高考数学二轮复习提升培优专题16圆锥曲线综合问题多选题（解析版）

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专题16 圆锥曲线综合问题 多选题（新高考通用）

1．（2023·广东·校联考模拟预测）已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（    ）
A．若，且轴，则的方程为
B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为
C．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为
D．若，则的离心率的取值范围是
【答案】AD
【分析】由双曲线上一点，及轴，可得的值，即可求得双曲线方程，从而判断A；根据双曲线渐近线方程与离心率的关系即可判断B；根据双曲线的离心率与焦点三角形的几何性质即可求得等腰的面积，从而判断C；由已知结合正弦定理与双曲线的定义、焦半径的取值范围即可求得双曲线离心率的范围，从而判断D.
【详解】对于A，若，且轴，则，，
所以，则，所以，则的方程为，故A正确；
对于B，若的一条渐近线方程是，则，离心率，故B不正确；
对于C，若的离心率为，则，所以，若点在的右支上，为等腰三角形，则，连接，如图，

则是直角三角形，所以，故C不正确；
对于D，若，由正弦定理得，可知点在双曲线的左支上，故，
则，又，所以，整理得，解得，
所以的离心率的取值范围是，故D正确.
故选：AD.
2．（2023·浙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，B点作准线的垂线，垂足分别为．设直线l的倾斜角为，当时，．则下列说法正确的是（    ）
A．有可能为直角
B．
C．Q为抛物线C上一个动点，为定点，的最小值为
D．过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在，使
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，再逐项分析、计算判断作答.
【详解】依题意，点，准线方程为，设，直线，
由消去x得：，，
当时，，，，
解得，抛物线，，
对于A，当时，，有，为直角，A正确；
对于B，，，，，

因此，即，而，则，B正确；
对于C，显然点E在抛物线C内，，当且仅当点Q是直线EF与抛物线C的交点时取等号，C错误；
对于D，由，，得，
，同理，
，
令，而，解得，则，D正确.
故选：ABD
3．（2023秋·浙江·高三期末）如图，已知抛物线，M为x轴正半轴上一点，，过M的直线交于B，C两点，直线交抛物线另一点于D，直线交抛物线另一点于A，且点在第一象限，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】设，得，由直线的方程以及根与系数关系求得，由直线的方程以及根与系数关系求得，根据弦长公式求得，进而求得，根据三角形的面积公式求得
【详解】设，则，设直线，
由消去并化简得，
A选项：所以，同理可得，所以，故A正确；
B选项：，故B错误；
C选项：同理可得，所以，所以，所以，
令，，
则，
所以，故C错误；
D选项：，故D正确．
故选：AD
4．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知椭圆，，分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的上顶点.设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（    ）
A．若直线与的斜率分别为，，则
B．直线与轴垂直
C．
D．
【答案】ABC
【分析】设，由斜率公式及点在椭圆上可得判断A，联立直线的方程求出、坐标，由条件可得即可判断B，求出中点在上，即可判断CD.
【详解】如图，

设，则，故A正确；
直线的方程为，直线的方程为，联立得，即，
同理可得，因为，所以，所以，则直线与轴垂直，故B正确；
同理，所以，故的中点在直线上，故C正确；D错误，
故选：ABC.
5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，直线交双曲线于两点，点为上一动点记直线的斜率分别为， 若，且到的渐近线的距离为，则下列说法正确的是（    ）
A．双曲线的离心率为
B．过右焦点的直线与双曲线相交两点，线段长度的最小值为4
C．若的角平分线与轴交点为，则
D．若双曲线在处的切线与两渐近线交于两点，则
【答案】ACD
【分析】首先由已知条件求得双曲线方程为，求出离心率判断A，由双曲线的性质求得最小值判断B，利用角平分线定理求得，计算三角形面积判断C，设，由导数求得切线方程后，求出点坐标，计算三角形面积判断D．
【详解】由题意知，
设，，则，
，，相减整理得，
，
，故，双曲线的方程为，
对于A：，故，选项A正确；
对于B：因实轴长，故选项B错误；
对于C：记，，，，，由角平分线定理得：，又，所以，于是，所以，，故选项C正确；
对于D：设，，，，
时，，，，
切线方程为，整理得,
同理时，，，，，
切线方程为，整理得,
时，或，切线方程为或，切线方程也可表示为,
所以过的切线方程为，与渐近线联立解得，故；与渐近线联立，解得，
于是，故选项D正确，
故选：ACD
6．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（    ）

A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18
【答案】CD
【分析】由结合离心率公式判断A；当长方体R的对称轴恰好就是的对称轴椭圆C时，求出蒙日圆的半径，进而判断BC；设长方体R的长为，宽为，由基本不等式判断D.
【详解】由题意可知，则椭圆C的离心率为，故A错误；
当长方体R的对称轴恰好就是椭圆C的对称轴时，其长为宽为，
所以椭圆C的蒙日圆的半径为，即椭圆C的蒙日圆方程为，故C正确，B错误；
设长方体R的长为，宽为，则，长方形R的面积为，
当且仅当时，取等号，即长方形R的面积最大值为18，故D正确；
故选：CD
7．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知F是抛物线的焦点，点在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线，分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则（    ）
A．四边形面积的最大值为2
B．四边形周长的最大值为
C．为定值
D．四边形面积的最小值为32
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，确定四边形形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦长即可计算推理判断C，D作答.
【详解】因为点在抛物线上，
所以，故，，
抛物线的焦点的坐标为，
因为，，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以四边形面积的最大值为2，故A正确.
由，
得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以四边形周长的最大值为，故B不正确.
设直线的方程为，联立消x得，
方程的判别式，
设，，则，
则，
同理得，
，C正确.
，所以，
当且仅当时，等号成立，
此时，故D正确.
故选：ACD.

8．（2023·辽宁·校联考一模）抛物线的焦点为，准线为，经过上的点作的切线m，m与y轴、l、x轴分别相交于点N、P、Q，过M作l垂线，垂足为，则（    ）
A． B．为中点
C．四边形是菱形 D．若，则
【答案】BCD
【分析】设与轴交点为，则未必是的中点，即可判断A，利用韦达定理表示出的坐标可判断B，根据菱形的判定定理可判断C，利用三角形的全等关系可判断D.
【详解】
设，可知斜率存在，可设，
将代入可得，由，即可得，
因此，令解得，所以，
又因为，，
要使，则必需为中点，则必有，即，
所以当且仅当时，才成立，无法满足任意性，A错误；
中令，于是，
因为，，所以为中点，选项B正确.
因为，所以是的垂直平分线，
而轴，所以四边形是菱形，选项C正确；
，由，可得，所以.
因为，所以，选项D正确.
故选：BCD.
9．（2023·河北邯郸·统考一模）已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，过作圆的切线l，切点为M，且直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，则下列结论正确的是（    ）
A．若，，则
B．若，则双曲线C的渐近线方程为
C．若，则双曲线C的离心率是
D．若M是的中点，则双曲线C的离心率是
【答案】ABD
【分析】，，，根据选项中的条件，求出和，利用双曲线的定义，求出渐近线方程和离心率等结果.
【详解】如图所示，

对于A：由，，得，所以，，．
设，则．
在中，由余弦定理可得，解得，
则，，从而，故A正确；
对于B：由，得，因为O为的中点，所以M为的中点．
由题意可知，，则，．
由双曲线的定义可得，即，
则双曲线C的渐近线方程为，故B正确；
对于C：由，得，则．
在中，由余弦定理可得，
整理得，则，故C错误；
对于D：因为M，O分别是，的中点，所以，所以，．
由双曲线的定义可得，即，则，故D正确．
故选：ABD
10．（2023·山东潍坊·统考一模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点.则（    ）
A．的渐近线方程为 B．点的坐标为
C．过点作，垂足为，则 D．四边形面积的最小值为4
【答案】ACD
【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断B项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，，所以的渐近线方程为，故A项正确；
对于B项，设，则，整理可得.
又，所以，所以有，解得，所以点的坐标为，故B项错误；

对于C项，如上图，显然为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点.
则垂直平分，即点为的中点.
又是的中点，所以，，故C项正确；
对于D项，，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：C项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出.
11．（2023·山东临沂·统考一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）
A．
B．延长交直线于点，则，，三点共线
C．
D．若平分，则
【答案】AB
【分析】根据题设和抛物线和性质得到点，，将点代入抛物线的方程得到，从而求出直线的方程，联立直线和抛物线得到点的坐标，即可判断选项A和C，又结合直线和直线得到点，即可判断B选项，若平分，得到，转化为直线斜率和直线的斜率的关系式即可求出.
【详解】由题意知，点，，如图：
将代入，得，所以，则直线的斜率，

则直线的方程为，即，
联立，得，解得，，
又时，，则
所以，所以A选项正确；
又 ，所以C选项错误；
又知直线轴，且，则直线的方程为，
又，所以直线的方程为，
令，解得，即，在直线上，
所以，，三点共线，所以B选项正确；
设直线的倾斜角为（），斜率为，直线的倾斜角为，
若平分，即，即，
所以，则，且，解得，
又，解得：，所以D选项错误；
故选：AB.
12．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知点是曲线：上的动点，点是直线上的动点.点是坐标原点，则下列说法正确的有（    ）
A．原点在曲线上
B．曲线围成的图形的面积为
C．过至多可以作出4条直线与曲线相切
D．满足到直线的距离为的点有3个
【答案】ACD
【分析】分类讨论后，根据对称性画出函数图像，从而可以进一步求解.
【详解】对于A：将原点坐标代入，正确，故A选项正确；
对于B：当时，
曲线：，
即，
即，
第一象限内曲线与坐标轴围成的图形的面积为，
所以总面积为：.
故选项B错误；


由函数图像知过至多可以作出4条直线与曲线相切，故选项C正确；
原点到直线的距离为：满足到直线的距离为的点有共3个，故选项D正确.

故选：ACD.
13．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，若直线的斜率之积为（为常数），则点的轨迹可能是（    ）
A．两条直线 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分
【答案】BCD
【分析】设出切线方程且斜率为，联立椭圆化简使判别式等于零得到关于等式，根据判别式及二次方程和韦达定理可得的范围及，根据的不同取值分别判断关于方程所对应的轨迹即可.
【详解】解：依题意可知直线和直线的斜率存在，
设过的椭圆的切线方程为，
联立化简可得：
，
取，
即，
且有，且上式两根分别为，
则上式的判别式，
整理得，符合题意，所以，
①若，则，
即点的轨迹是直线（两条）的一部分；
②若，则，即点的轨迹是直线（两条）的一部分；
若且，整理可得，
③当时，12，
轨迹方程可化为，即点的轨迹是圆的一部分；
④当或时，，且，
由于，且，所以点的轨迹是椭圆的一部分；
⑤当时，，表示焦点在轴上的双曲线，
由于，所以点的轨迹是双曲线的一部分.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于求轨迹方程的思路有：
(1)已知轨迹，建立合适的轨迹方程，用待定系数求解；
(2)未知轨迹，求哪点轨迹设哪点坐标为，根据题意建立关于的等式即可；
(3)轨迹不好判断，等式关系不好找时，找要求的轨迹点与题中的定点或定直线之间的定量关系，根据转化找出轨迹特点，建立轨迹方程，用待定系数求解.
14．（2023·湖南·模拟预测）已知O为坐标原点，，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线E的右支上一点，若，双曲线E的离心率为，则下列结论正确的是（    ）
A．双曲线E的标准方程为
B．双曲线E的渐近线方程为
C．点P到两条渐近线的距离之积为
D．若直线与双曲线E的另一支交于点M，点N为PM的中点，则
【答案】ACD
【分析】根据双曲线定义及离心率求出得到双曲线的标准方程，即可求出渐近线方程判断AB，再由点到渐近线的距离判断C，点差法可判断D.
【详解】根据双曲线的定义得，，故，由，得，
所以，所以双曲线E的标准方程为，渐近线方程为，即，所以A正确，B不正确；
设，则点P到两条渐近线的距离之积为，所以C正确；
设，，因为P，M在双曲线E上，所①，②，
①－②并整理得，，即，所以，所以D正确．
故选：ACD．
15．（2023·湖南张家界·统考二模）过抛物线的焦点F的直线交抛物线E于A，B两点（点A在第一象限），M为线段AB的中点.若，则下列说法正确的是（    ）
A．抛物线E的准线方程为
B．过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上
C．若为坐标原点，则
D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于C，D两点，则
【答案】BC
【分析】对于A项，方法一：运用韦达定理及抛物线定义表示、代入解方程即可；方法二：运用求解即可；对于B项，运用导数几何意义分别求得、，将的值代入计算即可；对于C项，运用韦达定理及抛物线弦长公式求得、及的值，进而求出点M坐标，运用两点间距离公式求得即可；对于D项，方法一：将中的斜率k换成可求得，进而求得的值；方法二：运用抛物线焦点弦长公式可得，进而求得的值.
【详解】对于A项，方法一：由题意可设过点的直线l的方程为，，设，，
联立方程组消去x整理得，可得.
因为，所以则，解得，所以抛物线，故抛物线E的准线方程为，故A项错误；
方法二：∵，∴，，
又∵，∴，解得：，
所以抛物线E：，故抛物线E的准线方程为，故A项错误；
对于B项，设，，抛物线，，，
易得，，所以，
所以直线NA，NB垂直，所以点N在以AB为直径的圆上，故B项正确；
对于C项，由A项知，抛物线E：，则直线l的方程为，，设，，
，
所以，，
又因为，所以，，，
所以，解得：，
所以，所以，
所以，，即：，
所以，故C项正确；
对于D项，方法一：由C项知，，，
又因为直线l垂直于直线m ，
所以，
所以.故D项错误.
方法二：由题意知.设直线的倾斜角为，由，，
易得直线的方程为，，，
根据焦点弦长公式可得，
所以.故D项错误.
故选：BC.
16．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（    ）
A．的离心率的取值范围为
B．的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
【答案】AC
【分析】根据重心性质得出中点的坐标，根据直线与的右支交于两点可知点在右支内部，将的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线的斜率与之间等式关系，由不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线的斜率与之间等式关系，即可得斜率的取值范围，解出即可.
【详解】解：设为的中点，根据重心性质可得，
因为，则，
因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，
故有，解得，
当直线斜率不存在时，的中点在轴上，
故三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为，设，
所以，，
因为在双曲线上，所以，
两式相减可得：，
即，
即有成立，
即有，因为不共线，
即，即，即，
所以的离心率的取值范围为，
因为
，
因为，即，
所以，
所以.
故选：AC
【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有：
（1）设出点的坐标；
（2）根据中点坐标建立等式：，；
（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；
（4）将，及代入等式中即可得出关系.
17．（2023·广东茂名·统考一模）已知抛物线，F为抛物线C的焦点，下列说法正确的是（    ）
A．若抛物线C上一点P到焦点F的距离是4，则P的坐标为、
B．抛物线C在点处的切线方程为
C．一个顶点在原点O的正三角形与抛物线相交于A、B两点，的周长为
D．点H为抛物线C的上任意一点，点，，当t取最大值时，的面积为2
【答案】ABD
【分析】根据抛物线定义判断A，利用导函数与切线的关系求解B，设点，根据点在抛物线上即可求解C，利用抛物线定义结合图形分析得到直线GH与抛物线C相切时t取最大值，即可求解.
【详解】A选项：由抛物线C的定义知，
解得代入可得，
所以P的坐标为、，故A正确；
B选项：由得，，
切线方抛物线C在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，故B正确；
C选项：顶点在原点O的正三角形与抛物线相交与A、B两点，
设正三角形的边长为，则根据对称性可得
且点在抛物线上，所以，解得，
所以这个正三角形的边长为，故C错误；
D选项：F为抛物线的焦点，过H作HD垂直抛物线C的准线于点D，
如图，

由抛物线的定义知，
当t取最大值时，取最小值，
即直线GH与抛物线C相切.
设直线HG的方程为，
由得，
所以，解得，
此时，即，
所以，故，
所以，故D正确.
故选:ABD.
18．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为D，E中点，直线l为抛物线C的准线，则（    ）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与y轴相切
C．的最小值为32 D．当取得最小值时，轴
【答案】CD
【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M的横坐标，结合抛物线定义，可判断A；利用抛物线定义推得,由此判断B；计算出弦长，可得的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C;求出的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D.
【详解】设，，，， ，
直线的方程为，则直线的方程为,
将直线的方程代入，化简整理得，
则，，
故,
所以，,
因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，
点M到直线l的距离，
又，所以，故A错误；
因为，
所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，
即以为直径的圆与l相切，故B错误；
同理，，所以，，，
则，当且仅当时等号成立，故C正确；
.
设，则，，.
当时，即时，最小，这时，即轴，故D正确,
故选:CD.
19．（2023·广东湛江·统考一模）已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点，则下列结论正确的有（    ）
A．
B．
C．
D．若，且，则双曲线C的离心率
【答案】AB
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程即可求得可判断选项C，再根据可判断选项A，利用可判断选项B，根据向量共线的坐标表示与余弦定理可判断D.
【详解】由，得，所以，
则在点处的切线斜率为，
所以在点处的切线方程为，
又有，化简即可得切线方程为，
所以，所以，故C错误；
由，得，又，所以，故A正确；
由，得，
故，
由，得
所以，
所以，
所以，
设点A到x轴的距离为h，
则，
，
，
又，所以，故B正确；
由上可得，
因为，则，得，
，
所以，
解得，故D错误，
故选:AB．
【点睛】关键点点睛:解决本题的关键在于利用导数的几何意义求切点处切线方程为
.
20．（2023·浙江·校联考三模）设椭圆，，为椭圆上一点，，点关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则（    ）
A．的最大值为
B．直线的斜率乘积为定值
C．若轴上存在点，使得，则的坐标为或
D．直线过定点
【答案】BCD
【分析】利用两点间距离公式表示出，结合可得关于的二次函数的形式，通过讨论与二次函数对称轴的位置关系，可求得的最大值，知A错误；利用斜率公式表示出，化简可得定值，知B正确；假设存在，可得，求得横坐标后，代入化简知C正确；表示出直线后，根据直线过定点的求法可知D正确.
【详解】
对于A，在椭圆上，，，
，
由题意知：，的对称轴为，
若，即时，，；
当，即时，，；
综上所述：A错误；
对于B，关于轴对称，，，，
，B正确；
对于C，假设存在点，使得，，则∽，；
直线，直线，，，
，即或，C正确；
对于D，，，，
直线，即，
直线过定点，D正确.
故选：BCD．
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用的问题，解题基本思路是能够利用表示出所需的点的坐标，结合两点间距离公式、斜率公式、三角形相似关系等知识化简所求量，从而确定选项的正误.
21．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（    ）
A．若直线l经过焦点F，且，则
B．若，则直线l的倾斜角为
C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为
D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切
【答案】BC
【分析】A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由列出方程，求出，A错误；B选项，先得到直线经过抛物线焦点，与A一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合求出直线l的斜率，得到倾斜角；C选项，设，由抛物线定义结合基本不等式得到的最小值；D选项，与C一样，考虑直线l不经过焦点时，得到圆M与准线相离，D错误.
【详解】A选项，由题意得：，准线方程为，
当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，
故，
则，所以，
解得：，A错误；
B选项，因为，所以三点共线，即直线经过抛物线焦点，
当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，
故，
因为，所以，
代入中，得到，
即，
因为点A在第一象限，所以，故，即，，
解得：
故直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，
解得：，B正确；
C选项，设，过点作⊥准线于点，过点作⊥准线于点P，

因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以⊥，
则，
由抛物线定义可知：，
由基本不等式得：，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即，C正确；
D选项，当直线l不经过焦点时，设，
由三角形三边关系可知：，
由抛物线定义可知结合C选项可知：，即，
若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.
故选：BC
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
22．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，为的上顶点，，是上两点．若，，构成以为公差的等差数列，则（    ）
A．的最大值是
B．当时，
C．当，在轴的同侧时，的最大值为
D．当，在轴的异侧时（，与不重合），
【答案】ABC
【分析】由题可得，根据椭圆的焦半径的取值范围可判断A，根据结合椭圆方程可求坐标，然后根据余弦定理可判断B，根据椭圆的性质结合基本不等式及斜率公式可判断CD.
【详解】因为椭圆，
所以，，，
又，，构成以为公差的等差数列，则，
不妨设，由题可知，则的最大值是，故A正确；
当时，，设，
则，解得，不妨取，

设，则，解得，
所以或，
当时，又，，此时；
当时，，，
所以，，
综上，当时，，故B正确；
设椭圆的右焦点为，则，，，，，

当，在轴的同侧时，则，关于轴对称，设，则，
所以，由，
所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故C正确；
当，在轴的异侧时（，与不重合），则，关于原点对称，

设，则，由，可得，
所以，故D错误.
故选：ABC.
23．（2023·福建漳州·统考二模）已知是双曲线的左、右焦点，且到的一条渐近线的距离为，为坐标原点，点，为右支上的一点，则（    ）
A． B．过点M且斜率为1的直线与C有两个不同的交点
C． D．当四点共圆时，
【答案】ACD
【分析】选项A利用双曲线的定义及性质判断即可，选项B利用直线与双曲线方程联立判断即可，选项C利用双曲线的定义及中线长的公式即可解决，选项D利用圆与双曲线的关系及性质即可.
【详解】设双曲线的半焦距为，一条渐近线为：
因为到的一条渐近线的距离为，
即，
所以，又，所以，故A正确，
对于B，双曲线的渐近线的斜率为1，所以过点M且斜率为1的直线为，
联立，消去得：，只有一个交点，故B错误，
对于C，由双曲线的定义知，，
所以，
因为为的中点，为右支上的一点，
所以，
所以


，
在中，由余弦定理得：

，
则有
即
，故C正确；
对于D，当四点共圆时，所在的圆方程为，
联立得，
因为，
所以，
当点的坐标为时，，
又，所以，
当点的坐标为时，，
又，所以，故D正确，
故选：ACD.
24．（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点，P为的中点，则下列说法正确的是（    ）
A．的最小值为4 B．的最大值为4
C．当时， D．当时，
【答案】AD
【分析】考虑直线的斜率不存在时，可得，当直线的斜率存在时，假设直线的方程为，代入抛物线可得，利用抛物线的定义可得，然后结合每个选项进行求解判断即可
【详解】由抛物线可得焦点，准线为，
对于A，当直线l的斜率不存在时，方程为，代入抛物线可得
所以此时；
当直线l的斜率存在时，假设直线的方程为，设
将直线方程代入抛物线可得
，则，
所以，
综上所述，的最小值为4，故A正确；
对于B，当直线l的斜率存在时，，故B错误；
对于C，因为P为的中点，，所以，所以，
则，所以，
将代入可得，解得或，
当时，易得不满足题意；
当时，，所以，故C错误；
对于D，由易得斜率存在，
由P为的中点可得即，
所以，解得，
所以，故D正确；
故选：AD
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
25．（2023·山东菏泽·统考一模）已知双曲线的左､右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（    ）
A．当点为线段的中点时，直线的斜率为
B．若，则
C．
D．若直线的斜率为，且，则
【答案】BCD
【分析】对于A选项，设，代入双曲线，用点差法即可判断；对于B选项，设，表示出和，得出，再结合即可得出结论；对于C选项，设，其中，由双曲线方程，得出，利用两点之间距离公式，分别表示出和，通过做差即可得出结论；对于D选项，根据双曲线的定义，得出，再证出点与点关于直线对称，则，即可得出结论．
【详解】选项A：
设，代入双曲线得，
，两式相减得，
，
∵点为线段的中点，
∴，，
即，，
∴，
，故A错误；
选项B：
设，
，，
，
，
又 ，
，故B正确；
选项C：
设，其中，
则，即，
，
，
，
，
，
，故C正确；
选项D：
，，
，，
，
∵直线的斜率为即，且过点，
∴直线的方程为：，
又∵，，

，
即，
又∵点到直线的距离：，
点到直线的距离：，
即，
∴点与点关于直线对称，
，
，故D正确；
故选：BCD．

【点睛】结论点睛：本题涉及到双曲线中的有关结论：
（1）若点是双曲线上一条弦的中点，则直线的斜率；
（2）若双曲线上有两点、，且位于不同两支，则．
26．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知曲线，抛物线，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有（    ）．
A．直线是曲线和的公切线；
B．曲线和的公切线有且仅有一条；
C．最小值为；
D．当轴时，最小值为．
【答案】ACD
【分析】利用导数求出斜率为1的切线并判断与是否相切判断A；设出公切线与和的切点，利用导数几何意义结合零点存在性定理判断B；利用抛物线定义转化求的焦点与P的距离最小值判断C；构造函数并求出最小值判断D作答.
【详解】对于A，对函数求导得，由得，则与曲线相切且斜率为1的直线切曲线于点，
切线方程为，由消去x得：，即直线与曲线相切，
所以直线是曲线和的公切线，A正确；
对于B，设曲线和的公切线与曲线相切于点，由选项A知，该切线斜率为，
切线方程为，由消去x得：，
因此，令，求导得，
当时，，当时，，则函数在上递减，在上递增，，
而，，即存在，使得，因此函数有0和两个零点，
显然当时，，因此的解有0和两个，即曲线和的公切线有两条，B错误；
对于C，抛物线的焦点，准线方程，则，
因此，当且仅当三点共线时取等号，
而，令，求导得，
显然在R上都递增，因此函数在R上递增，而，
即当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，
，因此，所以当，点Q为线段与抛物线的交点时，最小值为，C正确;
对于D，当轴时，，则，，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上递增，，
所以最小值为，D正确．
故选：ACD

【点睛】知识点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 已知斜率求切点即解方程；(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
27．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）如图所示，抛物线E：的焦点为F，过点的直线，与E分别相交于，和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时，．下列结论正确的是（    ）

A．E的方程为
B．
C．若AD，BC的斜率分别为，，则
D．若AD，BC的倾斜角分别为，，则的最大值为
【答案】AD
【分析】根据抛物线定义表示，由条件列方程求可得抛物线方程，判断A，设的方程为，利用设而不求法求，判断B，设，利用设而不求法求，根据直线AD经过点F，确定的关系，利用表示，判断C，讨论，结合关系利用基本不等式求的最值即可判断D.
【详解】当直线垂直于x轴时，直线的方程为，
所以点的横坐标为，
所以，又，
所以，所以抛物线的方程为，A正确；
所以，
若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有一个交点，以已知矛盾，
故可设直线的方程为，
联立，化简可得，
方程的判别式，
由已知为方程的两根，
所以，，B错误；
同理可设的方程为，
联立，化简可得，
方程的判别式，
设
所以，，
若直线的斜率存在，则，， ，
因为直线AD经过点F，所以，
所以，因为，
所以，
所以，
所以，，
所以，C错误；
因为AD，BC的倾斜角分别为，，
当时，因为，所以，
所以，
当时，，，
所以，此时，
当，因为，所以，
所以
所以，
当且仅当，时等号成立，即时等号成立，
所以的最大值为，D正确；
故选：AD.
【点睛】(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
28．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，弦的中点为，过两点分别作抛物线的两条切线交于点交抛物线于，过作抛物线的切线分别交于，则（    ）
A．轴 B．
C． D．成等比数列
【答案】ABD
【分析】通过切线求得点横坐标与点的横坐标相同，由此判断A选项的正确性.利用判断B选项的正确性.利用点到直线的距离公式以及三角形的面积公式判断CD选项的正确性.
【详解】设，则，由得，
故在处的切线方程分别为：，
即有：（），
设，切线均过点，
则切点弦所在直线方程为：，
又过点，则恒成立，即在直线上，
由（）可得，故轴，选项A正确，
，故，故，选项B正确；
根据题意，直线的斜率显然存在，设为，
则.
故，
到直线的距离分别为，
，故是的中位线，，
且，根据题意可得是中点，，
故，选项C错误，D正确；
答案选：ABD
【点睛】在圆锥曲线中求三角形的面积，关键点有两点，一个是选取底和高，不同的问题，求解三角形面积所用的底和高会有所不同.另一个是点到直线的距离公式，点到直线的距离公式的用途很广，需要准确的记忆，如要将直线方程转化为一般式，分子有绝对值等.
29．（2023·广东广州·统考一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（    ）
A．点的横坐标的取值范围是
B．的取值范围是
C．面积的最大值为
D．的取值范围是
【答案】BC
【分析】设出点P的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A；利用几何意义并结合求函数值域判断B；利用三角形面积公式计算判断C；取点计算判断D作答.
【详解】设点，依题意，，
对于A，，当且仅当时取等号，
解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A错误；
对于B，，则，
显然，因此，B正确；
对于C，的面积，当且仅当时取等号，
当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，
所以面积的最大值为，C正确；
对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D错误.
故选：BC
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.
30．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知为坐标原点，椭圆.过点作斜率分别为和的两条直线，，其中与交于两点，与交于两点，且，则（    ）
A．的离心率为 B．
C． D．四点共圆
【答案】ABD
【分析】求得点坐标并代入椭圆方程，由此求得，进而求得椭圆的离心率.设出直线和的参数方程并与椭圆方程联立，根据根与系数关系、圆的知识求得正确答案.
【详解】依题意，即，
所以，解得（负根舍去）.
所以椭圆，则.
依题意可知直线的倾斜角为锐角，且，
由解得.
直线的倾斜角为钝角，且，
由解得.
设直线的参数方程为（为参数），
由整理得，
解得（不妨设）.
设直线的参数方程为（为参数），
由整理得，
解得（不妨设）.
所以，B选项正确.
，C选项错误.
，
所以，而，所以，
所以，所以四点共圆.
（也可用圆的相交弦定理的逆定理，直接由判断出四点共圆）
所以D选项正确.
故选：ABD

【点睛】待定系数法求椭圆的方程，可利用题目所给已知条件，列出等量关系式，由此来求得椭圆方程中的未知参数.四点共圆的证明方法，可利用相交弦定理的逆定理，也可利用“同弧所对的圆周角相等”来证明.