2022年四川省成都市中考数学试卷

这是一份2022年四川省成都市中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年四川省成都市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．的相反数是　　
A． B． C． D．
2．2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
4．如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是　　

A． B． C． D．
5．在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的众数是　　
A．56 B．60 C．63 D．72
6．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的边长为　

A． B． C．3 D．
7．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为　　
A． B．
C． D．
8．如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是　　

A．
B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为
D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．计算：　　．
10．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是 　　．
11．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 　　．

12．分式方程的解为　 　．
13．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为 　　．

三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：．
（2）解不等式组：
15．（8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级
时长（单位：分钟）
人数
所占百分比


4



20









根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 　　，表中的值为 　　；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为的学生人数；
（3）本次调查中，等级为的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

16．（8分）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，

17．（10分）如图，在中，，以为直径作，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．
（1）求证：；
（2）若，，求及的长．

18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．已知，则代数式的值为 　　．
20．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 　　．
21．如图，已知是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 　　．

22．距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米与物体运动的时间（秒之间满足函数关系，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是 　　；当时，的取值范围是 　　．

23．如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为 　　．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示．
（1）直接写出当和时，与之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．
（1）当时，求，两点的坐标；
（2）连接，，，，若△的面积与的面积相等，求的值；
（3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

26．（12分）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．
【尝试初探】
（1）在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．
【拓展延伸】
（3）连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．



2022年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．的相反数是　　
A． B． C． D．
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：的相反数是．
故选：．
2．2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：160万，
故选：．
3．下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】选项根据合并同类项法则判断即可；选项根据去括号法则判断即可；选项根据完全平方公式判断即可；选项根据平方差公式判断即可．
【解答】解：．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意；
．，故本选项符合题意；
故选：．
4．如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是　　

A． B． C． D．
【分析】先根据平行线的性质得到，加上，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：，
，
，
当添加时，可根据“”判定；
当添加时，可根据“”判定；
当添加时，即，可根据“”判定．
故选：．
5．在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的众数是　　
A．56 B．60 C．63 D．72
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由题意知，这组数据中60出现3次，次数最多，
这组数据的众数是60，
故选：．
6．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的边长为　　

A． B． C．3 D．
【分析】连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长为3．
【解答】解：连接、，如图：

的周长等于，
的半径，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
即正六边形的边长为3，
故选：．
7．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为　　
A． B．
C． D．
【分析】利用总价单价数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：共买了一千个苦果和甜果，
；
共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
．
可列方程组为．
故选：．
8．如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是　　

A．
B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为
D．
【分析】由抛物线开口方向可判断，根据抛物线对称轴可判断，由抛物线的轴对称性可得点的坐标，从而判断，由所在象限可判断．
【解答】解：、由图可知：抛物线开口向下，，故选项错误，不符合题意；
、抛物线对称轴是直线，开口向下，
当时随的增大而减小，时随的增大而增大，故选项错误，不符合题意；
、由，抛物线对称轴是直线可知，坐标为，故选项错误，不符合题意；
、抛物线过点，由可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，
，故选项正确，符合题意；
故选：．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．计算：　　．
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可．
【解答】解：．
10．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是 　　．
【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．
【解答】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
解得，
故答案为：．
11．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 　　．

【分析】先根据位似的性质得到和的位似比为，再利用比例性质得到，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．
【解答】解：和是以点为位似中心的位似图形．
和的位似比为，
，
，
与的周长比是．
故答案为：．
12．分式方程的解为　　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：
13．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为 　7　．

【分析】设交于，连接，由作图可知：是线段的垂直平分线，即得，有，从而，由勾股定理得，故．
【解答】解：设交于，连接，如图：

由作图可知：是线段的垂直平分线，
，
，
，
在中，
，
，
故答案为：7．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：．
（2）解不等式组：
【分析】（1）根据负整数指数幂，算术平方根、特殊锐角三角函数值、绝对值以及实数混合运算的方法进行计算即可；
（2）利用解一元一次不等式组的解法进行解答即可．
【解答】解：（1）原式

；
（2）解不等式①得，，
解不等式②得，，
把两个不等式的解集在同一条数轴上表示如下：

所以不等式组的解集为．
15．（8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级
时长（单位：分钟）
人数
所占百分比


4



20









根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 　50　，表中的值为 　　；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为的学生人数；
（3）本次调查中，等级为的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

【分析】（1）用等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用4除以总人数得到的值；
（2）用500乘以等级人数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为（人，
所以；
故答案为：50；；
（2）（人，
所以估计等级为的学生人数为200人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
16．（8分）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，

【分析】利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在△中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
在中，，
，
由题意得：
，
，
，
在△中，，
此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为．
17．（10分）如图，在中，，以为直径作，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．
（1）求证：；
（2）若，，求及的长．

【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）连接．解直角三角形求出，，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，证明，利用相似三角形的性质求出即可．
【解答】（1）证明：，
，
，
，，
；

（2）解：连接．
，，
，
，
，
，，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．

18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．

【分析】（1）将点坐标分别代入一次函数解析式和反比例函数解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和勾股定理可求解；
（3）分别求出，，的解析式，联立方程组可求解．
【解答】解：（1）一次函数的图象过点，
，
，
点，
反比例函数的图象过点，
；
反比例函数的解析式为：，
联立方程组可得：，
解得：，，
点；
（2）如图，过点作轴于，过点作轴于，

，
，
，
当时，则，
点，
，
当时，则，
点，，
，
综上所述：的长为或；
（3）如图，当时，设直线与轴交于点，过点作轴于，设与轴的交点为，连接，交于点，

直线与轴交于点，
点，
点，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
点，
直线的解析式为：，
联立方程组得：，
解得：，，
点，
直线的解析式为：，
垂直平分，
设的解析式为，
，
，
点，，
点是的中点，点，
点．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．已知，则代数式的值为 　　．
【分析】先将代数式化简为，再由可得，即可求解．
【解答】解：原式


，
，
，
，
代数式的值为，
故答案为：．
20．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 　　．
【分析】设直角三角形两条直角边分别为、，斜边为，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再由勾股定理即可求出斜边长．
【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为、，斜边为，
直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
，，
斜边，
故答案为：．
21．如图，已知是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 　　．

【分析】作，，设的半径为，根据是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆，可得，、是等腰直角三角形，即可得，，从而求出答案．
【解答】解：作，，如图：

设的半径为，
是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆，
，、是等腰直角三角形，
，，
，，
这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：．
22．距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米与物体运动的时间（秒之间满足函数关系，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是 　　；当时，的取值范围是 　　．

【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解．
【解答】解：物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
抛物线的顶点的纵坐标为20，且经过点，
，
解得：，（不合题意，舍去），
抛物线的解析式为，
，
抛物线的最高点的坐标为．
，
当时，的取值范围是：；
当时，，当时，，
，，
当时，的取值范围是：．
故答案为：；．
23．如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为 　　．

【分析】如图，连接交于点，过点作于点，延长交于点，连接交于点，作关于的对称线段，则的对应点在线段上．当点是定点时，，当，，共线时，的值最大，最大值是线段的长，当点与重合时，点与重合，此时的值最大，最大值是线段的长，也就是线段的长．解直角三角形求出，可得结论．
【解答】解：如图，连接交于点，过点作于点，延长交于点，连接交于点，作关于的对称线段，则点的对应点在线段上．

当点是定点时，，
当，，共线时，的值最大，最大值是线段的长，
当点与重合时，点与重合，此时的值最大，最大值是线段的长，也就是线段的长．
四边形是菱形，
，，
．，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最大值为．
解法二：，显然的轨迹，故最大值为．勾股得，．，，可得．
故答案为：．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示．
（1）直接写出当和时，与之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？

【分析】（1）根据图象分段设出函数解析式，在用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设小时后乙在甲前面，用乙的路程大于甲的路程列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）当时，设，
把代入解析式得，，
解得：，
；
当时，设，
把和代入解析式，
得，
解得，
，
与之间的函数表达式为；
（2）设小时后乙在甲前面，
根据题意得：，
解得：，
答：0.5小时后乙骑行在甲的前面．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．
（1）当时，求，两点的坐标；
（2）连接，，，，若△的面积与的面积相等，求的值；
（3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

【分析】（1）当时，直线为，联立解析式解方程组即得，；
（2）分两种情况：当时，根据△的面积与的面积相等，知，可证明，得，，可求，，即可得；
当时，过作交轴于，由△的面积与的面积相等，可得，证明，可得，，从而，，即可得；
（3）设二根为，，可得，，，，，设直线解析式为，可得，即可得，，从而直线解析式为，故直线经过定点．
【解答】解：（1）当时，直线为，
由得：或，
，；
（2）当时，如图：

△的面积与的面积相等，
，
，
、关于轴对称，
，，
，
，
，，
，
，
在中，令得，
，，
，，
在中，令得，
解得或，
，，
把，代入得：
，
解得；
当时，过作交轴于，如图：

在中，令得，
，，
△的面积与的面积相等，
，
、关于轴对称，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
在中，令得，
解得或，
，，
把，代入得：
，
解得，
综上所述，的值为或；
（3）直线经过定点，理由如下：
由得：，
设二根为，，
，，，，
、关于轴对称，
，
设直线解析式为，将，代入得：
，
解得：，
，，
，，
直线解析式为，
令得，
直线经过定点．
26．（12分）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．
【尝试初探】
（1）在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．
【拓展延伸】
（3）连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．


【分析】（1）根据两角对应相等可证明；
（2）设，，则，，，由，列比例式可得，最后根据正切的定义可得结论；
（3）分两种情况：和，先根据三角形相似证明在射线上，再根据三角形相似的性质和勾股定理列等式可得结论．
【解答】解：（1）四边形和四边形是矩形，
，
，
，
，
在点的运动过程中，与始终保持相似关系；
（2）如图1，是线段中点，

，
设，，则，，，
由（1）知：，
，即，
，
，
，
，
当时，，
当时，；
综上，的值是．
（3）分两种情况：
①如图2，，

设，，
四边形是矩形，
，，
，
，
矩形矩形，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
；
②如图3，，

矩形矩形，
，，
，
，
，
，，共线，
，
，
，
，
，
，，
，
由①可知：，，，
由勾股定理得：，
，
（负值舍），
，
综上，的值是或．