备战高考2024年数学第一轮专题复习9.5 三定问题及最值（精练）（提升版）（原卷版）

9.5 三定问题及最值（精练）（提升版）

1．（2022·成都模拟）已知椭圆的离心率为，且经过点，椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4．

（1）求椭圆C和抛物线E的方程；

（2）设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1） （2）

【解析】（1）解：由已知得，∴，．

∴椭圆的方程为．

∴椭圆的右顶点为．

∴，解得．

∴抛物线的方程为．

（2）解：由题意知直线l的斜率存在且不为0．

设直线的方程为，，．

由消去y，得．

∴，∴．

∴，．

∴

．

∴．

∴，∴．∴，此时．

∴直线l的方程为．

假设在轴上存在点，使得轴平分，

则直线的斜率与直线的斜率之和为，

设，，

由消去，得．

∴，即恒成立．

∴，．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．解得．

∴在轴上存在点，使得轴平分．

2．（2022·辽宁模拟）已知坐标原点为O，点P为圆 上的动点，线段OP交圆 于点Q，过点P作x轴的垂线l，垂足R，过点Q作l的垂线，垂足为S． 

（1）求点S的轨迹方程C；

（2）已知点 ，过 的直线l交曲线C于M，N，且直线AM，AN与直线 交于E，F，求证：E，F的中点是定点，并求该定点坐标

【答案】（1）  （2）

【解析】（1）解：设 由题意可得

所以 ，

所以代入 得点S的轨迹方程

（2）证明：设直线l的方程为 ， 

直线AM方程为： ，令

直线AN方程为： ，令

所以E，F的中点为

3．（2022·烟台模拟）已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以.

又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.

又，所以，.

所以椭圆的标准方程为

（2）解：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，，

将直线代入椭圆的方程得：，

由韦达定理得：，，

直线的方程为，直线的方程为，

所以，，

所以以为直径的圆为，

整理得：.①

因为，

令①中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.

1（2022·河东模拟）椭圆C：的离心率，．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．

【答案】（1）   （2）

【解析】（1）解：由椭圆的离心率，则，

又，

解得：，，

则椭圆的标准方程为：

（2）证明：因为，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为

联立整理得．

则，故，则．

所以

又直线AD的方程为．

联立，解得

由三点，共线，

得，所以．

的斜率为．

则．

为定值

2．（2022·四川模拟）在直角坐标系xOy中，长为3的线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，动点M满足

（1）求动点M的轨迹E的方程；

（2）设过点的动直线l与（1）中的轨迹E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）  （2）存在实数，使得为定值为5．

【解析】（1）解：设

由，得，即

而，即．所以，即．

（2）解：假设存在满足题意的直线，设．

当直线l的斜率存在时，设其方程为．

由，消去y，得．

则．

所以，，

则

当且仅当，即时，

当直线l的斜率不存在时，，若

则．

综上，存在实数，使得为定值为5．

3．（2022·西安模拟）已知抛物线C：的焦点为，准线与坐标轴的交点为，、是离心率为的椭圆S的焦点.

（1）求椭圆S的标准方程；

（2）设过原点O的两条直线和，，与椭圆S交于A、B两点，与椭圆S交于M、N两点.求证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.

【答案】（1） （2）

【解析】（1）解：化抛物线C：的方程为标准方程，即C：.得抛物线C的焦点，

设椭圆S的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c.则由题意得，，得.

∴，又椭圆S的焦点在y轴上.

∴椭圆S的标准方程为.

（2）证明：由题意知A、O、B共线，M、O、N共线，且，又由椭圆的对称性，知，.

∴四边形AMBN为菱形，且原点O为其中心，AM、BN为一组对边.

∴原点O到直线AM和到直线BN的距离相等

下面求原点O到直线AM的距离.

根据椭圆的对称性，不妨设A在第一象限.

当直线AM的斜率为零或不存在时，四边形AMBN为正方形，直线AB和直线MN的方程分别为和，且轴或轴.

设，则或.

于是，有，得.

原点O到直线AM的距离为.

当直线AM的斜率存在且不等于零时，设AM：.

由，消去并整理得，

且.

设，，则，，

∴

.

由，得，即，

得，满足.

∴原点O到直线AM的距离为.

∴原点O到直线BN的距离也为.

综上所述，原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.

4．（2022·浙江模拟）已知抛物线：经过点，焦点为F，PF=2，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．

（1）求抛物线C的方程

（2）求直线的斜率的取值范围；

（3）设为原点，，，求证：为定值．

【答案】见解析

【解析】（1）解：抛物线：经过点，

PF=1+2

解得，故抛物线方程为：

（2）解：由题意，直线的斜率存在且不为，

设过点的直线的方程为，

设，

联立方程组可得，

消可得，

，且，

解得，且，

则，，

又、要与轴相交，

直线不能经过点，即，

故直线的斜率的取值范围是；

（3）证明：设点，，

则，，

因为，所以，

故，同理，

直线的方程为

，

令，得，同理可得，

因为

，，为定值．

1．（2022·浙江模拟）如图，已知点，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是轴上一点，且在点左侧，过和的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D.

（1）求直线斜率的取值范围；

（2）记，MD分别与直线FG交于Q，R两点，求面积的最小值.

【答案】（1）（2）24

【解析】（1）解：由题意，椭圆，可得，可得，

因为是轴上一点，且在点左侧，设，其中，

则直线的斜率，即直线斜率的取值范围为

（2）解：设直线的方程为，

联立方程组，整理得，

设，，可得，

由，则， ， ，

所以，，则，

又由，

则，

由，可得，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以面积的最小值是24.

2．（2022·南充模拟）已知点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C相切于点，连接PF交抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线于另一点B．

（1）若，求直线l的方程；

（2）求三角形PAB面积S的最小值．

【答案】（1）（2）16

【解析】（1）解：由得，．所以，

所以在点P处的切线l方程为：，即．

（2）解：设，，，由，则，．

因为A、F、P三点共线，所以．

所以，由于，故，即．

所以．

由于，所以得．

直线PB方程：，即．

设A到直线PB的距离为d，则

又

所以．

当且仅当时，等号成立．

所以面积的最小值为16．

1．（2022·宜宾模拟）设抛物线：，以为圆心，5为半径的圆被抛物线的准线截得的弦长为8．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的两条直线分别与曲线交于点A，B和C，D，且满足，，求证：线段的中点在直线上．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）解：：的准线：

设到的距离为，

由已知得，∴，∴，∴

∴的方程为

（2）证明：设，

∵，∴

∴，∴

代入得

∴

∴

∵点N在抛物线内部，∴，，∴

同理

∴，是关于的方程的两根，

∴，∴

∴的中点在直线上．

2．（2022·和平模拟）已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.

（1）求椭圆C的方程：

（2）设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.

【答案】见解析

【解析】（1）解：由，

由，

，故，

∴，

∴，

∴，

即椭圆的标准方程为.

（2）解：假设满足条件的直线存在，

当直线的斜率不存在时，不合题意，

不妨设直线：，，，显然 ，

联立，得，

所以，

因为，，得，

即（3），

由（1），（3），得 （4），

将（1）（4）代入（3）得，

所以直线的方程为，

故存在直线，使得与的面积比值为5：7.

3．（2022·齐齐哈尔模拟）已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且，直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上．

【答案】（1）   （2）

【解析】（1）解：由可知，抛物线C的准线为：，

点到准线的距离为，根据抛物线定义：，，

抛物线C的方程为；

（2）解：设，，，，，．

，，

由，，得，即，

同理，

由得…①，

由得…②，

①②两式相加得，

即，

，，点T在定直线上．

综上，抛物线C的方程为.

4．（2022·聊城模拟）已知椭圆C：的离心率为，左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，M为C上一动点，面积的最大值为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，），直线，相交于点Q，证明：点Q在一条平行于x轴的直线上.

【答案】（1） （2）

【解析】（1）解：由椭圆C的离心率为得①，

由椭圆的几何性质知，当M为椭圆上（或下）顶点时，的面积最大，

②，

又，结合①②可解得，，

所以椭圆C的方程为.

（2）证明：由过的直线l不过，，可设其直线方程为，把代入，得，，即，

设，，则，，

直线的方程为，

直线的方程为，

设直线和的交点为，则

，

把及代入上式，得

，整理得，

故点Q在一条平行于x轴的直线上，得证.

5．（2022·河南模拟）已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点．

（1）求C的方程；

（2）若直线与C交于M，N两点，直线与相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程．

【答案】（1） （2）

【解析】（1）解：因为，所以，解得．

因为C过点，所以，解得．

所以C的方程为．

（2）证明：由题意，设，则，．

由，整理得，则，

解得且，，．

由得：，

所以点G在定直线上．