山西省长治市部分学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

2023-2024学年山西省长治市部分学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若是一元二次方程，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.抛物线的顶点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3.一元二次方程的一根是，则另外一根是(    )

A.  B.  C.  D.

4.二次函数的图象与轴的交点情况是(    )

A. 有个交点 B. 有个交点 C. 无交点 D. 无法确定

5.用配方法解方程，则配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.已知抛物线，若点都在该抛物线上，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.若，则关于的一元二次方程根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根

8.抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表下列结论不正确的是(    )

A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线与轴的一个交点坐标为
C. 抛物线的对称轴为直线 D. 函数的最大值为

9.如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的小路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使小路的面积为，设小路的宽为，则下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )
 

A.
B.
C. 当直线与该图像恰有三个公共点时，则
D. 关于的方程的所有实数根的和为
 

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.已知是方程的一个实数根，则的值为______ ．

12.将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为______ ．

13.若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是______ ．

14.“全晋乐购”网上年货节活动期间，某商家购进一批进价为元盒的吕梁沙棘汁，按元盒的价格进行销售，每天可售出盒后经市场调查发现，当每盒价格降低元时，每天可多售出盒若要每天盈利元，设每盒价格降低元，则可列方程为______ ．

15.已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
解方程：
；
．

17.本小题分
已知关于的一元二次方程．
判断方程根的情况，并说明理由；
若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根．

18.本小题分
已知二次函数的图象为抛物线．
写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
当时，求该二次函数的函数值的取值范围．

19.本小题分

如图，利用一面墙墙长米，用总长度米的栅栏图中实线部分围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米．
______米用含的代数式表示；
若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长；
矩形围栏面积是否有可能达到平方米？若有可能，求出相应的值，若不可能，请说明理由．

20.本小题分

某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为．
建立如图所示平面直角坐标系，求在第一象限部分的抛物线的解析式；
不考虑其它因素，求水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外．

21.本小题分
阅读下列材料：
我们把多项式及叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
，可知当时，有最大值，最大值是．
【直接应用】代数式的最小值为______ ；
【类比应用】若多项式，试求的最小值；
【知识迁移】如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙墙足够长，求围成的菜地的最大面积．

22.本小题分
在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图，花园四周小路的宽度相等；方案二：如图，矩形中每个角上的扇形相同．

求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为米，请列出方程，不做解答．
求方案二中扇形的半径；其中，结果保留根号
你还有其他的设计方案吗？请在图中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．

23.本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．

求抛物线的解析式；
点是线段上的一个动点不与、重合，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标．
在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：．
故选：．
根据一元二次方程的定义进行求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知一元二次方程的定义：一般地，形如、、都是常数，的方程叫做一元二次方程．

2.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故选：．
根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出顶点坐标．

3.【答案】 

【解析】【解答】
解：将代入方程可得：，
，
，
或，
故选：．
【分析】
将代入方程即可求出的值．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
二次函数的图象与轴有两个交点，
故选：．
根据判别式，得出结论．
本题考查抛物线与轴的交点，关键是抛物线与轴交点个数与判别式的关系．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好是方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
【解答】
解：，
，
，
．
故选A．

6.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点与对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，明确抛物线开口向下时离对称轴越近最大是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：，
而，
，即，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，再利用可判断即，然后根据根的判别式的意义进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

8.【答案】 

【解析】解：把，，分别代入得，
解得，
抛物线解析式为，
，
抛物线开口向下，所以选项正确，不符合题意；
当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，所以B错误，符合题意．
，
抛物线的对称轴为直线，所以选项正确，不符合题意；
当时，有最大值，所以选项正确，不符合题意；
故选：．
先利用待定系数法求出抛物线解析式为，根据二次函数的性质，由可对选项进行判断；解方程得抛物线与轴的交点坐标，则可对选项进行判断；利用配方法把一般式化为顶点式得到，则根据二次函数的性质可对、选项进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是求出该函数的解析式，利用二次函数的性质解答．

9.【答案】 

【解析】解：设道路的宽米，
则．
故选：．
设道路的宽米，小路的面积一个长宽的矩形面积一个长宽的矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
由是函数图象和轴的交点，解得：可判断、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得或 ，利用根与系数的关系可判断D正确．
【解答】
解：是函数图象和轴的交点，
，解得：，
，
故A、B错误；
如图，当直线与该图象恰有三个公共点时，应该有条直线，

故C错误；
关于的方程，即或，
当时，，
当时，，
关于的方程的所有实数根的和为，
故D正确，
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：是方程的一个实数根，
，
即，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

12.【答案】 

【解析】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为．
故答案为：．
根据函数图象平移的法则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：方程分解得：，
可得或，
解得：或，
若为腰，三角形三边为，，，不能构成三角形，舍去；
若为底，三角形三边为，，，周长为，
故答案为：．
方程利用因式分解法求出解得到的值，确定出等腰三角形三边，求出周长即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：设每件商品售价降低元，平均每天可售出盒．
依题意得：，
故答案为：．
设每件商品售价降低元，根据“每天盈利元”列出一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线与轴的一个交点为，
则关于对称的点为，
即抛物线与轴另一个交点为，
所以时，的取值范围是．
故答案为：．
根据解析式，得抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线与轴的另一个交点为，结合图形即可求解．
本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键．

16.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
或，
，． 

【解析】利用因式分解法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

17.【答案】解：方程有两个不相等的实数根．
关于的一元二次方程中，
，，，
，
，
，
原方程有两个不相等的实数根．
是方程的一个根，
，
；
设方程的另一个根为，
，
．
，方程的另一个根为． 

【解析】求出的值，再根据根的判别式判断即可；
把代入方程，求出的值，再设方程的另一个根为，根据根与系数的关系求出的值即可．
本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键．

18.【答案】解：，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，；
当时，；
当时，该二次函数的函数值的取值范围是． 

【解析】把一般式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得；
根据二次函数的性质可得出答案．
本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

19.【答案】 

【解析】解：设栅栏长为米，
栅栏的全长为米，且中间共留两个米的小门，
米，
故答案为：；
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
答：栅栏的长为米；
不可能，理由如下：
依题意，得：，
整理得：，
，
方程没有实数根，
矩形围栏面积不可能达到平方米．
设栅栏长为米，根据栅栏的全长结合中间共留个米的小门，即可用含的代数式表示出的长；
根据矩形围栏面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
根据矩形围栏面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏面积不可能达到平方米．
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．

20.【答案】解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
将代入得，，
解得，
抛物线的解析式为：．
令，得，，
解得舍或，
米，
水池的直径至少要米才能使喷出的水流不落到池外． 

【解析】由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为：，将代入得，求出的值即可；
令，得，，解得舍或，可得直径至少为米．
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．

21.【答案】 

【解析】解：，
当时，有最小值，最小值是，
故答案为：；

，
当，时，有最小值是，
的最小值是；

设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，
根据题意得，，
当时，有最大值，最大值是米；
围成的菜地的最大面积米．
仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
利用配方法把原式进行变形，含、的项分别结合，根据偶次方的非负性解答即可；
设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，根据矩形的面积公式得到，再利用配方法把原式进行变形，根据阅读材料解答即可．
本题考查的是配方法的应用，偶次方的非负性，二次函数的性质，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．

22.【答案】解：设小路的宽为，则；
四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为，故有，解得．
答：扇形的半径为；
设计方案如图所示：
 

【解析】按小明的思路，利用矩形的面积公式列方程，解答验证；
花园中每个角上的扇形相同，和在一起正好是一个圆，根据圆的面积公式列方程，进行解答，从而求出半径；
答案不唯一，发挥想象，符合要求即可．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用了矩形和圆的面积公式解决问题，是一道开放性很强的题目，能够激发学生的学习兴趣，同时培养了他们的创新思维能力．

23.【答案】解：将，代入抛物线解析式得：
，
解得：，
抛物线解析式为；

如图，

抛物线的对称轴为：，
，，
设直线的解析式为，
将、点坐标代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
四边形的面积，
当时，四边形的面积最大，最大值为，此时点坐标为；

，，
，
点在对称轴上，
设点坐标为，
，，
当时，，
解得：，此时点坐标为或；
当时，，
解得：或与重合，舍去，此时点坐标为；
当时，，
解得：，此时点坐标为；
综上所述，满足条件的点坐标为、、、 

【解析】将、点坐标分别代入抛物线解析式得，然后解方程组求出、即可得到抛物线解析式；
先求出抛物线的对称轴方程，从而得到，，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，所以，利用三角形面积公式得到，所以四边形的面积，然后利用二次函数的性质解决问题；
利用勾股定理计算出，利用等腰三角形的性质分三种情况进行讨论：、、，列式解答即可．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．