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2024年中考数学尖子生高分突破：第4章 几何图形初步（学生版）
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这是一份2024年中考数学尖子生高分突破：第4章 几何图形初步（学生版），共25页。试卷主要包含了1 几何图形等内容，欢迎下载使用。
第四章 几何图形初步
4.1 几何图形
海选初战
一、选择题
1.笔尖在纸上快速漏动写出一个又一个字，河以说明（ ）
A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 D.不能确定
2.若一个几何体的表面展开图如图4-1-1，则这个几何体是（ ）
A.三棱柱 B.四棱柱
C.三棱锥 D.四棱锥
3.若图4-1-2的平面㜊伊图折盖成正方体后，相对面上两个数都互为相反数，则ab=（ ）
A.3 B.
C. D.2
4.下列四个图形是羊4-1-3正方体的展开图的是（ ）
5.如图4-1-4，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形(图中阴影部分)，但是由于䟽忽少画了一个，请你给他补上一个，使之可以组合成正方体，你一共有（ ）种画法.
A.2 B.3 C.4 D.5
6.一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则这个圆标的休积为（ ）
A. B. C. D.
7.用一个平面截下列几何体，截面的形状可能是三角形的是（ ）
(1)长方体 (2)圆锥 (3)三棱锥 (4)圆锥 (5)球体
A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(3)(4) C.(2)(5) D.(1)(3)
二、填空题
8.如图4-1-5，汽车的雨刮器能把前挡风玻璃上的雨水刮干净，这一现象，抽象成数学事实是 .
9.已知长方形的长为、宽为，现将这个长方形绕它的一边所在直线旋转一周，则所得到的几何体的体积为 .
10.图4-1-6的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，.依此规律，则第个几何体的表面积是 个平方单位.
三、解答题
11.如图4-1-7，图①图④都是平面图形.
(1)每个图中各有多少个顶点?多少条边?这些边围出多少个区域?请将结果填入表格中.
(2)根据(1)中的结论，推断出一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系.
12.图4-1-8是一张铁皮.
（1）计算该铁皮的面积;
（2）它能否做成一个长方体盒子?若能，画出长方体盒子的立体图形，并计算其体积;若不能，说明理由.
精优演练
1.图4-1-9的三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形.
(1)这个三棱柱有_ __条棱，有__ _个面;
(2)图4-1-10方框中的图形是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补全;
(3)要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开 条棱，需剪开棱的棱长的和的最大值为 .
2.图4-1-11是三个直立于水面上的形状完全相同的几何体(下底面为圆面，单位;厘米)，将它们拼成图4-1-12的新几何体，求该新几何体的体积(结果保斵.
3.观察下列多面体，并把表格补充完整.
观察表中的结果，你能发现之间有什么关系吗?请写出关系式.
提分压轴
1.图4-1-13是边长为的正方形薄铁片，小明将其四角各剪去一个相同的小正方形(图中阴影部分)后，发现剩余的部分能折成一个无盖的长方体盒子，图4-1-14为盒子的示意图(铁片的厚度忽略不计).
(1)设剪去的小正方形的边长为，折成的长方体盒子的容积为，用只含字母的式子表示这个盒子的高为 ，底面积为 ，盒子的容积为 ;
(2)为探究盒子的体积与剪去的小正方形的边长之间的关系，小明列表分析:
请将表中数据补充完整，并根据表格中的数据写出当的值逐渐增大时，的值如何变化?
2.如图4-1-15 至图4-1-17是将正方体截去一部分后得到的多面体.
（1）根据要求填写表格：
（2）猜想三个数据间有何关系；
(3)根据猜想计算，若一个多而体材顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数.
3.探究:
将一个正方体表面全部涂上颜色.
(1)把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体，我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为= ， ， ， .
（2）如果把正方体的棱四等分，同样沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体，那么= ， ， ， .
（3）如果将这个正方体的棱n等分（n大于3），沿等分线把正方体切开，得到n³个小正方体，且满足2x2-x3=208，求n的值.
直线、射线、线段
海选初战
一.选择题
1.下列几何图形与相应语言描述相符的有( )
①直线相交于点②射线与线段没有公共点③延长线段④直线经过点
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列说法正确的是( )
A.在所有的连接两点的线中，直线最短
B.线段与线段是不同的两条线段
C.如果点是线段的中点，那么
D.如果，那么点是线段的由点
3.若平面上两点间的距离是是平面上另一点，且，则下列说法正确的是( )
A.点在线段上 B.点在直线上
C.点在直线外 D.点可能在直线上，也可能在直线外
4.如图4-2-5，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制( )种车票.
A.10 B.11 C.20 D.22
5.下列现象:
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上.
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线.
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程.
其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有( )
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
6.如图4-2-6，，则等于( )
A. B. C. D.
7.如图4-2-7，是线段上的两点，若，那么与的关系是为( )
A. B. C. D.不能确定
8.如图4-2-8，点为线段上两点，，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
9.建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上.这样做的依据是 .
10.已知线段，点在直线上，，则 .
11.下表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系:
按此规律，条直线相交，最多有 .
12.如图4-2-9，若，且是的中点，则 cm.
三、解答题
13.已知图4-2-10，是线段上两点，是的中点，，求的长.
14.如图4-2-11，为线段上一点，为的中点，且.
(1)求的长;
(2)若点在直线上，且，求的长.
15.如图4-2-12，点在线段上，，点分别是的中点.（1）求线段的长；
（2）若点为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗?并说明理虫；
（3）若点在线段的延长线上，且满足分别为的中点，你能猜想的长度吗?请画出图形，写出你的结论，并说明理由;
（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗?
精优演练
1.已知三点在同一直线上，若线段，其中点为;线段，其中点为，求的长.
2.如图4-2-13，已知点在线段上，线段厘米，厘米，点分别是的中点.
动点分别从同时出发，点以的速度沿向有运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点?
3.如图4-2-14，一条直线上依次有点.
(1)若，求的长;
(2)若点是射线上一点，点为的中点，点为的中点，求的值;
(3)当点在线段的延长线上运动时，点是中点，点是中点，且下列结论中:(1)是定值;(2)是定值.其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值.
提分压轴
1.如图4-2-15，是线段上任一点，两点分别从同时向点运动，且点的运动速度为点的运动速度为，运动的时间为.
(1)若，
①运动后，求的长;
②当在线段上运动时，试说明;
(2)如果时，，试探索的值.
2.已知在数轴上有两点，点表示的数为8，点在点的左边，且.若有一动点从数轴上点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为秒.
(1)直接写出数轴上点所表示的数(用含的代数式表示);
(2)若点分别从两点同时出发，点运动多少秒与点相距2个单位长度?
(3)若为的中点，为的中点.当点在点的左侧时，运动过程中等量关系12始终成立，请说明理由.
角
海选初战
一、选择题
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.如图4-3-1，已知，下列结论中错误的是( )
A.分别平分 B.
C. D.
3.如图4-3-2，已知是直线上一点，平分，则的度数是( )
A. B. C. D.
4.已知平分平分，则的度数是( )
A.或 B.或 C.或 D.或
5.如图4-3-3，把一长方形纸片的一角沿折叠，点的对应点落在内部.若，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.已知的补角是它的4倍，那么的度数是( )
A. B. C. D.
7.一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是( )
二、填空题
8.一个角的余角和补角之比为，则这个角等于 度.
9.将一副三角尺的直角顶点重合并按图4-3-4摆放，当平分时， .
10.将一张长方形纸片按图4-3-5的方式折叠，为折痕.若，则为度.
11.以的顶点为端点引射线，使，若的度数为 .
三、解答题
12.图4-3-6中，是内的三条射线，分别是的平分线，是的3倍，比大，求的度数.
13.已知，和分别平分和.
(1)如图4-3-7，若为内一点，探究与的数量关系;
(2)若为外一点，且不在的反向延长线上，请你画出图形，并探究与的数量关系.
精优演练
1.如图4-3-8，已知内部有三条射线，其中平分角平分.
(1)若，求的度数.
(2)如图4-3-9，若，求的度数.(用含的式子表示)
(3)若将题中的“平分”的条件改为“，目，求的度数.(用含的式子表示)
2.已知在的内部，平分平分.
(1)如图4-3-10，时，当在的左侧，求的度数.
(2)如图4-3-11，时，当在的右侧，请补全图形，并求的度数.
(3)如图4-3-12，当，且在左侧时，试用的代数式表示.
提分压轴
1.如图4-3-13，，射线以/秒的速度从出发，射线以/秒的速度从出发，两条射线同时开始逆时针转动秒.
(1)当秒时，求的度数.
(2)如图4-3-14，在射线转动过程中，射线始终在内部，且平分.若，求的值.
2.一副三角尺按照图4-3-15摆放在量角器上，边与量角器0刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与0刻度线重合时停止运动.设三角尺的运动时间为(秒).
(1)当秒时，边经过的量角器刻度线对应的度数为 °
(2) 秒时，边平分;
(3)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转，
(1)当为何值时，边平分;
(2)在旋转过程们，是否存在某一时刻，使得.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
3.已知:是内的射线.
(1)如图4-3-16所示，若平分平分，求的度数;
(2)如图4-3-17所示，也是内的射线，平分平分.当绕点在内旋转时，的位置也会变化但大小保持不变，请求出的大小;
(3)在(2)的条件下，以为起始位置(如图4-3-18)，当在内绕点以每秒的速度逆时针旋转秒，若，求的值.
课题学习
海选初战
1.图4-4-1是一个小长方体，用四个完全相同的这种小长方体可以拼成图4-4-2的一个大长方体，但是拼法不同，得到的大长方体尤不同.如果每个小长方体的长、宽、高分別是3，3，1，那么拼成的大长方体的表面积共有 种不同的值，这些值分别为 .
2.图4-4-3是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答.
(1)如果面在长方体的底部，那么 面会在上面;
(2)求这个长方体的表面积和体积.
3.仓库里有以下四种规格数量足够多的长方形、正方形的铁片(尺寸单位:分米):
从中选5块铁片，焻接成一个无盖的长方体（或正方体）铁盒(不浪费材料)，甲型盒是由2块规格(1)、1块规格(2)和2块规格(3)焯接而成的铁盒，乙型盒是容积最小的铁盒.
（1）甲型盒的容积为: 立方分米;乙型盒的容积为: 立方分米;(直接写出答案)
（2）现取两个装满水的乙型盒，再将其内部所有的水都倒人一个水平放置的甲型盒，求甲型盒中水的高度是多少分米.
4.如图4-4-5，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图.拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题.
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全;
(2)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积是 .
5.如图4-4-6，在一张正方形纸片的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子.请回答下列问题:
(1)剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为 ；如果设原来这张正方形纸片的边长为，所折成的无盖长方体盒子的高为，那么，这个无盖长方体盒子的容积可以表示为 ;
(2)如果设原来这张正方形纸片的边长为，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取时，诸计算折成的无盖长方体盒子的容积，下表中的和的值分别为 和 ；
观察表格可知，当小正方形的边长取 时，所得到的无盖长方体纸盒的容积最大.
精优演练
1.顾琪在家用剪刀展开了一个长方体纸盒,可是一不小心多剪了一条棱,把纸盒剪成了两部分,即图4-4-7中的①和②.根据你所学的知识,回答下列问题:
（1）顾琪总共剪开了_______条棱.
(2)现在顾琪想将剪断的②重新粘贴到①上去,而且经过折叠以后,仍然可以还原成一个长方体纸盒,你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置?请你帮助她在①上补全.
（3）已知顾琪剪下的长方体的长、宽、高分别是,求这个长方体纸盒的体积.
解：(1)8
(2)如图答4-4-3，四种情况.
2【阅读理解】
用的矩形瓷砖,可拼得一些长度不同但宽度均为的图案.已知长度为,的所有图案如下:
【尝试操作】
如图4-4-10,将小方格的边长看作,请在方格纸中画出长度为的所有图案.
【归纳发现】
观察以上结果,探究图案个数与图案长度之间的关系,将下表补充完整.
图案的长度
10cm
20cm
30cm
40cm
50cm
60cm
所有不同图案的个数
1
2
3
3.某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒,其平面展开图和相关尺寸如图4-4-11,其中阴影部分为内部粘贴角料.(单位:毫米)
(1)此长方体包装盒的体积为__________立方毫米;(用含x，y的式子表示)
（2）此长方体的表面积(不含内部粘贴角料)为___________平方竜米；(用含x,y的式子表示)
(3)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的,求当毫米,y=70毫米时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米.
提分压轴
1.拿一张长为、宽为的纸,作一圆柱的侧面,用不同的方法做成两种圆柱,画出图形并求这两种圆柱的表面积.
2.如图4-4-12，以一张方格纸(4×5)中的一个小方格为一个面.请回答下列问题:
(1)做一个无盖正方体纸纸盒需要多少个小方格?
(2)一张方格纸能做多少个无盖正方体纸盒?
(3)档几种不同剪法? 剪开的平面图完全相同只算一种,请画出.
直击中考
1.将图4-中考-1的平面图形绕直线旋转一周,得到的立体图形是( )
2.将图4-中考-2，一个正方体由27个大小相同的小立方块塔成，现从中取走若干个小立方块,
得到一个新的几何体.若新几何体与原正方体的表面积相等,则最多可能取走______个小立方块.
请你观察下列几种简单多面体模型:
(1)根据上面多面体模型,完成表格中的空格:
多面体
顶点数
面数
棱数
四面体
4
4
______
长方体
8
6
12
正八面体
________
8
30
正十二面体
20
12
12
你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是______________.
(2)一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条悛,则这个多面体的面数是
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体外表面三角形的个数为个,八边形的个数为y个,求的值.
4.我国运用长征火箭发射了百余颗人造卫星和5次神舟飞船.图4-中考-4是我国航天科技人员自主研究开发的长征系列火箭的简图.(火箭圆柱底面圆的周长不等于圆柱的高)
（1）请你画出火箭的平面展开图,并标上字母.
（2）写出平面图形中所有相等的量.
专题二
1.如图4-中考,点是线段的中点,点是线段AD的中点，若CD=1，则AB=______
2.（潍坊）某班50名同学分别站在公路的A，B两点处，A，B两点相距1000米，A处有30人，B处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（ ）
A.点处 B.线段的中点处
C.线段上,距点米处 D.线段上,距点400米处
3.在一条不完整的数轴上从左到右有点,其中,如图4-中考-6,设点所对应数的和是.
(1)若以为原点,写点所对应的数,并计算的值;若以为原点,又是多少?
(2)若原点在图4-中考中数轴上点的右边,且,求.
问题引人:
(1)如图4-中考-7,在△ABC中,点是和平分线的交点,若,则∠BOC=______________(用表示)；
如图4-中考,则∠BOC=_______(用表示).
拓展研究:
(2)如图4-中考,请猜想_______ (用表示),并说明理由.
类比研究:
(3)BO,CO分别是△ABC的外角∠DBC, ∠ECB的等分线,它们交于点,,请猜想∠BOC=____________
专题四
1.（随州）图4-中考-10是一个长方体形状包装盒的表面展开图.折叠制作完成后得到长方体的容积是（包装材料厚度不计）（ ）
A.40×40×70 B.70×70×80 C.80×80×80 D.40×70×80
2.(南昌）如图4-中考-11，贤贤同学用手工.纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适，以下裁剪示意图中，正确的是（ ）
3.(北京）美术课上，老师要求同学们将图4-中考-12的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（ ）
4.（遂宁）如图4-中考-13，已知MN是圆柱底面的直径，NP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P嵌有一条路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NP剪开，所得的侧面展开图是（ ）
第四章 综合能力测试
一.选择题
1.对于直线AB,线段CD,射线EF,在下列选项中能相交的是( )
2.据“反向延长线段CD”这句话,下列表示正确的是（ ）
3.已知A,B,C三点,若过其中任意两点画一条直线,则画出的不同直线( )
A.一定有三条 B.只能有一条
C.可能有三条,也可能只有一条 D.以上结论都不对
4.如图4-1,,则与的关系是( )
A.相等 B.互余 C.互补 D.无法确定
5.如果与互补,与互余,则与的关系是( )
A. B.
C. D.以上都不对
6.如图4-2,货轮在航行过程中,发现灯塔在它北偏东的方向上,海岛在它南偏东方向上.则下列结论:
(1);
(2)图中的补角有两个,分別是和;
(3) 图中有4对互余的角;
(4)货轮在海岛的西偏北的方向上.
其中正确结论的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图4-3,是一个正方体的表面展开图,则原正方体中"“梦”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A.大 B.伟 C.国 D.的
8.已知线段,点在氞线上,,点分别是的中点,则的长度为( )
A. B. C.或 D.或
9.某同学晩上6点多钟开始做作业,他家墙上时钟的时针和分针的夹角是,他做完作业后还是6点多钟,且时针利分针的夹角还是,此同学做作业大约用了（ )
A.40分钟 B.42分钟 C.44分钟 D.46分钟
10.如图4-4,在的外部,是锐角,平分平分,若度数逐漸变大,则变化情况是（ ）
A.变大 B.变小 C.保持不变 D.无法确定
二、填空题
11.要在墙上钉一根水平方向的术条,至少需要2个钉子,用数学知识解释为______________
12.如果一个角的补角比它的余角度数的3倍少,那么这个角的度数是_________
13.点A,在同一条直线上,,则的长为_________
14.把一个平角7等分,每一份的度数是（精确到分）_________
15.将一副三角板按图4-5摆放，若∠BAE=135°17’，则∠CAD的度数是________.
16.如图4-6，OM是∠A0B的平分线，射线OC在∠BOM内部.ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON的大小等于________
三、解答题
17.（1）如图4-7,,点在直线上且,求的长;
（2）若点在射线AB上,且,取的中点,已知线段的长为,求线段的长.(要求：在图4-8上补全图形)
18.已知点是直线上的一点,是的平分线.
(1)当点在直线的同侧如图4-9)时,试说明;
(2)当点与点在直线的两侧（如图4-10）时，⑴中的结论是否仍然成立,请写出你的结论，并说明理由.
19.如列4-11,已知线段,点为上的一个动点,点分别是和的中点.
(1)若,求的长.
(2)若(不超过),求的长.
(3)知识迁移:如图4-12,已知,过角的内部任意一点C画射线,若分别平分和,求的度数.
20.如图4-13,线段,点在线段.
（1）如图4-14，当点分别是线段和线段的中点时,求线段的长;
(2)当点,点分别是线段和线段BC的中点时，请你写出线段EF和线段AC之间的数量关系,并简要说明理由.
21.是的平分线,是的平分线.
(1)如图4-15,当是直角,时,的度数是多少?
(2)如图4-16,当时,猜想与的数量关系.
(3)如图4-17,当时,猜想：与有数量关系吗?如果有,指出结论并说明理由.
22.以直线上一点为端点作射线,使,将一个直角三角形的直角顶点放在点处.(注:)
（1）如图4-18,若直角三角板的一边放在射线上,则∠COE=________
（2）如图4-19,将直角三角板绕点顺时针方向转动到某个位置,若佮好平分,则∠COD=_______
（3）将直角三角板绕点顺时针方向转动到某个位置,,如果,求的度数.
23.已知线段(为常数),点为直线上一点(不与重合),点分别在线段上,且满足.
(1)如图4-20,当点恰好在线段中点时,则_______ (用含的代数式表示);
(2)若点为直线上任一点,则长度是否为常数?若是,请求出这个常数;若不是,请说明理由；
(3)若点C在点A左侧,同时点P在线段AB上(不与端点重合),请判断2AP+CQ-2PQ与1的大小关系,并说明理由.
24.如图4-21,点为直线上一点,过点作射线,使.将一直角三角板的直角顶点放在点处,一边在射线上,另一边在直线的下方.
(1)将图4-21中的三角板绕点逆时针旋转至图4-22,使一边在的内部,且恰好平分,问:直线是否平分?请说明理由.
(2)将图4-21中的三角板绕点按每秒4的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中,第秒时,直线恰好平分锐角,则的值为多少?
(3)将图4-21中的三角板绕点顺时针旋转至图4-23,使在的内部,请探究:与之间的数量关系,并说明理由.
第四章 几何图形初步
4.1 几何图形
海选初战
一、选择题
1.笔尖在纸上快速漏动写出一个又一个字，河以说明（ ）
A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 D.不能确定
2.若一个几何体的表面展开图如图4-1-1，则这个几何体是（ ）
A.三棱柱 B.四棱柱
C.三棱锥 D.四棱锥
3.若图4-1-2的平面㜊伊图折盖成正方体后，相对面上两个数都互为相反数，则ab=（ ）
A.3 B.
C. D.2
4.下列四个图形是羊4-1-3正方体的展开图的是（ ）
5.如图4-1-4，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形(图中阴影部分)，但是由于䟽忽少画了一个，请你给他补上一个，使之可以组合成正方体，你一共有（ ）种画法.
A.2 B.3 C.4 D.5
6.一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则这个圆标的休积为（ ）
A. B. C. D.
7.用一个平面截下列几何体，截面的形状可能是三角形的是（ ）
(1)长方体 (2)圆锥 (3)三棱锥 (4)圆锥 (5)球体
A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(3)(4) C.(2)(5) D.(1)(3)
二、填空题
8.如图4-1-5，汽车的雨刮器能把前挡风玻璃上的雨水刮干净，这一现象，抽象成数学事实是 .
9.已知长方形的长为、宽为，现将这个长方形绕它的一边所在直线旋转一周，则所得到的几何体的体积为 .
10.图4-1-6的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，.依此规律，则第个几何体的表面积是 个平方单位.
三、解答题
11.如图4-1-7，图①图④都是平面图形.
(1)每个图中各有多少个顶点?多少条边?这些边围出多少个区域?请将结果填入表格中.
(2)根据(1)中的结论，推断出一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系.
12.图4-1-8是一张铁皮.
（1）计算该铁皮的面积;
（2）它能否做成一个长方体盒子?若能，画出长方体盒子的立体图形，并计算其体积;若不能，说明理由.
精优演练
1.图4-1-9的三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形.
(1)这个三棱柱有_ __条棱，有__ _个面;
(2)图4-1-10方框中的图形是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补全;
(3)要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开 条棱，需剪开棱的棱长的和的最大值为 .
2.图4-1-11是三个直立于水面上的形状完全相同的几何体(下底面为圆面，单位;厘米)，将它们拼成图4-1-12的新几何体，求该新几何体的体积(结果保斵.
3.观察下列多面体，并把表格补充完整.
观察表中的结果，你能发现之间有什么关系吗?请写出关系式.
提分压轴
1.图4-1-13是边长为的正方形薄铁片，小明将其四角各剪去一个相同的小正方形(图中阴影部分)后，发现剩余的部分能折成一个无盖的长方体盒子，图4-1-14为盒子的示意图(铁片的厚度忽略不计).
(1)设剪去的小正方形的边长为，折成的长方体盒子的容积为，用只含字母的式子表示这个盒子的高为 ，底面积为 ，盒子的容积为 ;
(2)为探究盒子的体积与剪去的小正方形的边长之间的关系，小明列表分析:
请将表中数据补充完整，并根据表格中的数据写出当的值逐渐增大时，的值如何变化?
2.如图4-1-15 至图4-1-17是将正方体截去一部分后得到的多面体.
（1）根据要求填写表格：
（2）猜想三个数据间有何关系；
(3)根据猜想计算，若一个多而体材顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数.
3.探究:
将一个正方体表面全部涂上颜色.
(1)把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体，我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为= ， ， ， .
（2）如果把正方体的棱四等分，同样沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体，那么= ， ， ， .
（3）如果将这个正方体的棱n等分（n大于3），沿等分线把正方体切开，得到n³个小正方体，且满足2x2-x3=208，求n的值.
直线、射线、线段
海选初战
一.选择题
1.下列几何图形与相应语言描述相符的有( )
①直线相交于点②射线与线段没有公共点③延长线段④直线经过点
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列说法正确的是( )
A.在所有的连接两点的线中，直线最短
B.线段与线段是不同的两条线段
C.如果点是线段的中点，那么
D.如果，那么点是线段的由点
3.若平面上两点间的距离是是平面上另一点，且，则下列说法正确的是( )
A.点在线段上 B.点在直线上
C.点在直线外 D.点可能在直线上，也可能在直线外
4.如图4-2-5，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制( )种车票.
A.10 B.11 C.20 D.22
5.下列现象:
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上.
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线.
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程.
其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有( )
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
6.如图4-2-6，，则等于( )
A. B. C. D.
7.如图4-2-7，是线段上的两点，若，那么与的关系是为( )
A. B. C. D.不能确定
8.如图4-2-8，点为线段上两点，，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
9.建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上.这样做的依据是 .
10.已知线段，点在直线上，，则 .
11.下表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系:
按此规律，条直线相交，最多有 .
12.如图4-2-9，若，且是的中点，则 cm.
三、解答题
13.已知图4-2-10，是线段上两点，是的中点，，求的长.
14.如图4-2-11，为线段上一点，为的中点，且.
(1)求的长;
(2)若点在直线上，且，求的长.
15.如图4-2-12，点在线段上，，点分别是的中点.（1）求线段的长；
（2）若点为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗?并说明理虫；
（3）若点在线段的延长线上，且满足分别为的中点，你能猜想的长度吗?请画出图形，写出你的结论，并说明理由;
（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗?
精优演练
1.已知三点在同一直线上，若线段，其中点为;线段，其中点为，求的长.
2.如图4-2-13，已知点在线段上，线段厘米，厘米，点分别是的中点.
动点分别从同时出发，点以的速度沿向有运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点?
3.如图4-2-14，一条直线上依次有点.
(1)若，求的长;
(2)若点是射线上一点，点为的中点，点为的中点，求的值;
(3)当点在线段的延长线上运动时，点是中点，点是中点，且下列结论中:(1)是定值;(2)是定值.其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值.
提分压轴
1.如图4-2-15，是线段上任一点，两点分别从同时向点运动，且点的运动速度为点的运动速度为，运动的时间为.
(1)若，
①运动后，求的长;
②当在线段上运动时，试说明;
(2)如果时，，试探索的值.
2.已知在数轴上有两点，点表示的数为8，点在点的左边，且.若有一动点从数轴上点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为秒.
(1)直接写出数轴上点所表示的数(用含的代数式表示);
(2)若点分别从两点同时出发，点运动多少秒与点相距2个单位长度?
(3)若为的中点，为的中点.当点在点的左侧时，运动过程中等量关系12始终成立，请说明理由.
角
海选初战
一、选择题
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.如图4-3-1，已知，下列结论中错误的是( )
A.分别平分 B.
C. D.
3.如图4-3-2，已知是直线上一点，平分，则的度数是( )
A. B. C. D.
4.已知平分平分，则的度数是( )
A.或 B.或 C.或 D.或
5.如图4-3-3，把一长方形纸片的一角沿折叠，点的对应点落在内部.若，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.已知的补角是它的4倍，那么的度数是( )
A. B. C. D.
7.一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是( )
二、填空题
8.一个角的余角和补角之比为，则这个角等于 度.
9.将一副三角尺的直角顶点重合并按图4-3-4摆放，当平分时， .
10.将一张长方形纸片按图4-3-5的方式折叠，为折痕.若，则为度.
11.以的顶点为端点引射线，使，若的度数为 .
三、解答题
12.图4-3-6中，是内的三条射线，分别是的平分线，是的3倍，比大，求的度数.
13.已知，和分别平分和.
(1)如图4-3-7，若为内一点，探究与的数量关系;
(2)若为外一点，且不在的反向延长线上，请你画出图形，并探究与的数量关系.
精优演练
1.如图4-3-8，已知内部有三条射线，其中平分角平分.
(1)若，求的度数.
(2)如图4-3-9，若，求的度数.(用含的式子表示)
(3)若将题中的“平分”的条件改为“，目，求的度数.(用含的式子表示)
2.已知在的内部，平分平分.
(1)如图4-3-10，时，当在的左侧，求的度数.
(2)如图4-3-11，时，当在的右侧，请补全图形，并求的度数.
(3)如图4-3-12，当，且在左侧时，试用的代数式表示.
提分压轴
1.如图4-3-13，，射线以/秒的速度从出发，射线以/秒的速度从出发，两条射线同时开始逆时针转动秒.
(1)当秒时，求的度数.
(2)如图4-3-14，在射线转动过程中，射线始终在内部，且平分.若，求的值.
2.一副三角尺按照图4-3-15摆放在量角器上，边与量角器0刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与0刻度线重合时停止运动.设三角尺的运动时间为(秒).
(1)当秒时，边经过的量角器刻度线对应的度数为 °
(2) 秒时，边平分;
(3)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转，
(1)当为何值时，边平分;
(2)在旋转过程们，是否存在某一时刻，使得.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
3.已知:是内的射线.
(1)如图4-3-16所示，若平分平分，求的度数;
(2)如图4-3-17所示，也是内的射线，平分平分.当绕点在内旋转时，的位置也会变化但大小保持不变，请求出的大小;
(3)在(2)的条件下，以为起始位置(如图4-3-18)，当在内绕点以每秒的速度逆时针旋转秒，若，求的值.
课题学习
海选初战
1.图4-4-1是一个小长方体，用四个完全相同的这种小长方体可以拼成图4-4-2的一个大长方体，但是拼法不同，得到的大长方体尤不同.如果每个小长方体的长、宽、高分別是3，3，1，那么拼成的大长方体的表面积共有 种不同的值，这些值分别为 .
2.图4-4-3是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答.
(1)如果面在长方体的底部，那么 面会在上面;
(2)求这个长方体的表面积和体积.
3.仓库里有以下四种规格数量足够多的长方形、正方形的铁片(尺寸单位:分米):
从中选5块铁片，焻接成一个无盖的长方体（或正方体）铁盒(不浪费材料)，甲型盒是由2块规格(1)、1块规格(2)和2块规格(3)焯接而成的铁盒，乙型盒是容积最小的铁盒.
（1）甲型盒的容积为: 立方分米;乙型盒的容积为: 立方分米;(直接写出答案)
（2）现取两个装满水的乙型盒，再将其内部所有的水都倒人一个水平放置的甲型盒，求甲型盒中水的高度是多少分米.
4.如图4-4-5，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图.拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题.
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全;
(2)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积是 .
5.如图4-4-6，在一张正方形纸片的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子.请回答下列问题:
(1)剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为 ；如果设原来这张正方形纸片的边长为，所折成的无盖长方体盒子的高为，那么，这个无盖长方体盒子的容积可以表示为 ;
(2)如果设原来这张正方形纸片的边长为，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取时，诸计算折成的无盖长方体盒子的容积，下表中的和的值分别为 和 ；
观察表格可知，当小正方形的边长取 时，所得到的无盖长方体纸盒的容积最大.
精优演练
1.顾琪在家用剪刀展开了一个长方体纸盒,可是一不小心多剪了一条棱,把纸盒剪成了两部分,即图4-4-7中的①和②.根据你所学的知识,回答下列问题:
（1）顾琪总共剪开了_______条棱.
(2)现在顾琪想将剪断的②重新粘贴到①上去,而且经过折叠以后,仍然可以还原成一个长方体纸盒,你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置?请你帮助她在①上补全.
（3）已知顾琪剪下的长方体的长、宽、高分别是,求这个长方体纸盒的体积.
解：(1)8
(2)如图答4-4-3，四种情况.
2【阅读理解】
用的矩形瓷砖,可拼得一些长度不同但宽度均为的图案.已知长度为,的所有图案如下:
【尝试操作】
如图4-4-10,将小方格的边长看作,请在方格纸中画出长度为的所有图案.
【归纳发现】
观察以上结果,探究图案个数与图案长度之间的关系,将下表补充完整.
图案的长度
10cm
20cm
30cm
40cm
50cm
60cm
所有不同图案的个数
1
2
3
3.某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒,其平面展开图和相关尺寸如图4-4-11,其中阴影部分为内部粘贴角料.(单位:毫米)
(1)此长方体包装盒的体积为__________立方毫米;(用含x，y的式子表示)
（2）此长方体的表面积(不含内部粘贴角料)为___________平方竜米；(用含x,y的式子表示)
(3)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的,求当毫米,y=70毫米时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米.
提分压轴
1.拿一张长为、宽为的纸,作一圆柱的侧面,用不同的方法做成两种圆柱,画出图形并求这两种圆柱的表面积.
2.如图4-4-12，以一张方格纸(4×5)中的一个小方格为一个面.请回答下列问题:
(1)做一个无盖正方体纸纸盒需要多少个小方格?
(2)一张方格纸能做多少个无盖正方体纸盒?
(3)档几种不同剪法? 剪开的平面图完全相同只算一种,请画出.
直击中考
1.将图4-中考-1的平面图形绕直线旋转一周,得到的立体图形是( )
2.将图4-中考-2，一个正方体由27个大小相同的小立方块塔成，现从中取走若干个小立方块,
得到一个新的几何体.若新几何体与原正方体的表面积相等,则最多可能取走______个小立方块.
请你观察下列几种简单多面体模型:
(1)根据上面多面体模型,完成表格中的空格:
多面体
顶点数
面数
棱数
四面体
4
4
______
长方体
8
6
12
正八面体
________
8
30
正十二面体
20
12
12
你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是______________.
(2)一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条悛,则这个多面体的面数是
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体外表面三角形的个数为个,八边形的个数为y个,求的值.
4.我国运用长征火箭发射了百余颗人造卫星和5次神舟飞船.图4-中考-4是我国航天科技人员自主研究开发的长征系列火箭的简图.(火箭圆柱底面圆的周长不等于圆柱的高)
（1）请你画出火箭的平面展开图,并标上字母.
（2）写出平面图形中所有相等的量.
专题二
1.如图4-中考,点是线段的中点,点是线段AD的中点，若CD=1，则AB=______
2.（潍坊）某班50名同学分别站在公路的A，B两点处，A，B两点相距1000米，A处有30人，B处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（ ）
A.点处 B.线段的中点处
C.线段上,距点米处 D.线段上,距点400米处
3.在一条不完整的数轴上从左到右有点,其中,如图4-中考-6,设点所对应数的和是.
(1)若以为原点,写点所对应的数,并计算的值;若以为原点,又是多少?
(2)若原点在图4-中考中数轴上点的右边,且,求.
问题引人:
(1)如图4-中考-7,在△ABC中,点是和平分线的交点,若,则∠BOC=______________(用表示)；
如图4-中考,则∠BOC=_______(用表示).
拓展研究:
(2)如图4-中考,请猜想_______ (用表示),并说明理由.
类比研究:
(3)BO,CO分别是△ABC的外角∠DBC, ∠ECB的等分线,它们交于点,,请猜想∠BOC=____________
专题四
1.（随州）图4-中考-10是一个长方体形状包装盒的表面展开图.折叠制作完成后得到长方体的容积是（包装材料厚度不计）（ ）
A.40×40×70 B.70×70×80 C.80×80×80 D.40×70×80
2.(南昌）如图4-中考-11，贤贤同学用手工.纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适，以下裁剪示意图中，正确的是（ ）
3.(北京）美术课上，老师要求同学们将图4-中考-12的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（ ）
4.（遂宁）如图4-中考-13，已知MN是圆柱底面的直径，NP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P嵌有一条路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NP剪开，所得的侧面展开图是（ ）
第四章 综合能力测试
一.选择题
1.对于直线AB,线段CD,射线EF,在下列选项中能相交的是( )
2.据“反向延长线段CD”这句话,下列表示正确的是（ ）
3.已知A,B,C三点,若过其中任意两点画一条直线,则画出的不同直线( )
A.一定有三条 B.只能有一条
C.可能有三条,也可能只有一条 D.以上结论都不对
4.如图4-1,,则与的关系是( )
A.相等 B.互余 C.互补 D.无法确定
5.如果与互补,与互余,则与的关系是( )
A. B.
C. D.以上都不对
6.如图4-2,货轮在航行过程中,发现灯塔在它北偏东的方向上,海岛在它南偏东方向上.则下列结论:
(1);
(2)图中的补角有两个,分別是和;
(3) 图中有4对互余的角;
(4)货轮在海岛的西偏北的方向上.
其中正确结论的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图4-3,是一个正方体的表面展开图,则原正方体中"“梦”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A.大 B.伟 C.国 D.的
8.已知线段,点在氞线上,,点分别是的中点,则的长度为( )
A. B. C.或 D.或
9.某同学晩上6点多钟开始做作业,他家墙上时钟的时针和分针的夹角是,他做完作业后还是6点多钟,且时针利分针的夹角还是,此同学做作业大约用了（ )
A.40分钟 B.42分钟 C.44分钟 D.46分钟
10.如图4-4,在的外部,是锐角,平分平分,若度数逐漸变大,则变化情况是（ ）
A.变大 B.变小 C.保持不变 D.无法确定
二、填空题
11.要在墙上钉一根水平方向的术条,至少需要2个钉子,用数学知识解释为______________
12.如果一个角的补角比它的余角度数的3倍少,那么这个角的度数是_________
13.点A,在同一条直线上,,则的长为_________
14.把一个平角7等分,每一份的度数是（精确到分）_________
15.将一副三角板按图4-5摆放，若∠BAE=135°17’，则∠CAD的度数是________.
16.如图4-6，OM是∠A0B的平分线，射线OC在∠BOM内部.ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON的大小等于________
三、解答题
17.（1）如图4-7,,点在直线上且,求的长;
（2）若点在射线AB上,且,取的中点,已知线段的长为,求线段的长.(要求：在图4-8上补全图形)
18.已知点是直线上的一点,是的平分线.
(1)当点在直线的同侧如图4-9)时,试说明;
(2)当点与点在直线的两侧（如图4-10）时，⑴中的结论是否仍然成立,请写出你的结论，并说明理由.
19.如列4-11,已知线段,点为上的一个动点,点分别是和的中点.
(1)若,求的长.
(2)若(不超过),求的长.
(3)知识迁移:如图4-12,已知,过角的内部任意一点C画射线,若分别平分和,求的度数.
20.如图4-13,线段,点在线段.
（1）如图4-14，当点分别是线段和线段的中点时,求线段的长;
(2)当点,点分别是线段和线段BC的中点时，请你写出线段EF和线段AC之间的数量关系,并简要说明理由.
21.是的平分线,是的平分线.
(1)如图4-15,当是直角,时,的度数是多少?
(2)如图4-16,当时,猜想与的数量关系.
(3)如图4-17,当时,猜想：与有数量关系吗?如果有,指出结论并说明理由.
22.以直线上一点为端点作射线,使,将一个直角三角形的直角顶点放在点处.(注:)
（1）如图4-18,若直角三角板的一边放在射线上,则∠COE=________
（2）如图4-19,将直角三角板绕点顺时针方向转动到某个位置,若佮好平分,则∠COD=_______
（3）将直角三角板绕点顺时针方向转动到某个位置,,如果,求的度数.
23.已知线段(为常数),点为直线上一点(不与重合),点分别在线段上,且满足.
(1)如图4-20,当点恰好在线段中点时,则_______ (用含的代数式表示);
(2)若点为直线上任一点,则长度是否为常数?若是,请求出这个常数;若不是,请说明理由；
(3)若点C在点A左侧,同时点P在线段AB上(不与端点重合),请判断2AP+CQ-2PQ与1的大小关系,并说明理由.
24.如图4-21,点为直线上一点,过点作射线,使.将一直角三角板的直角顶点放在点处,一边在射线上,另一边在直线的下方.
(1)将图4-21中的三角板绕点逆时针旋转至图4-22,使一边在的内部,且恰好平分,问:直线是否平分?请说明理由.
(2)将图4-21中的三角板绕点按每秒4的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中,第秒时,直线恰好平分锐角,则的值为多少?
(3)将图4-21中的三角板绕点顺时针旋转至图4-23,使在的内部,请探究:与之间的数量关系,并说明理由.
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