AME；④AM+MC＝BM，其中正确的有____________________（填序号）．

15. 如图，中，，、分别为、上的点，，、的平分线分别交于点、，若，则的度数为______．

16. 如图，，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称的点为，当点P在直线NM上运动时，的面积最小值为______．

三、解答题（共62分）

17. 如图，点E、C线段BF上，AC∥DF，∠A＝∠D，AB＝DE，证明：BE＝CF．

18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）在图中作出关于直线对称的；（要求：与，与，与相对应）

（2）在直线上找一点，使的值最小．

19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E．若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．

20. 如图，已知，点为的垂直平分线上一点，，，垂足分别为、，若，求证：点P在的平分线上．

21. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．

（1）试说明AD垂直平分EF；

（2）若AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15，求DE长．

22. 如图，在中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，F是BC的中点．

（1）求证：是等腰三角形；

（2）若，，求BC的长．

23 （1）〖问题背景〗如图1，B、E、M三点共线，∠DEF＝∠B＝∠M，DE＝EF，求证：△DBE≌△EMF；

（2）〖变式运用〗如图2，B、E、C三点共线，△DEF为等边三角形，∠B＝60°，∠C＝30°，求证：EC＝BD＋BE. 

24 问题背景：

如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是        ；（直接写结论，不需证明）

探索延伸：

（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．

答 案

1. D

2. B

3. C

4. B

5. C

6. B

7.

8. 72°

9. 2

10. 6

11.∠DBC＝15°

12. 45°

13.

14.①②③④

15. 16°

16. 8

17.∵AC∥DF

∴∠ACB=∠DFE

在△ACB和△DFE中

∴△ACB≌△DFE（AAS）

∴BC=EF

∴BE=CF

18. （1）如图所示

（2）点Q即为所求．

19. 65°

20.证明：连接、

∵点P在的垂直平分线上

∴

∵，

∴

在和中

∴

∴

∵，，

∴点在的平分线上

21.（1）∵平分

在和中

∴≌

又

∴≌

是线段的垂直平分线

（2）

22.（1）证明：∵BD，CE分别是AB、AC边上的高

∴

∵点F是BC中点

∴，，

∴

∴是等腰三角形

（2）解：∵

∴，

∴

同理

∵，

∴

∴

又是等腰三角形

∴是等边三角形

∴

∴

23.（1）证明：∵B、E、M三点共线

∴∠DEM=∠B+∠BDE

∴∠DEF+∠MEF=∠B+∠BDE

∵∠B=∠DEF=∠M

∴∠BDE=∠MEF

∵DE=EF，∠B=∠

∴

（2）证明：延长DB至N点，使得BE=BN，连接EN，如图

∵BE=BN，∴∠BNE=∠BEN

∵∠BNE+∠BEN=∠DBE=60°，∴∠BNE=∠BEN=30°

∵∠C=30°，∴∠C=∠BNE

∵B、E、C三点共线

∴∠DEC=∠DBE+∠BD

∴∠DEF+∠CEF=∠DBE+∠BDE

∵△DEF是等边三角形

∴DE=EF，∠DEF=60°

∵∠DBE=60°

∴∠DBE=60°=∠DEF

∴∠CEF=∠BDE

∵∠C=∠BNE，DE=EF

∴

∴EC=DN

∵BE=BN，DN=BN+BD

∴EC=BD+BE

24. （1）EF=BE+FD

延长FD到点G．使DG=BE．连接AG

∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD

∴△ABE≌△ADG（SAS）

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG

∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°

∴∠GAF=∠EAF=60°

又∵AF=A

∴△AGF≌△AEF（SAS）

∴FG=EF

∵FG=DF+DG

∴EF=BE+FD

故答案为：EF=BE+FD

（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立

证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM

∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°

∴∠1=∠D，

在△ABM与△ADF

∴△ABM≌△ADF（SAS）

∴AF=AM，∠2=∠3

∵∠EAF=∠BAD

∴∠2+∠4=∠BAD=∠EA

∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF

在△AME与△AFE中

∴△AME≌△AFE（SAS）

∴EF=ME，即EF=BE+BM

∴EF=BE+DF

（3）结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD

证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°

∴∠B=∠ADF

在△ABG与△ADF中

∴△ABG≌△ADF（SAS）

∴∠BAG=∠DAF，AG=AF

∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD

∴∠GAE=∠EAF

∵AE=AE

∴△AEG≌△AEF（SAS）

∴EG=EF

∵EG=BE-BG

∴EF=BE-FD