新高考数学二轮复习培优讲义08 三角函数图像与性质（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习培优讲义08 三角函数图像与性质（含解析），共46页。

讲义09讲： 三角函数图像与性质
【考点讲义】
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间

[2kπ－π，2kπ]

递减区间

[2kπ，2kπ＋π]

对称中心
(kπ，0)


对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ


2．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ


3．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
x





ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0

4．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径




【方法技巧】
1．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

2．求三角函数周期的方法
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝；
对形如y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，．
形如y＝|Asin ωx|(或y＝|Acos ωx|)的函数的周期T＝.
(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期．



3．三角函数周期性与奇偶性、对称性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个．
(3)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z))，求x即可．
(4)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可．


4．求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．


5．(1)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(2)当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．
(3)横向伸缩变换，只变ω，而φ不发生变化.


6．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.
(3)y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)，或把图象的最高点或最低点代入．
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.




【核心题型】
题型一：整体代入法求三角函数的单调区间、对称轴和对称中心
1．（2023春·河北·高二统考学业考试）函数的单调递增区间为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据辅助角公式,化简三角函数式,结合正弦函数的图像与性质,即可求得其单调递增区间.
【详解】由辅助角公式,化简三角函数式
可得

由正弦函数的图像与性质可知其单调递增区间满足
解得
即单调递增区间为,
故选：B
2．（2022秋·安徽·高三校联考开学考试）函数的图象的一个对称中心为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正切型函数的对称中心为 ，求解即可.
【详解】由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以为图象的一个对称中心，
故选：D
3．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知函数且，则函数的图象的一条对称轴是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出的取值，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】解：因为，所以，
即，
所以，
所以，
所以，，
又，令，，解得，，
所以函数的对称轴为，，，
故函数的一条对称轴为.
故选：A

题型二：代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴和对称中心
4．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列说法正确的是（    ）．
A．为奇函数 B．在上单调递减
C．在上的值域为 D．点是图象的一个对称中心
【答案】D
【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可求解.
【详解】由题知，
，所以A错误；
因为，，在上先增后减，所以B错误；
因为，，，所以C错误；
因为，所以点是图象的一个对称中心，所以D正确．
故选：D.
5．（2022秋·天津河西·高三天津市海河中学校考期末）已知函数，给出以下四个命题：
①的最小正周期为；
②在上的值域为；
③的图像关于点中心对称；
④的图像关于直线对称．
其中正确命题的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题知，进而结合三角函数性质依次讨论各选项即可.
【详解】解：，
所以的最小正周期为，①正确；
当，，
所以，即，故②错误；
当时，，故的图像关于对称，故③错误；
当时，，故的图像关于对称，故④正确.
故正确命题的个数是2个.
故选：B
6．（多选）（2022秋·山西晋中·高三校联考阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ）
A．函数在上单调递减
B．函数的图像关于中心对称
C．函数的对称轴方程为，
D．将的图像向右平移个单位长度后，可以得到的图像
【答案】ACD
【分析】根据函数的解析式分别应用对称轴,对称中心,单调性及平移逐个判断选项即可.
【详解】对于A: ,,所以函数在上单调递减,故A正确;
对于B:令,则,故函数的对称中心为,故B错误;
对于C: 令,则,故函数的对称轴为,故C正确;
对于D: 将的图像向右平移个单位长度可得,故D正确.
故选:ACD.

题型三：图像法求三角函数最值或值域
7．（2021春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知函数，则的最小值是_________.
【答案】
【分析】先将函数转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数的最大值和最小值，从而得出结果．
【详解】解：由题意可得，
其中，，且．
因为,
所以.
所以的最小值是.
故答案为：
8．（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）定义运算例如，，则函数的值域为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先阅读理解题意，可得，再作出函数在一个周期内的图象，再由图像观察值域即可.
【详解】根据题设中的新定义，得，
由可得，所以，所以，，即，，
由可得，所以，所以，，即，，
所以，
当，，，
当，时，，
所以函数为周期函数，周期为，
作出函数在一个周期内的图象（实线部分），观察图象，可知函数的值域为，
故选:D.

9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，求在区间上的最大值和最小值.
【答案】最大值为+1，最小值为0.
【分析】利用三角函数恒等变换转化为正弦型三角函数，根据自变量取值范围，利用正弦函数图象与性质求最值即可得解.
【详解】因为，
当时，.
由正弦函数在上的图象与性质知，
当，即时，
取最大值；
当，即时，
取最小值0.
综上，在上的最大值为，最小值为0.

题型四：换元法求三角函数最值或值域
10．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（    ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【分析】利用换元法，令，则原函数可化为，再根据二次函数的性质可求得其最大值
【详解】，
令，所以，则
，
所以，
所以原函数可化为，，
对称轴为，
所以当时，取得最大值，
所以函数的最大值为，
即的最大值为，
故选：C
11．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为________．
【答案】
【分析】令，函数化为，利用二次函数的性质即可求出.
【详解】由于，
令，则，
于是函数化为，
而 ，
所以当时，函数取最大值1，
当时，函数取最小值，故值域为.
故答案为：.
12．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝cos2x－sin x的值域是__________________
【答案】
【分析】将原函数转换成同名三角函数即可.
【详解】 ，
，当 时取最大值 ，
当 时，取最小值 ；
故答案为： .

题型五：利用三角函数单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数的值
13．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知函数的两个相邻的对称中心的间距为，现的图象向左平移个单位后得到一个奇函数，则的一个可能取值为（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出函数的周期，进而求出，再利用给定变换及奇函数求出作答.
【详解】由于函数的两条相邻的对称轴的间距为，该函数的最小正周期为π，即有，
则，将函数的图象向左平移个单位后，
得到函数，而函数为奇函数，
则，当时，，D正确，不存在整数k使得选项A，B，C成立.
故选：D
14．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题知，进而根据题意得在上单调递增，且，进而得或，再解不等式即可得答案.
【详解】解：，
因为，所以
因为函数在区间上单调递增，
所以函数在上单调递增，且，即.
因为，
所以，函数在上单调递增等价于或，
所以，解不等式得或，
所以，的取值范围是.
故选：D
15．（多选）（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数的最小正周期为，函数图象关于直线对称，且满足函数在区间上单调递减，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由周期为，可得.根据对称轴以及正弦函数的对称性可得或.分别将或代入，得出范围，根据正弦函数的单调性即可得出的值.
【详解】由已知函数的最小正周期为，可得.
又函数图象关于直线对称，所以有，
所以，又，所以或.
当时，，由可得，因为函数在上单调递减，满足题意；
当时，，由可得，因为函数在上单调递增，不满足题意.
所以，.
故选：CD.

题型六：五点法求三角函数解析式
16．（2020·全国·统考高考真题）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
17．（2022·山西运城·校联考模拟预测）设函数（，）的部分图象如图所示.若，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由图像可求出函数的解析式，由已知结合诱导公式知，再利用二倍角公式可求解.
【详解】由图可知，，
，，
，，
，，，
又，，
，



故选：A
18．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）


A．的最小正周期为
B．为偶函数
C．在区间内的最小值为1
D．的图象关于直线对称
【答案】AC
【分析】由图知，的最小正周期为，结论A正确；
求出，从而不是偶函数，结论B错误；
因为，，则在区间内的最小值为1，结论C正确；
因为为的零点，不是最值点，结论D错误.
【详解】解：由图知，的最小正周期为，结论A正确；
因为，，则．因为为在内的最小零点，则，得，所以，从而不是偶函数，结论B错误；
因为，，结合图像可得在区间内的最小值为1，结论C正确；
因为，则为的零点，不是最值点，结论D错误.
故选：AC．

题型七：三角函数图像的伸缩变换问题
19．（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
        
20．（2021·全国·统考高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
21．（2022·全国·高三专题练习）若函数在处有最小值，为了得到的图象，则只要将的图象（    ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【分析】由题意可得，结合可得的值，进而可得的解析式，再由图象的平移变换即可求解.
【详解】因为函数在处有最小值，
所以，可得：，
因为，所以，，
所以，
将的图象向左平移个单位长度可得
，
故选：C.
【高考必刷】
一、单选题
1．（2023春·安徽安庆·高一安徽省宿松中学校考开学考试）设函数，则下列结论正确的是（    ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．是偶函数
D．在区间上单调递增
【答案】C
【分析】对于A，求出函数的对称轴，可知不存在使得对称轴为直线，A错误；
对于B，求出函数的对称中心，可知不存在使其一个对称中心为，B错误；
对于C，由求出，利用诱导公式，结合偶函数的定义，可得C正确；
对于D，当时，求出整体的范围，验证不是单调递增，D错误.
【详解】由解得，
所以函数的对称轴为，
由解得，故A错误；
由解得，
所以函数的对称中心为，
由解得，故B错误；
，而，
所以是偶函数，C正确；
令，当时，
即，
此时在不是单调递增函数，故D错误.
故选：C.
2．（2022·高一课时练习）函数的单调增区间是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先利用诱导公式将函数化简为，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，所以，令，解得，故函数的单调递增区间为
故选：D.
3．（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由函数的图像关于对称，求出，再对化简即可求出.
【详解】函数变为，（令）.
因为函数的图像关于对称，所以,
解得：.
所以.
所以函数，其中,
其对称轴方程,所以.
因为，所以，所以.
当时， 符合题意.
对照四个选项，D正确.
故选：D.
4．（2022秋·河南郑州·高三统考期末）若将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，则函数图象的对称轴可能是（   ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
【答案】C
【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据平移变换和周期变换的特征求出函数的解析式，再根据正弦函数的对称性即可得出答案.
【详解】解：由题得，
将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，
令，得，
当时，得函数图象的一条对称轴为直线，
而，所以都不是函数的对称轴.
故选：C.
5．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）函数的最大值为2，且对任意的，恒成立，在区间上单调递增，则的值为（    ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据函数的最值可得A＝2，根据恒成立可得，由函数的单调性可得，进而求得，求出函数解析式，即可求解.
【详解】因为的最大值为2，所以A＝2，
因为恒成立，所以当时，函数取得最大值，
则，，所以，．
当时，，
因为在区间上单调递增，
所以，解得，即，
所以，则．
所以，
故选：B．
6．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数，若，，的最小正周期，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得，解不等式求出，再由周期公式求出，最后由可得答案.
【详解】，，则，，
∴，解得，因为，所以，
即，，
，，，
即，又
∴.
故选：D.
7．（2023·甘肃·模拟预测）设函数的部分图象如图所示，若，且，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图像求出，由得到，代入即可求解.
【详解】根据函数的部分图象，可得：A=1;
因为，，
结合五点法作图可得，，．
如果，且，结合，可得，
，，
故选：C．
8．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A的值，由周期求出的值，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，结合图象的变换规则，可得出的解析式，再利用正弦函数的单调性即可求解.
【详解】根据函数（，，）的部分图象，可得，，∴．结合五点法作图可得，∴，．
将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），可得的图象．再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象．令，求得，可得函数的单调递增区间为，，令，可得一个增区间为.
故选：A.
9．（2020秋·北京·高三北京八中校考期中）已知,，直线＝和＝是函数图象的两条相邻的对称轴，则＝（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于直线＝和＝是函数图像的两条相邻的对称轴，所以可得，从而可求出，又由直线＝为函数图象的对称轴，可得，从而可求出的值
【详解】解：因为直线＝和＝是函数图像的两条相邻的对称轴，
所以，即
所以，解得，
所以，
因为直线＝为函数图象的对称轴，
所以，得，
所以，
因为，所以
故选：A
【点睛】此题考查正弦函数的图像和性质的应用，属于基础题.
10．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）设函数，其中，，若，，则在上的单调减区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据的对称中心、零点求得，进而求得，结合三角函数单调区间的求法求得正确答案.
【详解】据题意可以得出直线和点分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心，
所以，
即（），
所以；又由得，
即（），
，所以，所以；
由得的单调减区间为（），
所以在上的单调减区间是.
故选：C
11．（2022·全国·高三专题练习）如图，点和点分别是函数(，，)图像上的最低点和最高点，若、两点间的距离为，则关于函数的说法正确的是（    ）

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增
【答案】C
【分析】首先利用二倍角公式将化简为，再由，分别为的图像上的最低点和最高点得到，再由，两点之间距离为得，从而求得的值，进而求得的值，由题可知的最小正周期为，由此得到的值，再由经过点及的范围求得的值，得到函数的解析式，进而判断函数在区间的单调性.
【详解】
如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，设两垂线的交点为，

连接，可知为直角三角形，，，
则，易知，解得，，
∴，，得，，
∴，故，
由函数的图像经过点可得，
则，，又，则，∴，
∴的单调递增区间为，得()，
的单调递减区间为，得()，
∴当时在区间上单调递减，故选C.
【点睛】已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：
(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
12．（2022秋·湖南怀化·高三校考开学考试）已知函数 的部分图象如图所示，点，，则下列说法中错误的是（　　）

A．直线是图象的一条对称轴
B．的图象可由 向左平移个单位而得到
C．的最小正周期为
D．在区间上单调递增
【答案】B
【分析】根据五点作图法可得，然后利用正弦函数的性质，代入逐一进行检验即可.
【详解】由函数部分图象，点，故 ，由于点 在单调递增的区间上，或 （舍去），
再根据五点法作图可得 ，求得，故 ．
对于A,令，求得，为最大值，故直线是图象的一条对称轴，故A正确；
对于B,把向左平移个单位，可得的图象，故B错误；
对于C,的最小正周期为 ，故C正确；
对于D，，  ，故单调递增，故D对.
故选：B
13．（2021春·广东东莞·高三东莞市光明中学校考开学考试）函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（    ）

A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】首先根据函数的图象得到，再根据三角函数的平移变换即可得到答案.
【详解】由题知：，所以，解得.
，
所以，，解得，.
又因为，所以，.
因为，所以只需将的图象向右平移个单位长度.
故选：A
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其部分图象如图所示，则下列关于的结论错误的是（    ）．

A．在区间上单调递增
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．的图象可由函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到
【答案】D
【分析】根据已知条件求得的解析式，再结合三角函数的单调性、对称性、三角函数图象变换等知识确定结论错误的选项.
【详解】由图可知，
，
，，
由于，所以，
所以.
A选项，，所以在区间上单调递增，A选项正确.
B选项，，B选项正确，
C选项，，C选项正确.
D选项，函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，所以D选项错误.
故选：D
15．（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，周期，
因为函数在上没有零点，所以，得，得，得，
假设函数在上有零点，
令，得，，得，，
则，得，，
又，所以或，
又函数在上有零点，且，
所以或.
故选：A
【点睛】关键点点睛：求出函数的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键.
16．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）若将函数的图象向右平移个单位长度后为奇函数，则的值可以为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移公式得出平移后的函数为，由该函数为奇函数可得答案.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度后可得
由题意为奇函数，则
所以，
对照分析答案，当时，
故选：C
17．（2022·全国·高三专题练习）已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简函数，然后根据图像的变换得函数的解析式，通过判断得，同时令取得最大值或最小值时，，再结合函数的图像，即可求得的最大值.
【详解】
．将图象向右平移至个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数，可得，
所以，，
∴，同时令取得最大值或最小值时，．当，时，，
根据函数的图象可知的最大值为个周期的长度，即
故选：C.

【点睛】关于三角函数解析式的化简，一般先利用诱导公式或者和差公式展开将解析式化为同角，然后利用降幂公式对函数进行降次处理，最后利用辅助角公式代入化简，最终将解析式化为的形式.
18．（2021·全国·高三专题练习）把函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则下列数中可能是的值的为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平移变换写出变换后函数解析式，再根据诱导公式得出结论．
【详解】由题意，
它为偶函数，则，，只有时满足．
故选：D．
19．（2022春·河南郑州·高三校联考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的均有成立，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接应用正弦函数的平移变换和伸缩变换的规律性质，求出函数g(x)的解析式，对任意的均有，说明函数在时，取得最小值，得出的表达式，从而得出正确答案.
【详解】将函数的图象向右平移个位长度，得到函数的图象，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得函数的图象，
所以．
由对任意的均有成立，所以在时取得最小值，
所以有， 而，
所以的最小值为．
故选：.
20．（2022秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）函数（且）在一个周期内的图象如图所示，将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A． B．1 C．－1 D．
【答案】A
【分析】由图象得的解析式，再由三角函数的图象变换可得函数的解析式，即可求.
【详解】解：由图象可知，则．由，得．
则．
∵点在函数图象上，∴，∴，．
∵，∴.
∴函数解析式为．
将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得．
故．
故选:A．
21．（2023·高三课时练习）已知函数（）在区间上有且仅有一个最大值和一个最小值，则实数的取值不可能是（    ）
A． B．3 C． D．4
【答案】D
【分析】化简函数的解析式为，由可计算出的取值范围，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】函数，其中，
令，则.
函数在区间上有且仅有一个最大值和一个最小值等价于函数在区间上有且仅有一个最大值和一个最小值，
则解得所以.
故选:D.

二、多选题
22．（2021·高一单元测试）已知函数满足，且，则下列说法正确的有（       ）
A．
B．
C．直线是图象的一条对称轴
D．点是图象的一个对称中心
【答案】ACD
【分析】由可知直线是函数的图象的一条对称轴，又，所以是函数的图象的一个对称中心，则，即，可求得的值，根据余弦型函数的性质计算即可判断各选项.
【详解】由可知直线是函数的图象的一条对称轴，故C选项正确；
又，所以是函数的图象的一个对称中心，
所以，即，又因为，所以
因为，所以当时，符合，故A选项正确；
所以，所以
因为
所以当时，符合条件，故B选项错误；
从而，
故点是图象的一个对称中心﹐故选项正确.
故选：ACD.
23．（2022秋·辽宁大连·高三统考期末）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）
A．的最小正周期为
B．图象的一个对称中心为
C．的单调递减区间为
D．的图象与函数的图象重合
【答案】ABC
【分析】根据三角函数平移变换和诱导公式可得；根据余弦型函数最小正周期可知A错误；利用代入检验法可知B错误；根据余弦型函数单调区间的求法可知C正确；利用诱导公式化简解析式可得，知D错误.
【详解】由题意知：；
对于A，的最小正周期，A正确；
对于B，当时，，此时，
是的一个对称中心，B正确；
对于C，令，解得：，
即，的单调递减区间为，C正确；
对于D，，
与图象不重合，D错误.
故选：ABC.
24．（2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）设函数，若函数为偶函数，则的值可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据三角函数变换结合条件可得，进而，即得.
【详解】因为，
所以，又函数为偶函数，
所以，即，
所以的值可以是，.
故选：BC.
25．（2023春·全国·高三校联考开学考试）记函数的最小正周期为，且，函数的图象关于点对称，则（    ）
A． B．
C． D．当取得最小值时，
【答案】BD
【分析】根据余弦函数的图像和性质可求出，进而可逐一判断每个选项的正误.
【详解】因为函数的图象关于点对称，
则，A错误；
又，
，得，
，，B正确；
，解得，
，
C错误；
当取得最小值，即时，，
，D正确.
故选：BD.
26．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）若函数的最小正周期为，则（    ）
A．
B．的图象与函数的图象重合
C．
D．存在唯一的，使得
【答案】BC
【分析】由最小正周期求出，得到函数解析式，A选项，法一：计算出，，故；法二：将代入计算出，即不是函数的对称轴，故，A错误；B选项，整体法利用诱导公式推导出B正确；C选项，计算出得到C正确；D选项，整体法求出，结合函数单调性及函数取值范围得到在上，有两解，D错误.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，则，
所以.
对于A，法一：，，，则A错误；
法二：意味着的图象关于直线对称，将代入，得的图象关于点对称，则A错误；
对于B，，则B正确；
对于C，，，则C正确；
对于D，，当，即时，，
使得；
当，即时，，
使得.
所以在上，有两解，则D错误.
故选：BC.
27．（2022秋·河北唐山·高三校考开学考试）已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ）
A． B．在单调递增
C．的图象关于对称 D．在上的最大值是1
【答案】AC
【分析】由周期求出，由图象变换求得的解析式并化简，然后由正弦函数的性质判断各选项．
【详解】由题意，，所以，
，，
，A正确；
时，，递增，递减，B错；
是最大值，C正确；
时，，的最小值是，的最大值是，D错；
故选：AC．

三、填空题
28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则函数的最大值为________．

【答案】
【分析】根据图象求得函数的解析式，化简函数的解析式，令，可得，将函数转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质可求得该函数的最大值.
【详解】由图象可得，
函数的最小正周期为，所以，
则，
因为，
所以，即，
由于，所以，，
所以，
因为
，
令，
则，可得，
所以，
因为，所以当时，函数取最大值，
即的最大值为，
故答案为：.
29．（2021·浙江·高三专题练习）已知函数图象的一条对称轴为，则___________，函数在区间上的值域为___________．
【答案】         
【分析】（1）由题可得，由此即可解出；
（2）可得，即可由求出值域.
【详解】因为函数的对称轴为，
由辅助角公式可得，
所以，即，
即，解得．
所以．
由，得，所以，
所以，故函数在区间上的值域为．
故答案为：；.
【点睛】本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据对称轴结合辅助角公式得出，继而求出.
30．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）已知函数，为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点．若，则的解析式为________．
【答案】
【分析】根据三角函数的图象，结合周期性、对称性分析运算.
【详解】因为B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，，所以由勾股定理可得．
又因为，则，解得或（舍去），
所以．
因为为函数图象的对称中心，则，，
所以，．
又因为，所以．
故.
故答案为：.
31．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知函数，若，，则_________．
【答案】
【分析】由，可得为偶函数，可得，再由，可得，进而可得，再将代入即得答案.
【详解】解：因为，所以为偶函数，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以．
故答案为：
32．（2022秋·山东东营·高三胜利一中校考期末）设函数，直线为图像的对称轴，为的零点，且的最小正周期大于，则_________．
【答案】
【分析】利用正弦函数的图像和性质求解即可.
【详解】因为函数的最小正周期大于,
所以，，
又因为直线为图像的对称轴，为的零点，且，
所以，解得，
将零点代入得，
所以，解得，，
又因为，所以当时，.
故答案为：
33．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数，将的图像向右平移个单位长度后的函数的图像，若为偶函数，则函数在上的值域为___________.
【答案】
【分析】根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据为偶函数求出的值，即可求出的解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】解：因为，
将的图像向右平移个单位长度得到，
又为偶函数，所以，，解得，，
因为，所以，
所以，因为，则，所以，
则.
故答案为：
34．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知函数在上单调递增，且在上有最大值．则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】通过函数在上单调递增，求出的范围，再根据在上有最大值可得，进而即得.
【详解】由，可得，
又函数在上单调递增，
所以，
所以，又函数在上有最大值，
所以，即，
综上，.
故答案为：.
35．（2023·高三课时练习）如图所示，函数的部分图像与坐标轴分别交于点、、，则的面积为______.

【答案】
【分析】先根据函数解析式求出点,再根据周期求出,利用面积公式求出面积即可.
【详解】在中，令，得，故；
又函数的最小正周期为，所以．
∴
故答案为:

四、解答题
36．（2022秋·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）已知．
（1）求函数的最小正周期及单凋递减区间；
（2）求函数在区间的值域．
【答案】（1）最小正周期是，单凋递减区间是；（2）.
【分析】先利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】，
，
，
．
（1）函数的最小正周期，
令，
解得，
所以函数的单凋递减区间是；
（2）因为，
所以，则，
所以，
所以函数的值域是．
【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．

37．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程
(2)求在上的值域.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）先利用倍角公式及辅助角公式变形化简，然后利用周期公式及正弦函数的性质求解即可；
（2）通过的范围求出的范围，进而可求出的范围，则在上的值域可求.
【详解】（1）由已知


则函数的最小正周期为，
令，得，
即函数的对称轴方程为；
（2）由（1），
，
，
，
，
即在上的值域为.

38．（2022秋·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求函数的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)函数的最大值为1，最小值为.

【分析】（1）对函数变形得到，求出的单调递减区间即可；
（2）先求出，利用正弦函数图象求解最值.
（1）
,
令，
解得：，
所以函数的单调递增区间为
（2）
当时，，
所以当，即时，取得最大值，
，
当，即时，取得最小值，
，
所以函数的最大值为1，最小值为．

39．（2022春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）已知函数的一部分图象如图所示，如果，，．

(1)求函数的解析式；
(2)记， 求函数的定义域；
(3)若对任意的， 不等式恒成立， 求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由图像可知，从而可求出的值，由图象可知，结合题意可求出的值，从而可求出函数解析式，
（2）由题意得，解不等式可求出函数的定义域，
（3）由题意可得，则，所以将问题转化为，从而可求出实数的取值范围．
【详解】(1)由图像可知
，
，

∴
(2)由（1) 知, 要使函数有意义,  
有, 故，即

解得
∴函数的定义域为
(3)
对, 有

，即
若对恒成立,
即的最小值大于.
故, 即.
所以实数的取值范围为

40．（2023·高三课时练习）函数（，）的部分图像如图所示，该图像与轴交于点，与轴交于点、，为最高点，且的面积为.

(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)根据三角形的面积得到周期，利用周期的计算公式可得：，然后再利用图象过点求出，进而求出函数的解析式；
(2)根据正弦函数的图象和性质得到时，，然后将不等式等价转化为，解不等式即可求解.
【详解】（1）由题意可知：的面积，
所以周期，则.
由，得，又，于是，
所以.
（2）由，则，得，
即.由，得，
即在上恒成立，
亦即.
因为，，
所以，解得，
即实数的取值范围是.