新高考数学一轮复习提升练习考向39 直线与圆、圆与圆的位置关系 (含解析)

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考向39 直线与圆、圆与圆的位置关系

1．（2013·重庆高考真题（理））已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）
A．5﹣4 B．1 C．6﹣2 D．
【答案】A
【详解】
如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，
圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：=5﹣4．
故选A．


2．（2021·全国高考真题）（多选题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】
计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.


1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
dr⇔相离．
(2)代数法：
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
2.直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题．
3、判断圆与圆的位置关系时,一般用几何法,其步骤是
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d,求r1＋r2,|r1－r2|；
(3)比较d,r1＋r2,|r1－r2|的大小,写出结论．
1.直线与圆的三种位置关系
（1）直线与圆相离，没有公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相交，有两个公共点．
2.设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0),
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1,r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2| 两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解

【知识拓展】
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
3.当两圆相交时,两圆方程(x2,y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．


1．（2021·四川阆中中学高二月考（理））已知圆，圆，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国高三专题练习（理））已知，，，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国高三专题练习（理））已知，方程表示圆，则圆心坐标是______．
4．（2021·全国高三专题练习（理））已知三个点，，，则的外接圆的圆心坐标是___________.



1．（2021·广西南宁·高三模拟预测（理））已知圆，过点的直线l（不与x轴重合）与圆C相切，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广西南宁·高三模拟预测（文））已知直线与圆相切，则m的值为（ ）
A．3或 B．1或
C．0或4 D．或0
3．（2021·郸城县第一高级中学高三一模（文））若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·四川省武胜烈面中学校高二月考（理））已知圆，，则这两圆的公共弦长为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
5．（2021·河南驻马店·高三月考（理））过点作直线与圆相切于、两点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高三专题练习（文））已知圆与圆(是正实数)相交于两点，为坐标原点.当的面积最大时，则的最小值是（ ）
A． B．8 C．7 D．

7．（2021·肥城市教学研究中心高三模拟预测）（多选题）已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．弦的中点轨迹是圆
B．直线的交点在定圆上
C．线段长的最大值为
D．的最小值
8．（2021·全国高三模拟预测）（多选题）设有一组圆，，下列四个命题正确的是（ ）
A．存在，使得圆与轴相切 B．存在，使得圆与圆有公共点
C．存在一条直线与所有的圆均相交 D．存在，使得圆经过原点
9．（2021·上海高三模拟预测）已知圆，则直线和圆的位置关系为___________.
10．（2021·江苏省阜宁中学高二月考）已知直线，若直线与直线平行，则实数的值为______，动直线被圆截得弦长的最小值为______．
11．（2021·陕西高三模拟预测（文））已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，抛物线在点、处的切线互相垂直.
（1）求抛物线的方程；
（2）若以为直径的圆与直线相切，求.
12．（2020·浙江高三专题练习）已知椭圆与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）为坐标原点，若为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径的圆与椭圆的焦点为圆心，以为半径的圆交于，两点，求证：为定值.



1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分没必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也没必要条件
2．（2020·全国高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2014·湖南高考真题（文））若圆与圆外切，则
A．21 B．19 C．9 D．-11
5．（2008·重庆高考真题（理））圆O1：和圆O2：的位置关系是
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
6．（2020·浙江高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
7．（2021·天津高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
8．（2020·天津高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
9．（2007·山东高考真题（理））与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.

10．（2019·全国专题练习）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_________．

11．（2021·全国高考真题（文））抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
12．（2013·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上.

（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.




1． 【答案】B
【分析】
分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为．
，
又，，
所以，．
点关于轴的对称点为，

，
所以，，
故选：B．
2． 【答案】D
【分析】
建立直角坐标系，取AC中点N，得到M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，由B，N，M三点共线时，为最大值求解．
【详解】
如图所示，建立直角坐标系，取AC中点N，

∵，，
∴，
∴M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，
∴B，N，M三点共线时，取得最大值．
又因为，，
所以，，
∴的最大值为，
∴的最大值是，
故选：D．
3．【答案】
【分析】
先利用方程得到，求出或，然后分别求解即可．
【详解】
方程表示圆，
所以，解得或，
当时，方程，配方可得，所得圆的圆心坐标为；
当时，方程，即，此时，方程不表示圆．
综上所述，圆心坐标是．
故答案为：．
4．【答案】(1，3)
【分析】
设出圆的一般方程，代入三点坐标后可求解.
【详解】
设圆的方程为，
则，解得，
所以圆方程为，即，
所以圆心坐标为.
故答案为：.


1．【答案】D
【分析】
先求出圆心和半径，然后设圆与x轴相切于点A，l与圆相切于点B，点，则可得，从而可求出直线l的倾斜角，再求出斜率，进而可求出直线l的方程
【详解】
圆C可化为，∴圆心C坐标是，半径是．
设圆与x轴相切于点A，l与圆相切于点B，点，
则，故，
即直线l的斜率为，即l的方程为，即．
故选：D
2．【答案】A
【分析】
利用圆的切线性质结合点到直线的距离公式列式计算即得.
【详解】
圆的圆心为，半径为，因直线与圆相切，
则点到直线的距离为，整理得，解得或，
所以m的值为3或.
故选：A
3．【答案】A
【分析】
圆的圆心，由给定条件结合圆的性质可得，求出直线OP斜率即可计算作答.
【详解】
依题意，圆的圆心，因点为圆的弦的中点，
则有，而直线OP斜率为，于是得直线AB斜率，又直线过，因此有，即，
所以弦所在直线的方程为.
故选：A
4．【答案】C
【分析】
先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.
【详解】
由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.
又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.
故选：C.
5．【答案】B
【分析】
求出，求出以点为圆心、以为半径的圆的方程，然后与圆的方程作差可得出直线的方程.
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由圆的切线的性质可得，则，
所以，以点为圆心、以为半径的圆的方程为，
将圆的方程与圆的方程作差并化简可得.
因此，直线的方程为.
故选：B.
6．【答案】B
【分析】
由相交两圆的方程，求出直线AB方程，最大时为直角，由点直线距离求出m，n的关系，利用函数单调性即可得解.
【详解】
因圆与圆相交，则直线AB方程为：，
又|OA|=|OB|=1，则，当且仅当取“=”，
即为等腰直角三角形，点O到直线AB的距离为，则，
，而是正实数，则，即，
当且仅当时取“=”，

令函数，则，f(x)在上递减，，
所以的最小值是8.
故选：B
【点睛】
方法点睛：圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.
7．【答案】ACD
【分析】
设，，由已知结合垂径定理求得的轨迹判断；联立两直线方程消去判断；由选项、及两圆的位置关系判断；由数量积运算结合选项求得数量积的最小值判断．
【详解】
对于选项A：设，因为，为弦的中点，
所以.而，半径为，
则圆心到弦的距离为.
又圆心，所以，
即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确；
对于选项B：由，消去可得，
得，选项B不正确；
对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：，
又由选项B知，点的轨迹方程为：，
所以，
线段，故选项C正确；
对于选项D：
，故，
由选项C知，，
所以，故选项D正确.
故选：．
8．【答案】AC
【分析】
利用直线与圆的位置关系可判断AC选项的正误，利用圆与圆的位置关系可判断B选项的正误，利用点与圆的位置关系可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，当圆与轴相切时，，所以（舍）或（舍）或，故A正确；
对于B，圆与圆的圆心距为，两圆半径之差为，
所以圆内含于圆，故B错误；
对于C，因为所有圆的圆心均在定直线上，所以当直线为时，它与所有的圆均相交，故C正确；
对于D，若圆经过原点，则，解得，无正整数解，故D错误.
故选：AC.
9．【答案】相交
【分析】
根据圆的一般方程求得圆的圆心和半径，再求圆心到直线的距离，且与圆的半径比较可得结论.
【详解】
解：由圆得，圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以直线和圆的位置关系为相交，
故答案为：相交.
10．【答案】
【分析】
根据两直线的一般方程，利用直线平行的公式，代入即可求解；首先判断直线过定点，利用直线与圆的位置关系，判断当过点且与垂直的弦的弦长最短.
【详解】
由题意得，所以．
当时，两直线重合，舍去，故．
因为圆的方程可化为，
即圆心为，半径为5．
由于直线过定点，
所以过点且与垂直的弦的弦长最短，
且最短弦长为．
故答案为：；
11．【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，求得，利用已知条件结合导数的几何意义可求得正数的值，即可得出抛物线的方程；
（2）求出以及线段的中点的坐标，由已知条件可得出点到直线的距离等于，可得出关于的方程，即可解得的值.
【详解】
（1）设点、，联立，可得，
，由韦达定理可得，
抛物线对应的函数解析式为，求导可得，
因为抛物线在点、处的切线互相垂直，则，解得，
因此，抛物线的方程为；
（2），所以，，，
所以，，
设线段的中点为，则，，
即点，
因为以为直径的圆与直线相切，则，即.
①若，则，即，解得或，合乎题意；
②若，则，即，判别式，方程无实解.
综上所述，或.
12．【答案】（1）椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意，解方程组求得，的值，即可求解；
（2）设，则，写出圆和圆的方程，两个圆的方程相减可得直线的方程，计算点到直线的距离为，再利用计算弦长即可.
【详解】
（1）椭圆可得焦点，
抛物线的焦点为 ，所以①，
由可得，解得，
所以②，
由①②可得：，，
所以椭圆的方程为：，抛物线C的方程为：；
（2）设，则，圆的方程为：，
圆的方程为：，
所以直线的方程为：，
设点到直线的距离为，
则.
.
所以为定值.

【点睛】
方法点睛：圆的弦长的求法：
（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.




1．【答案】C
【分析】
由直线与圆相切的等价条件，易判断
【详解】
由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”，因此充分性成立；
“直线与圆相切”“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；
可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件
故选：C
2．【答案】B
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】
由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
【点睛】
本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
3．【答案】D
【分析】
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】
圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
4．【答案】C
【详解】
试题分析：因为,所以且圆的圆心为,半径为,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得
,故选C.
考点：圆与圆之间的外切关系与判断

5．【答案】B
【详解】
试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．
考点：圆与圆的位置关系．
6．【答案】
【分析】
由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可.
【详解】
设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以（舍）或者，
解得.
故答案为：
【点晴】
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
7．【答案】
【分析】
设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】
设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.
8．【答案】5
【分析】
根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．
【详解】
因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
9．【答案】
【详解】
曲线化为，
其圆心到直线的距离为
所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为
标准方程为．

10．【答案】4
【详解】
依题意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝4.
11．【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【分析】
（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【详解】
（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：

，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
【点睛】
关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示.

12．【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.
【详解】
（1）由得圆心，
∵圆的半径为1，
∴圆的方程为：，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．
∴，
∴，∴或．
∴所求圆的切线方程为或．
（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，
则圆的方程为．
又∵，
∴设为，则，整理得，设为圆．
所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，
∴，
由，得，
由，得．
综上所述，的取值范围为．
考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.
【方法点睛】
本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.