(新高考)高考数学二轮复习讲义01《三角函数的图像及性质》(解析版)

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01  三角函数的图象与性质核心考点读高考设问知考法命题解读三角函数的概念、诱导公式及同角关系式【2018新课标3文理4】若，则(   )三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查. 【2020新课标1理9】已知，且，则（    ）【2020新课标3文5】已知，则（  ）【2020新课标3理9】已知，则（    ）【2016新课标1文14】已知是第四象限角，且，则         ．【2020新课标2文13】若，则__________．【2018新课标2理15】已知，，则__________．【2017新课标1文15】已知，，则=__________．三角函数的图象及应用【2017新课标1理9】已知曲线，，则下面结论正确的是(   )【2017新课标3理6】设函数，则下列结论错误的是(    )【2020新课标1理7】设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（    ）【2020新高考全国10】下图是函数的部分图像，则（    ）三角函数的性质【2018新课标3文6】函数的最小正周期为(   )【2017课标2理14】函数的最大值是      ．【2019课标1文15】函数的最小值为．【2017新课标2文13】函数的最大值为     ． 核心考点一  三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．1.【2020新课标1理9】已知，且，则（    ）A．                B．                 C．                 D．【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又．故选A．2．【2016新课标1文14】已知是第四象限角，且，则         ．【答案】【解法1】由题意．因为，所以，从而，因此．故填．评注：此处的角还可由缩小至，但没必要．另外，还可利用来进行处理，或者直接进行推演，即由题意，故，所以．【解法2】考虑到，令，则，因为是第四象限角，所以，故，所以．【解法3】考虑，运用两角和的正切公式．令，则，因为是第四象限角，所以，故，从而，所以，故．【解法4】．【解法5】展开求出，运用两角和的正切公式．因为，所以，，因为是第四象限角，所以，，解得，，所以，故．【解法6】运用两角和的正弦公式求出，再运用两角和的正切公式．因为，是第四象限角，所以，从而 ，，所以，故．1．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2，1)，则tan等于(　　)A．－7          B．－           C.            D．7【答案】A【解析】由角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，可得x＝2，y＝1，tan α＝＝，∴tan 2α＝＝＝，∴tan＝＝＝－7.2.已知曲线f(x)＝x3－2x2－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos2－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为(　　)A.             B．－           C.             D．－【答案】A【解析】由f(x)＝x3－2x2－x可知f′(x)＝3x2－4x－1，∴tan α＝f′(1)＝－2，cos2－2cos2α－3sincos＝(－sin α)2－2cos2α－3sin αcos α＝sin2α－2cos2α－3sin αcos α＝＝＝＝.3.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π＋α)等于(　　)A．－          B．－          C.           D.【答案】B【解析】由诱导公式可得，sin ＝sin＝－sin ＝－，cos ＝cos＝cos ＝，即P，由三角函数的定义可得，sin α＝＝，则sin＝－sin α＝－.4.已知sin(3π＋α)＝2sin，则等于(　　)A.          B.           C.            D．－【答案】D【解析】∵sin(3π＋α)＝2sin， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则＝＝＝＝－.核心考点二  三角函数的图象及应用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象：(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换：(先平移后伸缩)y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．(先伸缩后平移)y＝sinxy＝sinωxy＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．1．【2017新课标1理9】已知曲线，则下面结论正确的是(   )A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线；B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线；C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线；D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线．【答案】D【解析】，，首先曲线、统一为一三角函数名，可将用诱导公式处理．．横坐标变换需将变成，即．注意的系数，在右平移需将提到括号外面，这时平移至，根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移．故选D2.【2020新课标1理7】设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（    ）A．                B．                 C．              D．【答案】C【解析】由图可得函数图象过点，将它代入函数可得，又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得，所以函数的最小正周期为，故选C．1.已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)A．向左平移个单位长度               B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度               D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x.把g(x)＝cos 2x变形得g(x)＝sin＝sin，所以只要将f(x)的图象向左平移个单位长度，即可得到g(x)＝cos 2x的图象，故选A.2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间上的值域为[－1,2]，则θ＝________.【答案】【解析】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则A＝2，＝－＝，解得T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)，当x＝时，f＝2sin＝0，又|φ|<π，解得φ＝－，所以f(x)＝2sin，因为函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝2sin＝2cos 2x，若函数g(x)在区间上的值域为[－1,2]，则2cos 2θ＝－1，则θ＝kπ＋，k∈Z，或θ＝kπ＋，k∈Z，所以θ＝.3.若将函数y＝cosωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sinωx的图象重合，则ω的最小值为(　　)A.              B.               C.                D.【答案】B【解析】将函数y＝cos ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝cos ω＝cos.∵平移后得到的函数图象与函数y＝sin ωx的图象重合，∴－＝2kπ－(k∈Z)，即ω＝－6k＋(k∈Z)．∴当k＝0时，ω＝.4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f(x)在区间上的零点为________．【答案】2　【解析】从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为，－，从而求得函数的最小正周期为T＝2＝π，根据T＝可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f(x)＝2sin，令2x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，结合所给的区间，整理得出x＝.核心考点三  三角函数的性质1.常用三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)：函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象递增区间[2kπ－π，2kπ]递减区间[2kπ，2kπ＋π] 奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)对称轴x＝kπ＋x＝kπ 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论：(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得.(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.1．【2019课标1文15】函数的最小值为__________．【答案】【解析】，，当时，，故函数的最小值为．2．【2017课标2理14】函数的最大值是          。【答案】【解析】∵ ，，∴ ，设，∴ ，函数对称轴为，∴ ．3.已知函数f(x)＝sin＋sin 2x＋a的最大值为1.(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间；(2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．【解析】(1)∵f(x)＝sin＋sin 2x＋a＝cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin＋a≤1，∴2＋a＝1，即a＝－1，∴最小正周期为T＝π.∴f(x)＝2sin－1，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)∵将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝f ＝2sin－1＝2sin－1.∵x∈，∴2x＋∈，∴当2x＋＝，即x＝0时，sin＝，g(x)取最大值－1；当2x＋＝，即x＝时，sin＝－1，g(x)取最小值－3.1.已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性.【解析】(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，∴ω＝2，于是f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.2.已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值.【解析】(1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋(2sin2ωx－1)＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin.由最小正周期为π，得ω＝1，所以f(x)＝2sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，整理得kπ－≤x≤kx＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象；所以g(x)＝2sin 2x＋1.令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4π＋＝.3.已知向量m＝(2cos ωx，－1)，n＝(sin ωx－cos ωx，2)(ω>0)，函数f(x)＝m·n＋3，若函数f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若将函数f(x)的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g(x)的图象，当x∈时，求函数g(x)的值域.【解析】(1)f(x)＝m·n＋3＝2cos ωx(sin ωx－cos ωx)－2＋3＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin.依题意知，最小正周期T＝π.∴ω＝1，因此f(x)＝sin.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，求得f(x)的增区间为，k∈Z.(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位，得y＝sin＝sin的图象.然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g(x)＝sin的图象.故g(x)＝sin，由≤x≤，知≤4x＋≤.∴－1≤sin≤.故函数g(x)的值域是[－，1].