2020年四川省成都市中考数学试卷

这是一份2020年四川省成都市中考数学试卷，共45页。试卷主要包含了选择题，填空题，羊二，直金十两．牛二，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学
A 卷（共 100 分） 第Ⅰ卷（选择题，共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一 项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1.－2 的绝对值是（ ）
A. －2 B. 1 C. 2 D.

1
2
2.如图所示的几何体是由 4 个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
3.2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，
它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约
36000 千米，将数据 36000 用科学记数法表示为（ ）
A. 3.6´103 B. 3.6´104 C. 3.6´105 D. 36´104
4.在平面直角坐标系中，将点 P(3, 2) 向下平移 2 个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A. (3, 0) B. (1, 2) C. (5, 2) D. (3, 4)
5.下列计算正确的是（ ）
A. 3a + 2b = 5ab B. a3 × a2 = a6
C. ( )
2
- 3 = 6 2 D. a2b3 ¸a = b3
a b a b
6.成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某
班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众
数和中位数分别是（ ）
A. 5 人，7 人 B. 5 人，11 人 C. 5 人，12 人 D. 7 人，11 人
7.如图，在 ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B 和C 为圆心，以大于

1
2

BC 的长为半径作弧，两弧
相交于点 M 和 N ；②作直线 MN 交 AC 于点 D ，连接 BD ．若 AC = 6 ， AD = 2 ，则 BD 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
8.已知 x = 2 是分式方程

k x -3
+ =1的解，那么实数 k 的值为（ ）
x x -1
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9.如图，直线l1 //l2 //l3 ，直线 AC 和 DF 被l1 ，l2 ，l 所截， AB = 5， BC = 6， EF = 4，则 DE 的长为
3
（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.

10
3
10.关于二次函数 y = x2 + 2x -8 ，下列说法正确的是（ ）
A. 图象的对称轴在 y 轴的右侧
B. 图象与 y 轴的交点坐标为 (0,8)
C. 图象与 x 轴的交点坐标为 (-2, 0) 和 (4, 0)
D. y 的最小值为－9
第Ⅱ卷（非选择题，共 70 分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，答案写在答题卡上）
11.分解因式： x2 + 3x = ___________.
12.一次函数 y = (2m -1)x + 2的值随 x 值的增大而增大，则常数 m 的取值范围为_________．
13.如图， A， B ，C 是 O 上的三个点， ÐAOB = 50° ， ÐB = 55° ，则ÐA 的度数为_________．
14.《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方
程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：
5 头牛、2 只羊共值金 10 两．2 头牛、5 只羊共值金 8 两．每头牛、每只羊各值金多少两？设 1 头牛值金 x 两，
1 只羊值金 y 两，则可列方程组为_________．
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上）
-2
æ 1 ö
2 sin 60°+ ç ÷ + 2 - 3 - 9
è 2 ø
15.（1）计算：

．
（2）解不等式组：

ì x - ³ x +
4( 1) 2
ï
í2x 1 > -
+
x 1
ï
î 3
æç - 1 ö÷ ¸ 2
x +
1
16.先化简，再求值：
è x + 3ø x -9
2

，其中 x = 3+ 2 ．
17.2021 年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动
会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮
球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有_________人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为_________；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰
好选中甲、乙两位同学的概率．
18.成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为
测量电视塔观景台 A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶 D 处测得塔 A 处的仰角为 45°，
塔底部 B 处的俯角为 22°．已知建筑物的高CD 约为 61 米，请计算观景台的高 AB 的值．
（结果精确到 1 米；参考数据：sin 22° » 0.37，cos 22° » 0.93， tan 22° » 0.40）
19.在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数
与 x 轴、 y 轴分别交于 B ，C 两点．

y

m
= （ x > 0 ）的图象经过点 A(3, 4) ，过点 A 的直线 y = kx + b
x
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若 AOB 的面积为 BOC 的面积的 2 倍，求此直线的函数表达式．
20.如图，在 ABC 的边 BC 上取一点O ，以O 为圆心，OC 为半径画⊙O，⊙O 与边 AB 相切于点 D ，
AC = AD，连接OA交⊙O 于点 E ，连接CE ，并延长交线段 AB 于点 F ．
（1）求证： AC 是⊙O 的切线；
（2）若 AB =10， tan 4
B = ，求⊙O 的半径；
3
（3）若 F 是 AB 的中点，试探究 BD+CE 与 AF 的数量关系并说明理由．
B 卷（共 50 分） 一、填空题（本大题共 5 个小題，每小題 4 分，共 20 分，答案写在答题卡上）
21.已知 a = 7 -3b ，则代数式 a2 + 6ab + 9b2 的值为_________．
3
22.关 x 的一元二次方程 2x2 - 4x + m - = 0 有实数根，则实数 m 的取值范围是_________．
2
23.如图，六边形 ABCDEF 是正六边形，曲线 FA1B1C1D1E1F1 …叫做“正六边形的渐开线”，

FA ，
1

A B ，
1 1


C B ，C D ,
1 1 1 1

D E ,
1 1

E F ，…的圆心依次按 A ， B ，C ， D ， E ， F 循环，且每段弧所对的圆心角均为
1 1
正六边形的一个外角．当 AB =1时，曲线 FA1B1C1D1E1F1 的长度是_________．
24.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y = mx （ m > 0）与双曲线 y 4
= 交于 A ，C 两点（点 A 在第一
x
象限），直线 y = nx（ n < 0 ）与双曲线 y 1
= - 交于 B ，D 两点．当这两条直线互相垂直，且四边形 ABCD
x
的周长为10 2 时，点 A的坐标为_________．
25.如图，在矩形 ABCD中， AB = 4 ， BC = 3， E ， F 分别为 AB ， CD 边的中点．动点 P 从点 E 出发
沿 EA 向点 A 运动，同时，动点Q 从点 F 出发沿 FC 向点C 运动，连接 PQ ，过点 B 作 BH ^ PQ 于点 H ，
连接 DH ．若点 P 的速度是点Q 的速度的 2 倍，在点 P 从点 E 运动至点 A 的过程中，线段 PQ 长度的最大
值为_________，线段 DH 长度的最小值为_________．
二、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分解答过程写在答题卡上）
26.在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区
用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为 10 元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线
下的月销量 y （单位：件）与线下售价 x （单位：元/件，12 £ x < 24）满足一次函数的关系，部分数据如
下表：
（1）求 y 与 x 的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜 2 元，且线上的月销量固定为 400 件．试问：当 x 为多少时，线上和
线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
27.在矩形 ABCD的CD 边上取一点 E ，将 DBCE沿 BE 翻折，使点C 恰好落在 AD 边上点 F 处．
（1）如图 1，若 BC = 2BA，求 ÐCBE 的度数；
（2）如图 2，当 AB = 5，且 AF ×FD =10 时，求 BC 的长；
（3）如图 3，延长 EF ，与 ÐABF 的角平分线交于点 M ， BM 交 AD 于点 N ，当 NF = AN + FD 时，
求

AB
BC

出的值．
28.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y = ax2 +bx +c与 x 轴交于 A(-1, 0) ， B(4,0)两点，与 y 轴交
于点C(0,-2)．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 AD ，BC 交于点 E ，连接 BD，记 DBDE 的面积为 S ，
1

DABE 的面积为

S ，求
2

S
1
S
2

的最大值；
（3）如图 2，连接 AC ， BC ，过点O 作直线l//BC ，点 P ，Q 分别为直线和抛物线上的点．试探究：在
第一象限是否存在这样的点 P ，Q ，使 DPQB∽DCAB ．若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若
不存在，请说明理由．
2020 年成都市初中毕业生学业考试
数学参考答案与解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质解答即可．
【详解】解：−2 的绝对值是 2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
2. 【答案】D
【解析】
【分析】
根据左视图的定义“从主视图的左边往右边看得到的视图就是左视图”进一步分析即可得到答案．
【详解】从主视图的左边往右边看得到的视图为：
故选：D.
【点睛】本题考查了左视图的识别，熟练掌握相关方法是解题关键．
3. 【答案】B
【解析】
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a ´10n ，其中1„ | a |<10 ， n 为整数，据此判断即可．
【详解】解：36000 = 3.6´104 ．
故选： B ．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为 a ´10n ，其中1„ | a |<10 ，确
定 a 与 n 的值是解题的关键．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小
数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
4. 【答案】A
【解析】
【分析】
根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加”，即可解答．
【详解】解：将点 P(3, 2)向下平移 2 个单位长度所得到的点坐标为(3,2-2)，即(3, 0)，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；
纵坐标，上移加，下移减．
5. 【答案】C
【解析】
分析】
根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；同底数幂相除，
底数不变指数相相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】解：A．不是同类项，不能合并，选项 A 错误；
B． a3 ×a2 = a5 ； 选项 B 错误；
C．( )
2
-a b = a b ，选项 C 正确；
3 6 2
D． a2b3 ¸ a = ab3 ，选项 D 错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式运算的法则，涉及了合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方、同底数幂除法，
解题关键是熟记运算法则．
6. 【答案】A
【解析】
【分析】
根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．
【详解】解：将数据从小到大排列为：5，5，7，11，12
所以这组数据的众数为 5，中位数为 7.
故选：A．
【点睛】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．
7. 【答案】C
【解析】
【分析】
由作图可知， M N 是线段 BC 的垂直平分线，据此可得解．
【详解】解：由作图可知， M N 是线段 BC 的垂直平分线，
∴BD=CD=AC-AD=6-2=4，
故选：C
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这
一性质添加辅助线是解题的关键．
8. 【答案】B
【解析】
【分析】
将 x = 2 代入原方程，即可求出 k 值．
【详解】解：将 x = 2 代入方程
k + 2 -3 =
2 2 -1
1
解得： ． k = 4

k x -3
+ =1
中，得
x x -1
故选：B．
【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这
类题的解题通法．
9. 【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【详解】解：∵直线 l1∥l2∥l3，
∴

AB DE
= .
BC EF
∵AB=5，BC=6，EF=4，
∴

5 DE
= .
6 4
10
3
∴DE=

.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此
题的关键．
10. 【答案】D
【解析】
【分析】
先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】∵ y = x2 + 2x -8=(x +1)2 -9
∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在 y 轴的左侧，故选项 A 错误；
令 x=0，则 y=-8，所以图象与 y 轴的交点坐标为(0,-8)，故选项 B 错误；
令 y=0，则 x2 + 2x -8=0，解得 x1=2，x2=-4，图象与 x 轴 交点坐标为 (2, 0) 和(-4, 0) ，故选项 C 错误；
∵ y = x2 + 2x -8=(x +1)2 -9，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项 D 正确．

故答案为：30°．
【点睛】本题考查了圆的基本性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆的性质以及圆周角定理．
14. 【答案】

ì + =
5x 2y 10
íî + =
2x 5y 8
【解析】
【分析】
设 1 头牛值金 x 两，1 只羊值金 y 两，根据等量关系 “①5 头牛，2 只羊共值 10 两金；②2 头牛，5 只羊共
价值 8 两金”，分别列出方程即可求解．
【详解】设 1 头牛值金 x 两，1 只羊值金 y 两，由题意可得，
ì x + y =
5 2 10
í + =
．
î
2x 5y 8
故答案为：

ì5 + 2 =10
x y
í + =
．
î
2x 5y 8
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
15. 【答案】（1）3；（2） 2 £ x < 4
【解析】
【分析】
（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂性质、绝对值的性质及二次根式的化简分别求出各数的值，
由此进一步计算即可；
（2）首先将原不等式组中各个不等式的解集求出来，然后进一步分析得出答案即可.
【详解】（1）原式=2 3 4 2 3 3
´ + + - -
2
= 3 +6- 3 -3
=3；
（2）解不等式 4(x -1) ³ x + 2可得： x ³ 2 ，
解不等式

2x +1 > -
x 1可得： x < 4 ，
3
∴原不等式组的解集为 2 £ x < 4 ．
【点睛】本题主要考查了含有特殊角的三角函数值的实数的混合运算以及解不等式组，熟练掌握相关概念
及方法是解题关键.
16. 【答案】 x -3， 2
【解析】
【分析】
括号内先通分进行分式减法运算，然后再进行分式除法运算，化简后代入 x 的值进行计算即可．
æç - ö÷ ¸
1 x + 2
1 【详解】
è x + 3ø x -9
2
æ x + - ö ¸ x +
3 1 2
=
çè + + ÷ø -
x 3 x 3 x 9
2
x 3 1 x 2
+ - ¸ +
= ( )( )
x + 3 x + 3 x -3
= 2 ( 3)( 3)
x + x + x -
x + 3 x + 2
= x -3．
当 x = 3+ 2 时，原式 = 3+ 2 -3 = 2 ．
【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的加减法、乘除法、实数的混合运算等，
熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
17. 【答案】（1）180；（2）126°；（3）

1
6

．
【解析】
【分析】
（1）根据跳水的人数及其百分比求得总人数；
（2）先求出田径及游泳的人数，再用总人数减去田径人数、游泳人数、跳水人数即可得到篮球人数，求出
其所占总数的百分比，最后乘以 360°即可得到结果；
（3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公
式求解．.
【详解】（1）54÷30%=180（人）
故答案为：180；
（2）田径人数：180×20%=36（人），
游泳人数：180×15%=27（人），
篮球人数为：180-54-36-27=63（人）
63
360°´ =126°， 图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为：
180
故答案为：126°；
（3）画树状图如下：
由上图可知，共有 12 种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有 2 种．
2 1
所以 P（恰好选中甲、乙两位同学）= =
12 6

．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能 结果 n，再从中选出符合
事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．也考查了统计图．
18. 【答案】观景台的高 AB 约为 214 米．
【解析】
【分析】
过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，由题意可得四边形 DCBM 是矩形，由矩形的性质可得 BM=CD=61 米；在
Rt△BDM 中，∠BDM=22°，BM=61 米，由此可得 tan22°=

61
DM

，即可求得 DM=152.5 米；再证明△ADM
为等腰直角三角形，可得 DM=AM=152.5 米，由此即可求得观景台的高 AB 的长．
【详解】过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，由题意可得四边形 DCBM 是矩形，
∴BM=CD=61 米，
在 Rt△BDM 中，∠BDM=22°，BM=61 米， tan∠BDM=

BM
DM

，
∴tan22°=

61
DM

，
解得，DM=152.5 米；
∵∠ADM=45°，DM⊥AB，
∴△ADM 为等腰直角三角形，
∴DM=AM=152.5 米，
∴AB=BM+AM=61+152.5=213.5≈214（米）．
答：观景台的高 AB 约为 214 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构建直角三角形是解决问题的关键．
19. 【答案】（1）

y

= 12 ；（2） 2 2
y = x + 或 y = 2x -2
x 3
【解析】
【分析】
（1）根据题意将点 A 坐标代入原反比例函数解析式，由此进一步求解即可；
（2）根据题意，将直线解析式 y = kx + b 分 k < 0 以及 k > 0 两种情况结合 AOB 的面积为 BOC 的面积的
2 倍进一步分析求解即可.
【详解】（1）∵反比例函数

y

m
= (x > 0)的图象经过点 A(3，4)，
x
∴ 4

m
= ，
3
解得： m =12，
∴原反比例函数解析式为：

y

12
= ；
x
（2）①当直线 y = kx + b 的 k < 0 时，函数图像如图所示，
此时 S BOC > S AOB
△ △ ，不符合题意，舍去；
②当直线 y = kx + b 的 k > 0 时，函数图像如图所示，
设 OC 的长度为 m，OB 的长度为 n，
∵ AOB 的面积为 BOC 的面积的 2 倍
∴

1 1
n´4 = mn´2，
2 2
∴ m = 2 ，
∴OC 的长为 2，
∴当 C 点在 y 轴正半轴时，点 C 坐标为(0，2)，
∴ y = kx + 2
∵点 A 坐标为(3，4)，
∴ 4 = 3k + 2，
∴

2
k = ，
3
∴直线解析式为：

2
y = x + 2 ，
3
当 C 点在 y 轴负半轴时，点 C 坐标为(0，−2)，
∴ y = kx -2
∵点 A 坐标为(3，4)，
∴ 4 = 3k - 2，
∴ k = 2，
∴直线解析式为： y = 2x -2 ，
综上所述，直线解析式为：

2
y = x + 或 y = 2x -2 .
2
3
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
20. 【答案】（1）见解析；（2）

8
3

；（3） AF = BD+CE ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接 OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，
可得结论；
（2）由锐角三角函数可设 AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求 BC=6，再由勾股定理可求解；
（3）连接 OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠OED，由三角形内角和定理可得
∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，可得∠DEF=∠DFE，
可证 DE=DF=CE，可得结论．
【详解】解：（1）如图，连接 OD，
∵⊙O 与边 AB 相切于点 D，
∴OD⊥AB，即∠ADO=90°，
∵AO=AO，AC=AD，OC=OD，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠ADO=∠ACO=90°，
又∵OC 是半径，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）在 Rt△ABC 中，tanB=

4
3

=

AC
BC

，
∴设 AC=4x，BC=3x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴16x2+9x2=100，
∴x=2，
∴BC=6，
∵AC=AD=8，AB=10，
∴BD=2，
∵OB2=OD2+BD2，
∴（6-OC）2=OC2+4，
∴OC=

8
3

，
故⊙O 的半径为

8
3

；
（3）连接 OD，DE，
由（1）可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD，
又∵CO=DO，OE=OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE=∠ODE，
∵OC=OE=OD，
∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE，
∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，
∵点 F 是 AB 中点，∠ACB=90°，
∴CF=BF=AF，
∴∠FCB=∠FBC，
∴∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF=CE，
∴AF=BF=DF+BD=CE+BD．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股
定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
21. 【答案】49
【解析】
【分析】
先将条件的式子转换成 a+3b=7，再平方即可求出代数式的值．
【详解】解：∵ a = 7 -3b ，
∴ a +3b = 7，
∴ ( )2
a2 + 6ab + 9b2 = a + 3b = 72 = 49，
故答案为：49．
【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换．
22. 【答案】

m £

7
2
【解析】
【分析】
方程有实数根，则△≥0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围．
2 3
(-4) - 4´2´(m - )≥0，
【详解】解：由题意知，△=
2
7
m £ ， ∴
2
7
m £ ． 故答案为
2
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相
等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
23. 【答案】 7p
【解析】
【分析】
利用弧长公式，分别计算出

FA ，
1

A B ，C B ，C D ,
1 1 1 1 1 1

D E , 的长，然后将所有弧长相加即可.
1 1
【详解】解：根据题意，得

FA =
1

60´p ´1 p
=
180 3

；

A B =
1 1

60´p ´2 2p
=
180 3

；

C B =
1 1

60´p ´3 p
=
180

；

C D =
1 1

60´p ´4 4p
=
180 3

；

D E =
1 1

60´p ´5 5p
=
180 3

；


E F =
1 1

60 6
´p ´ p
=2
180

.
曲线 FA1B1C1D1E1F1 的长度是

p p p p p p = 7p .
2 4 5
+ + + + +2
3 3 3 3
故答案是： 7p .
【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟练运用弧长公式进行计算是解题得关键.
24. 【答案】 ( 2,2 2) 或 (2 2, 2)
【解析】
【分析】
首先根据题意求出点 A 坐标为(

4
m

2 4
， 4m )，从而得出OA m
= + 4 ，然后分两种情况：①当点 B 在第二
m
象 限 时 求 出 点 B 坐 标 为 (

1 2 1
- - ， -n ) ， 从 而 得 出 = - +(- ) ， 由 此 可 知
OB n
n n
2 2 2 4 1
AB OA OB m n
= + = + 4 - + - ， 再 利 用 平 面 直 角 坐 标 系 任 意 两 点 之 间 距 离 公 式 可 知 ：
( )
m n

2 4 4 1
= + - - + - - - ，所以2 4 2 4mn 0
AB 2 4m 2 4mn n - - - = ，据此求出
m mn n mn

n

1
= - ，由此进一步通过证
m
明四边形 ABCD 是菱形加以分析求解即可得出答案；②当点 B 在第四象限时，方法与前者一样，具体加以
分析即可.
【详解】∵直线 y = mx (m > 0)与双曲线 y 4
= 交于 A ，C 两点（点 A 在第一象限），
x
ìy = mx
ï
∴联立二者解析式可得： 4
í =
y
ï
î x

，由此得出点 A 坐标为(

4
m

， 4m )，
2 4
∴OA = + 4m ，
m
①当点 B 在第二象限时，如图所示：
∵直线 y = nx （ n < 0 ）与双曲线 y 1
= - 交于 B ， D 两点，
x
ì =
y nx
ï
∴联立二者解析式可得： 1
í = -
y
ï
î x

1
，由此得出点 B 坐标为(
- - ， -n )，
n
2 1
∴ ( )
= - + - ，
OB n
n
∵AC⊥BD，
2 2 2 4 1
∴ ( )
= + = + - + - ， AB OA OB 4m n
m n
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：

2
æ ö
2 4 1 4 4 2 4 1 4 2 4
( )
2
AB = ç + - ÷ + m - -n = + - - + m- - mn - n
m n m mn n
è ø

，
4
∴ 2 - - 2 -4mn = 0 ，
mn
解得：

n

1
= - ，
m
∴

2 4 4 1 5 5
AB m m m
= + + + = + ，
m m m
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，
∴四边形 ABCD 是菱形，
∴ 10 2 5 2
AB = = ，
4 2
2 æ ö
5 5 2
∴5m + = ç ÷ ，
m 2
è ø
解得：

1
m = 或 2，
2
∴A 点坐标为( 2 2 ， 2 )或( 2 ， 2 2 )，
②当点 B 在第四象限时，如图所示：
∵直线 y = nx （ n < 0 ）与双曲线 y 1
= - 交于 B ， D 两点，
x
ìy = nx
ï
∴联立二者解析式可得： 1
í = -
y
ï
î x

，由此得出点 B 坐标为(

1
- ， - -n )，
n
2 1
∴ ( )
OB = - + -n ，
n
∵AC⊥BD，
2 2 2 4 1
∴ ( )
AB = OA +OB = + 4m - + -n ，
m n
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：

2
æ ö
2 4 1 4 4 2 4 1 4 2 4
( )
2
AB = ç - - ÷ + m + -n = - - - + m+ - mn - n
m n m mn n
è ø

，
4
∴ -2 - + 2 -4mn = 0 ，
mn
解得：

n

1
= - ，
m
∴

2 4 4 1 5 5
AB = + m + m + = m + ，
m m m
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，
∴四边形 ABCD 是菱形，
∴ 10 2 5 2
AB = = ，
4 2
2 æ ö
5 5 2
∴5m + = ç ÷
，
m 2
è ø
解得：

1
m = 或 2，
2
∴A 点坐标为( 2 2 ， 2 )或( 2 ， 2 2 )，
综上所述，点 A 坐标为：( 2 2 ， 2 )或( 2 ， 2 2 )，
故答案为：( 2 ， 2 2 )或( 2 2 ， 2 ).
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象及性质和菱形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是
解题关键.
25. 【答案】 (1). 3 2 (2). 13 - 2
【解析】
【分析】
连接 EF，则 EF⊥AB，过点 P 作 PG⊥CD 于点 G，如图 1，由于 PQ2 = PG2 +QG2 ，而 PG=3，所以当
GQ 最大时 PQ 最大，由题意可得当 P、A 重合时 GQ 最大，据此即可求出 PQ 的最大值；设 EF 与 PQ 交于
点 M，连接 BM，取 BM 的中点 O，连接 HO，如图 2，易证△FQM∽△EPM，则根据相似三角形的性质可
得 EM 为定值 2，于是 BM 的长度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得 B、E、H、M 四点共圆，且圆心为点
O，于是当 D、H、O 三点共线时，DH 的长度最小，最小值为 DO－OH，为此只需连接 DO，求出 DO 的长
即可，可过点 O 作 ON⊥CD 于点 N，作 OK⊥BC 于点 K，如图 3，构建 Rt△DON，利用勾股定理即可求出
DO 的长，进而可得答案．
【详解】解：连接 EF，则 EF⊥AB，过点 P 作 PG⊥CD 于点 G，如图 1，则 PE=GF，PG=AD=3，
设 FQ=t，则 GF=PE=2t，GQ=3t，
在 Rt△PGQ 中，由勾股定理得： ( )
PQ2 = PG2 + QG2 = 32 + 3t = 9 + 9t2 ，
2
∴当 t 最大即 EP 最大时，PQ 最大，
由题意知：当点 P、A 重合时，EP 最大，此时 EP=2，则 t=1，
∴PQ 的最大值= 9 +9 = 3 2 ；
设 EF 与 PQ 交于点 M，连接 BM，取 BM 的中点 O，连接 HO，如图 2，
∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，
∴

FM FQ 1
= = ，
EM PE 2
∵EF=3，
∴FM=1，ME=2，
∴ BM = ME2 + BE2 = 2 2 ，
∵∠BHM=∠BEM=90°，
∴B、E、H、M 四点共圆，且圆心为点 O，
1
OH = OB = BM = 2 ， ∴
2
∴当 D、H、O 三点共线时，DH 的长度最小，
连接 DO，过点 O 作 ON⊥CD 于点 N，作 OK⊥BC 于点 K，如图 3，则 OK=BK=1，
∴NO=2，CN=1，∴DN=3，
则在 Rt△DON 中， DO = DN2 +ON2 = 13 ，
∴DH 的最小值=DO－OH= 13 - 2 ．
故答案为：3 2 ， 13 - 2 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆以及线段的最值等知识，
涉及的知识点多、综合性强、具有相当的难度，属于中考压轴题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是
解题的关键．
26. 【答案】（1） y = -100x + 2400；（2）当线下售价定为 19 元/件时，月利润总和最大，此时最大利润
是 7300 元．
【解析】
【分析】
（1）由待定系数法求出 y 与 x 的函数关系式即可；
（2）设线上和线下月利润总和为 w 元，则 w=400（x-2-10）+y（x-10）=400x-4800+（-100x+2400）（x-10）
=-100（x-19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）因为 y 与 x 满足一次函数的关系，所以设 y=kx+b.
ì12k + b =1200,
将点（12，1200），（13，1100）代入函数解析式得
í + = î
13k b 1100,
解得

ìk = -100,
í =
î
b 2400,
∴ y 与 x 的函数关系式为 y = -100x + 2400．
（2）设商家线上和线下的月利润总和为 w 元，则可得
w = 400(x - 2-10) + y(x -10)
=400（x-12）+（-100x+2400）（x-10）
=-100x2+3800x-28800
= -100(x -19)2 +7300 ，
因为-100<0，
所以当 x=19 时，w 有最大值，为 7300，
所以当线下售价定为 19 元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是 7300 元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式等知识；弄清题意，找准各量间的
关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27. 【答案】（1）15°；（2）3 5 ；（3）

3
5
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到 ÐAFB = 30°，再由折叠的性质可得到ÐCBE =15°；
（2）由三等角证得 DFAB∽DEDF ，从而得 DE = 2， EF = CE = 3，再由勾股定理求出 DE，则
BC = AD = 3 5 ；
（3）过点 N 作 NG ^ BF 于点G ，可证得 DNFG∽DBFA．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例
及角平分线的性质即可得解．
【详解】（1）∵矩形 ABCD，
∴ ÐA = 90°， AD / /BC
1
由折叠 性质可知 BF=BC=2AB， ÐCBE = ÐCBF ，
2
∴ ÐAFB = 30°，
∴ ÐFBC = ÐAFB = 30°，
∴ ÐCBE =15°
（2）由题意可得ÐA = ÐD = 90°，
ÐAFB + ÐDFE = 90°，
ÐFED + ÐDFE = 90°
∴ ÐAFB = ÐDEF
∴ DFAB∽DEDF
∴
∴

AF AB
= ，
DE DF
AF DF 10
DE = = =
AB 5

2
∴ EF = CE = 3，
由勾股定理得 DF = 32 -22 = 5 ，
∴

10
AF = = ，
2 5
5
∴ BC = AD = AF + FD = 3 5 ；
（3）过点 N 作 NG ^ BF 于点G ．
∴ ÐNGF = ÐA = 90°
又∵ ÐBFA = ÐNFG
∴ DNFG∽DBFA．
∴

NG FG NF
= = ．
AB FA BF
∵ NF = AN + FD ，即

1 1 1
NF = AD = BC = BF
2 2 2
∴

NG FG NF 1
= = = ，
AB FA BF 2
又∵BM 平分 ÐABF ， NG ^ BF，ÐA = 90°，
∴NG=AN，
∴
∴

1
NG = AN = AB，
2
FG BF - BG BC - AB 1
= = =
FA AN + NF AB + BC
1 1 2
2 2
整理得：

AB
BC

3
= ．
5
【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判
定与性质的综合应用，是中考真题．
28. 【答案】（1）

y = 1 x - 3 x - ；（2） 4
2
2
2 2 5

æ + + ö
æ 68 34 ö 6 2 41 3 41
,
ç , ÷
；（3）存在，ç ÷
ç ÷
或
è 9 9 ø 5 5
è ø
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）过点 D 作 DG ^ x轴于点G ，交 BC 于点 F ，过点 A 作 AK ^ x 轴交 BC 的延长线于点 K ，则可得
△ AEK∽△ DEF，继而可得

S S DE
DE DF
= ，先求出 BC 的解析式，继而求得 AK 长，由 1 = = 可
DBDE
S S AE
AE AK
2 DABE
得

S = DF ，设点 , 1 2 3 2
Dæçm m - m - ö÷
1
，进而可得
S AK
è 2 2 ø
2

1
DF = - m + 2m ，从而可得
2
2

S
1
S
2

1 4
= - m + m ，
2
5 5
再利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）先确定出∠ACB=90°，再得出直线l 的表达式为

1 æ t ö
y = x ．设点 P 的坐标为 t,
ç ÷
2 è 2 ø

，然后分点 P 在直
线 BQ 右侧，点 P 在直线 BQ 左侧两种情况分别进行讨论即可．
【详解】（1）∵抛物线 y = ax2 +bx +c与 x 轴交于 A(-1, 0) ， B(4,0)两点，与 y 轴交于点C(0,-2)．
∴

ì - + = 0
a b c
ï + + =
í
16a 4b c 0
ï = -
c 2
î

，
∴

ì =
1
2
a
ï
ï
c = -2
í
ï
3
ï = -
b
î 2

，
∴抛物线的函数表达式为

1 3
y = x - x - 2 ；
2
2 2
（2）过点 D 作 DG ^ x轴于点G ，交 BC 于点 F ，过点 A 作 AK ^ x 轴交 BC 的延长线于点 K ．
则 DG//AK，
∴△AEK∽△ DEF，
∴

DE DF
= ，
AE AK
设直线 BC 的解析式为 y=kx+n，
ì4k + n = 0
将 B(4,0)、C(0,-2)代入则有：
，
í = -
î
n 2
解得

ì =
1
ïk
í 2
ï = -
n 2
î

，
∴直线 BC 的表达式为

1
y = x - 2 ，
2

当 x=-1 时，

1 5
y = x - 2 = - ，
2 2
即 K（-1，

5
- ），
2
∴

5
AK = ．
2
∵

S S DE
1
= DBDE = ．
S S AE
2 DABE
∴

S DF
1
=
S AK
2
设点

Dæçm 1 m - 3 m - ö÷
, 2
2
，则 F 点坐标为（m，
è 2 2 ø

1
2

m - 2），
∴

DF = m - -çæ m - m - ö = m m
1 1 3 1
2 2 - + 2
2 2
÷ ．
2 è 2 2 ø 2
1
- m + m
2
2 1 4 1 4 S
∴ ( )
1 = = - m + m = - m - + ，
2 2
2
2
5 5 5 5 5 S
2
2
S
当 m = 2 时， 1
S
2

有最大值

4
5

．
（3）∵ A(-1, 0) ， B(4,0)，C(0,-2)．
∴AC= 12 + 22 = 5 ，BC= 42 + 22 = 2 5 ，AB=5，
∴AC2+BC2=25=52=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵过点O 作直线l//BC ，直线 BC 的表达式为

1
y = x - 2 ，
2
∴直线l 的表达式为

1
y = x ．
2

æ t ö
设点 P 的坐标为 t,
ç ÷
è 2 ø

．
①当点 P 在直线 BQ 右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点 P 作 PN⊥x 轴于点 N，过点 Q 作 QM⊥PN 于点 M，
∴∠M=∠PNB=90°，
∴∠BPN+∠PBN=90°，
∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，
∴∠QPM=∠PBN，
∴ DQPM∽DPBN ，
∴

QM PM PQ
= = ，
PN BN PB
又∵ DPQB∽DCAB，
PQ CA
∴
= ，
PB BC
QM PM PQ CA 1
∴
= = = = ，
PN BN PB BC 2
t
∵NB=t-4，PN= ，
2 QM PM 1
= =
∴ t t - 4 2 ，
2
t 1
∴QM= ，PM= t - 2，
4 2
1 t - + 1 t = t - 2， 3
t
∴MN= 2 t - = t ，
2 2 4 4
æç 3 - ö÷
∴点Q 的坐标为 t,t 2
．
è 4 ø
æç 3 - ö÷
将点Q 的坐标为 t,t 2
代入
è 4 ø

1 3
y = x2 - x - ，得
2
2 2
9 9
t - 2 = t - t - 2 ，
2
32 8
68
t = ，t2=0（舍去）， 解得：
1
9
æ 68 34 ö
, 此时点 P 的坐标为ç ÷ ．
è 9 9 ø
②当点 P 在直线 BQ 左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点 P 作 PN⊥x 轴于点 N，过点 Q 作 QM⊥PN 于点 M，
∴∠M=∠PNB=90°，
∴∠BPN+∠PBN=90°，
∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，
∴∠QPM=∠PBN，
∴ DQPM∽DPBN ，
∴

QM PM PQ
= = ，
PN BN PB
又∵ DPQB∽DCAB，
PQ CA
∴
= ，
PB BC
QM PM PQ CA 1
∴
= = = = ，
PN BN PB BC 2
t
∵NB=4-t，PN= ，
2 QM PM 1
= =
∴ 4 - 2 ，
t t 2
t 1
∴QM= 2 - t ，
，PM=
4 2
1 t
∴MN= 2 t + = t ，
- + 1 t = 2 ， 5
t
2 2 4 4
æ 5 ö
∴点Q 的坐标为 t,2
ç ÷
è 4 ø

．
æ 5 ö
将点Q 的坐标为 t,2
ç ÷
è 4 ø

代入

1 3
y = x2 - x - ，得
2
2 2

2

25 15
= t - t - 2，
2
32 8
解得：t
1

6 + 2 41
= ，t
2
5

6 - 2 41
= <0（舍去），
5

æ + + ö
6 2 41 3 41
ç , ÷
ç ÷
5 5
此时点 P 的坐标为
è ø

．
【点睛】本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形
的判定与性质等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键．