2024年中考数学尖子生高分突破：第6章 实数（学生版）

这是一份2024年中考数学尖子生高分突破：第6章 实数（学生版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第六章实数
平方根
海选初战
一、选择题
1.下列说法错误的是( )
A.8是64的平方根 B.是64的平方根
C.64的平方根是8 D.64的算术平方根是8
2.下列结论正确的是( )
A. B. C.16的平方根是4 D.5的平方根是
3.给出下列各数:,其中有平方根的数共有（ )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
4.下列说法:①负数没有立方根;②一个数的立方根有两个,它们互为相反数;③若,则;④18的立方根是;⑤任何有理数都有立方根,它不是正数就是负数.其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.的立方根是( )
A. B.0 C.1 D.
6.下列说法中,不正确的是( )
A.10的立方根是 B.是4的一个平方根
C.的平方根是 D.的算术平方根是
7.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
8.若,则a=( )
A. B. C. D.135
9.我们对正数2019进行开平方,再对得到的算术平方根进行开平方.....，如此进行下去,会发现所得的算术平方根越来越接近( ）
A.0 B.1 C. D.2019
10.一个数值转换器的原理如图.当输入的为256时,输出的是（ ）

A.16 B. C. D.
11.估计的值在( )
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
12.若为实数,且,则的值为( )
A. B.1 C.1或7 D.7
13.已知实数满足,有下列结论:①若,则;②若,则;③若0,则;④若,则.其中一定正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.如图所示的方格中,每个小正方形的边长为1,若把阴影部分剪拼成一个正方形,那么新正方形的边长是（ ）

A.2 B.3 C. D.
二、填空题
15.一个正数的两个不同的平方根是和1-6a,则的值为_______.
16.若和是数的平方根,则的值为_______.
17.已知9的算术平方根为,则m为_______.
18.已知实数a,b,c满足:b=+4的平方根等于它本身,则a+=_______.
19.的最小值是_______,这时a=_______.
20.小成编写了一个程序:输入x→x2→立方根→倒数→算术平方根→,则x为_______.
21.M是个位数字不为零的两位数,将M的个位数字与十位数字互换后,得另一个两位数N,若M-N恰是某正整数的立方,则这样的数共有_______个.
22.我们知道,平方数的开平方运算可以直接求得,如等,有些数则不能直接求得,如,但可以通过计算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在联系,运用规律求得.请你观察下表:
a
…
0.04
4
400
40000
…

…
x
2
y
z
…

(1)表格中的三个值分别为:x=______, y=______, z=______.
（2）用公式表示这一规律：当a=4×100n(n为整数)时, =______.
(3)利用这一规律,解快下面的问题:
已知≈2.358,则①≈________;②≈________.
23.先计算下列各式: =1, =2, =______,=______,
=______,
(1)通过观察并归纳,请写出: =______.
(2)计算: =______.
24.计算下列各式的值: ,,,…,总结存在的规律,应用得到的规律可得(有2015个9)=_________
三、解答题
25.计算:
(1) ×;
(2) -+×.
26.求下列各式中x的值.
(1)x2-169=0;(2)(x-2)2=100.

27.已知9+与9-的小数部分分别是a和b,求3a+4b+8的值.

28.对于两个不相等的实数a,b,定义一种新的运算:a*b=,如:3*2==,求6*(5*4)的值.

28.已知是整数,求所有满足条件的正整数a的和.

精优演练
1.(1)填写下表:
a
0.000 001
0.001
1
1000
1000000






上表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动间有何规律?这个规律用倍数关系的语言应怎样叙述?

(2)利用规律计算:已知=b, =m, =n，求m,n的值(用含b的代数式表示);
(3)根据(2),如果=100b,求x的值.


2.如图,纸上有5个边长为1的小正方形组成的纸片.可以用下面的方法把它剪拼成一个正方形.
(1)拼成的正方形的面积是________,边长是________.
(2)你能在3×3的正方形方格图3中,连接四个点组成面积为5的正方形吗?
(3)如图4,你能把这十个小正方形组成的图形纸,剪开并拼成一个大正方形吗?若能,请画出示意图,并写出边长为多少.



提分压轴
某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地,且其长、宽的比为5:2.
(1)求改建后的长方形场地的长和宽为多少米?
(2)如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用,来作为新场地的长方形围䟧,栅栏围墙是否够用?为什么?
6.2立方根
一、选择题
1.下列结论正确的是( )
A.的立方根是± B.- 没有立方根
C.有理数一定有立方根 D.（-1）6的立方根是-1
2.如果-b是a的立方根,则下列结论正确的是（ ）
A.-b3=a B.-b=a3 C.b=a3 D.b3=a
3.下列说法中正确的有( )
①负数没有平方根,但负数有立方根;② 的平方根是±,的立方根是±;③如果x2=(-2)3,那么x=-2;④算术平方根等于立方根的数只有1.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.x是(-)2的平方根,y是64的立方根,则x+y=( )
A.3 B.7 C.3,7 D.1,7
5.若+=0,则a与b的关系是( )
A.a=b B. b= C.a与b互为相反数 D. a=
6.有如下命题:①负数没有立方根;②一个实数的立方根不是正数就是负数;③一个正数或负数的立方根与这个数同号;④如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数是1或0,其中错误的是( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
7.若a,b表示两个实数,下列关系正确的是( )
A.若=,则= B.若a|b| D.若a>b,则>
8.已知≈0.793, ≈1.7100,那么下列各式正确的是( )
A. ≈17.100 B. ≈7.937 C. ≈171.00 D. ≈79.37
9.若a≤1,则化简后为
A.(a-1) B. (1-a) C. (a-1) D. (1-a)
10.若把-写成整数a与正的纯小数x的和,那么整数a的值为( )
A.-3 B.-4 C.-5 D.-6
11.如果实数x,y满足y=++1,那么+的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.-2
12.若a的算术平方根为27.75,b的立方根为-9.79,x的平方根为±2.775,y的立方根为97.9,则( )
A.x=100a,y=b B. x=a,y=100b C. x=a,y=-1000b D. x=a,y=-100b
二、填空题
13. +中x的取值范围是_____.
14.-8的立方根与的平方根的和是_____.
15.若+=0,则x与y的关系是_____.
16.若=,则x=_____.
17.如果=4,那么(a-67)3的值是_____.
18.若(x-1)3=8,则x=_____.
19.已知等式+=0在实数范围内成立,则x的值为_____.
20.有一组按规律排列的数: ,,,2, ,…,则第n个数是_____.
21.观察下列等式: ,,, …,请用含n(n≥2且n为整数)的等式表示上述规律___________.
三、角答題
22.计算:
(1)x3-3=;(2)2(2x-1)3+54=0.

23.若与互为相反数,求的值.

24.已知=,求a的值.
24.已知m+8的算术平方根是3,m-n+4的立方根是-2,求的值.
精优演练
1如果A=为a+3b的算术平方根,B=为1-a2的立方根,
求(1)ab的值;(2)A-3B的平方根.

2.(1)已知2x-1的平方根是±6,2x+y-1的算术平方根是5,求2x-3y+11的立方根;
(2)已知x是1的平方根,求代数式(x2017-1)( x2018-712)( x2019+1)( x2020+712)+1000x的立方根.

3.下面是巧求立方根的问题,请你阅读理解后直接填空:
(1)由103=1 000,1003=1 000 000,你能确定59319的立方根是________位数;
(2)由59319的个位数是9,你能确定59319的立方根的个位数是________.
(3)如果划去59319后面的三位“319”得到数59,而33=27, 43=64,由此你能确定59319的立方根的十位数是________,因此59319的立方根是_________.
(4)现在换一个数148 877,按照上面的方法,它的立方根是________位数,它的立方根的个位数是________,148877的立方根是_________.

4.认真阅读材料,解决问题.
依照平方根(即二次方根)和立方根(即三次方根)的定义,可给出四次方根、五次方根的定义.比如:若x2=a,则x叫a的二次方根;若x3=a,则x叫a的三次方根;若x4=a,则x叫a的四次方根.
(1)依照上面的材料,请你给出五次方根的定义,并求出-32的五次方根;
(2)解方程(2x-4)4-8=0.


提分压轴
1.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的算术平方根是4,求12a+2b的立方根.

2.一个正方体的体积是125cm3,现将它锯成8块同样大小的正方体小木块.
(1)求每个小正方体的棱长;
(2)现有一张面积为36cm2的长方形木板,已知长方形的长是宽的4倍,若把以上小正方休摆放在这张长方形木板上,且只摆放一层,最多可以放儿个小正方体?请说明理由.

3.我们知道时,也成立,若将看成的立方根,看成的立方根,我们能否得出这样的结论:若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数.
(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立;
(2)若与互为相反数,求的值.
1.4.化简.
(1) , , . .
(2) . .
(3)根据以上信息,观察所在位置,完成化简：


实数
海选初战
一、造择题
1.下列说法:(1);(2)数轴上的点与实数成一一对应关系;(3)-3是的平方根;(4)任何实数不是有理数就是无理数;(5)两个无理数的和还是无理数;(6)无理数都是无限小数,正确的个数有
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.下列说法不正确的是（）
A.的平方根是 B.是81的一个平方根
C.的算术平方根是 D.的立方根是
3.在如图6-3-1的数轴上表示的点在()

A.点和点之间 B.点和点之间
C.点和点之间 D.点和点之间
4.设为正整数,且,则的最小值为（）
A.5 B.6 C.7 D.8
5.下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
6.已知,则)
A. B. C. D.
7.已知实数在数轴上对应的点的位置如图6-3-2,则下列式子正确的是（）
A. B. C. D.
8.如图6-3-3,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右无滑动地滚动一周,原点滚到了点,下列说法正确的()
A.点所表示的是 B.上只有一个无理数
C.数轴上无理数和有理数一样多 D.数轴上的有理数比无理数要多一些
二、填空题
9.的平方根是 .
10.若某个正数的两个平方根分别是与,则 .
11.已知,计算 .
12.对于实数,给出以下判断:(1)若,则;(2)若,则;(3)若,则;(4)若,则,其中正确的判断的序号是 .
13.代数式的最小值是 .
14.当取 _时,代数式取值最大,这个最大值是 .
15.已知的平方根是,则的立方根是 .
16.下列各数:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7)0;(8)(相邻两个3之间0的个数逐次增加1).其中有理数是 .;无理数是 .(填序号)
17.计算: .
18.已知是的整数部分,是的小数部分,则 .
19.已知,则 .
20.比较下列各组数大小:
(1) 12;(2) (3)
21.已知,则的值约为 .
22.小亮求的近似值,下面是他的草稿纸上的部分内容.依据以上数据,可以得到的近似值是 .(精确到0.01)
23.在平面直角坐标系中,任意两点,定义一种运算:,若,且,则点的坐标是 .
24.已知甲数是的平方根,乙数是的立方根,则甲、乙两个数的积是 .
25.若,则的相反数是 .
26.(1)点在数轴上与原点相距个单位,则点表示的实数为 .
(2)数轴上到的点距离为的点所表示的数是 .
27.如图6-3-4,在数轴上点表示的实数是 .

28.如图6-3-5,一个长为3,宽为2的长方形从表示的点开始绕着点逆时针翻转到达点,则点所表示的数是29.定义:不超过实数的最大整数称为的整数部分,记作.例如,按此规定, .
三、解答題
30.求下列各式中的值:
(1);
(2).
7.1.计算下列各式的值:
(1);
(2).
精优演练
1.如图6-3-6,一只蚂蚑从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点,点表示,设点所表示的数为.

(1)实数的值是 .
(2)求的值;
(3)在数轴上还有两点分别表示实数和,且有与互为相反数,求的平方根.
2.魔方,又叫魔术方块,也称鲁比克方块,是灼牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的.魔方与中国人发明的“华容道”、法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议.图6-3-7是一个4阶穈方,又称“魔方的复仇”,由四层完全相同的64个小立方体组成,体积为.

(1)求组成这个魔方的小立方体的棱长;
(2)图中阴影部分是一个正方形,则该阴影部分正方形的面积为 ,边长是 cm.
3.(1)【阅读】
通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法,通过有限的几个特例,观察其一般规律,得出结论,它是一种不完全的归纳法,也叫做经验归纳法.
例如:
(1)由,归纳出的奇次幂是,而的偶次葦是1;
(2)由两位数从10到99,共90个,
三位数从100到999,共900个,
四位数有个,
旧纳出位数共有个;
(3)由,
归纳出从1开始的个连续奇数的和等于.
(1),(2),(3),
按此规律,请写出下一个等式:
(2)按此规律,请写出第个等式:
(2)【应用】
求方程的一组正整数解.
提分压轴
1.若为实数,且,求的平方根.
2.已知的算术平方根是的立方根是是的整数部分,求的平方根.
直击中考
一、选择题
1.(湖州)数4的算术平方根是()
A.2 B. C. D.
2.(南京)3的平方根是()
A.9 B. C. D.
3.(扬州)下列各个数中,小于的数是()
A. B. C. D.
4.(十堰)下列实数中,是无理数的是()
A.0 B. C. D.
5.(金昌)下列实数是无理数的是（）
A. B. C. D.
6.(武威)下列整数中,与最接近的整数是（）
A.3 B.4 C.5 D.6
7.(淄博)与最接近的整数是
A.5 B.6 C.7 D.8
8.(资阳)设,则的取值范围是(
A. B. C. D.无法确定
9.(南州)实数介于（）
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间
10.(天津)估计的值在（）
A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间
11.(菏泽)下列各数:,其中无理数的个数是()
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
12.(潍坊))
A. B. C. D.
13.(大庆)的算术平方根一定是（）
A.a B. C. D.
14.(南京)的值等于()
A. B. C. D.
14.(南京)与接近的是()
A.3 B.4 C.5 D.6
15.(常州)已知为整数,且,则等于()
A.1 B.2 C.3 D.4
16.(常州)8的立方根为()
A. B. C.2 D.
17.(荆门)8的相反数的立方根是()
A.2 B. C. D.
18.(黄石)下列各数是无理数的是（）
A.1 B. C. D.
19.(恩施)64的立方根为()
A.8 B. C.4 D.
20.(临安)化简的结果是()
A. B. C.2 D.4
21.下列说法正确的个数有(）
(1)0是最小实数;(2)数轴上所有的点都表示实数;(3)无理数都是带根号的数;(4)的立方根是;(5)的平方根是.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
23.(广州)四个数中,是无理数的是()
A. B.1 C. D.0
24.(通辽)已知边长为的正方形面积为12,则下列关于的说法中,错误的是()(1)是无理数;(2)是方程的解;(3)满足不等式组(4)是12的算术平方根.
A.(1)(2) B.(1)(3) C.(3) D.(1)(2)(4)
25.(济宁)ト列计算正确的是()
A. B. C. D.
26.(本溪)若,且是两个连续的整数,则的值是()
A.1 B.2 C.3 D.4
27.(盘锦)的绝对值是()
A. B. C.2 D.
28.(丹东)计算)
A. B. C. D.
28.(樕州)下列实数:,其中最小的实数是（）
A.3 B.0 C. D.
29.(泰安)下列四个数:,其中最小的数是()
A. B. C. D.
30.(杭州)下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
31.(安顺)的算术平方根为()
A. B. C. D.2
32.(沈阳)下列各数中是有理数的是（）
A. B.0 C. D.
33.(广东)下列判断中,错误的有()
(1)有立方根的数必有平方根;(2)有平方根的数必有立方根;(3)零的平方根、立方根、算术平方根都是零;(4)不论是什么实数,必有意义.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
35.(屯溪)一个正奇数的算术平方根是,那么与这个正奇数相邻的下一个正奇数的算术平方根是
A. B. C.. D.
36.(滨州)若与的和是单项式,则的平方根为()
A.4 B.8 C. D.
二、填空题
37.(黄冈)16的算术平方根是 .
38.(吉林)计算: .
39.(雅安)如果,则 .
40.(宁波)请写出一个小于4的无理数: .
41.(广东)一个正数的平方根分别是和,则 .
42.(广东)已知,则 .
43.(河南)计算: .
44.(南京)算术平方根等于它本身的数是 .
45.(宁波)实数8的立方根是 .
46.(呼伦贝尔)把图6-中考-1折成正方体后,如果相对面所对应的值相等,那么的平方根与的算术平方根之积为 .

47.(铁岭)若且是两个连续的整数,则的值是 .
48.(北京)若在实数范围内有意义,则实数的取值范围是 .
49.(北京)写出一个比大且比小的整数 .
50.(陕西)3 (填“>"“"或“=”).
51.(海南)3 (填“>"“"或“=”).
52.(宁夏)实数在数轴上的位置如图6-中考所示,则 .

53.(成都)估算: .(结果精确到1)
三、解答题
54.(十堰)计算:.
55.(无锡)计算:.
56.(杭州)小明设计了一个如图6-中考-3的电脑运算程序:

(1)当输人的值是64时,输出的值是 .
(2)分析发现,当实数取 时,该程序无法输出值.
第六章
综台能力擂台
一、选择题
1.下列说法正确的是()
A.是无理数 B.是无理数 C.是有理数 D.是有理数
2.已知是整数,当取最小值时,的值是（
A.5 B.6 C.7 D.8
3.的取值范围如图6-1,化简的结果是()
A. B.2-a C. D.
4.下列说法:
(1);(2)64的平方根是,立方根是;(3(为实数);(4)若为实数),则,
其中结论正确的序号是()
A.(1)(3) B.(1)(2)(4) C.(3)(4) D.只有(1)(4)
5.下列说法正确的个数有（）
(1)0是最小实数;(2)数轴上所有的点都表示实数;(3)无理数都是带根号的数;(4)的立方根是;(5)的平方根是.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.下列命题中真命题是()
A.9的立方根是3 B.每一个实数都可以用数轴上的点来表示
C.带根号的数是无理数 D.两条直线被第三条直线所截,侗旁内角互补
7.下列判断中,错误的有()
(1)有立方根的数必有平方根;(2)有平方根的数必有立方根;(3)零的平方根、立方根、算术平方根都是零;(4)不论是什么实数,必有意义.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.下列说法中,正确的有()
(1)无限小数是无理数;(2)无理数是无限小数;(3)两个无理数的和是无理数;(4)所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,反过来,数轴上的所有点都表示有理数.
A.(2)(4) B.(1)(2) C.(2) D.(2)(3)
9.大于小于的整数有()
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
10.设是不等于零的有理数,是无理数,则下列四个数:(1);(2);(3);(4)中必为无理数的有()
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空題
11.写出一个大于3且小于4的无理数 .
12.若的值在两个整数与之间,则的相反数的立方根等于 .
13.与最接近的自然数是 .
14.在数轴上,表示数的点到原点的距离用表示,如果表示数的点和的点之间的距离是3,那么 .
15.的最小值是 .
16.已知点在数轴上表示的数的位置如图6-2,化简

.
17.对于实数,我们用符号表示两数中较小的数,如,若,则 .
18.当 时,的倒数仍是.
三、解答运算：
19.求满足条件中的:
(1) (2); (3).
20.已知一组实数,按如下方式排列起来:,按这样的规律继续排列,直至.若将所在的位置用数对表示为所在的位置用数对表示为,回答下列问题:
(1)所在的位置用数对表示为 .
(2)若某数的位置用数对表示为,则这个数为 .
(3)所在的位置用数对表示为 .
(4)这组实数中最大的有理数所在的位置用数对表示为 .
21.已知9的算术平方根为的绝对值为4,求的值.
22.求值:
(1)已知的平方根是的立方根是3,求的平方根;
(2)已知实数满足,求的算术平方根.23.已知满足,解关于的方程.
24.某同学想用一块面积为的正方形纸片,(如图6-3)沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片,使它的长、宽之比为,请你用所学过的知识来说明能否用这块纸片裁出符合要求的纸片.
25.已知是的算术平方根,是的立方根,求的值的平方根.26.对于结论：当吋,也成立.若将看成的立方根，看成的立方根,由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数,那么这两个数也互为相反数".
（1）挥一个具体的例子来判断上述结论是否成立;
（2）若和互为相反数,且的平方根是它本身,求的立方根.
27.三个互不相等的有理数,既可以表示为的形式,也可以表示为的形式,试求的值.
28.有一圆柱形容器的容积为81升,它的底面直径是高的2倍.(取3)
(1)这个圆柱形容器的底面直径为多少分米?
(2)若这个圆柱形容器的两个底面与侧面者是用铁皮制作的,则制作这个圆柱形容器需要铁皮多少平方分米?(不计损耗)
29.解答下列应用题:
(1)某房间的面积为,房间地面恰好由110块相同的正方形地砖铺成,每块地砖的边长是多少?
(2)已知第一个正方体水箱的棱长是,第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多,则第二个水箱需要铁皮多少平方米?