【单元复习提升】（北师大版）2023-2024学年八年级数学上册 第2章 实数 试卷（易错与拓展）

第2章 实数 单元复习提升（易错与拓展）

易错点01 无理数的概念

【指点迷津】理解无理数的概念，有些式子需要化简到最简形式再判断。

典例1．下列实数：，3.14，0，，，，0.3030030003…中，无理数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

跟踪训练1．在，，π，，3.212212221…（每相邻两个1之间依次多一个2），这些数中，无理数的个数为（    ）

A．5 B．2 C．3 D．4

跟踪训练2．在实数，，，，，，无理数有     个．

易错点02 平方根的多重形式的易错题

【指点迷津】先化简，再判断题意，明白题意的最后结果的符号。

典例2．的平方根是    ；的算术平方根是    ．

跟踪训练1．的平方根为（    ）

A．100 B．-100 C． D．

跟踪训练2．的算术平方根是          ；的平方根是          ．

跟踪训练3．若x，y为实数，且，则      ．

易错点03 互为相反数的立方根问题

【指点迷津】两个互为相反数的数的立方根也互为相反数，反之也成立。

典例3．若互为相反数，则的值为（   ）

A． B． C． D．

跟踪训练1．已知x为实数，且＝0，则x2+x﹣3的平方根为（　　）

A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．2和﹣2

易错点04 二次根式化简符号问题

【指点迷津】注意化简前每个字母的符号，化简后的整体符号。

典例4．不改变根式的值,把-x根号外的因式移到根号内得    .

跟踪训练1．已知，化简二次根式的正确结果为           ．

跟踪训练2．当时，化简的结果是          ．

易错点05 二次根式乘除有意义的条件

【指点迷津】在进行二次根式运算时必须满足每一步都能使每个二次根式有意义。

典例5．若等式成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．或

跟踪训练1．若成立．则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

拓展01 与实数有关的规律性问题

典例1．将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则：

①（6，6）表示的数是      ；

②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为       ．

跟踪训练1．我们经过探索知道，，，，若已知，则       （用含的代数式表示，其中为正整数）．

跟踪训练2．阅读下列材料：，则．请根据上面的材料回答下列问题：        ．

跟踪训练3．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是 59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样计算的吗？请按照下面的问题试一试：

（1）由，试确定 是           位数；

（2）由 19683 个位数是 3，试确定 个位数是                 ；

（3）如果划去 19683 后面的三位数 683 得到数 19 ，而 ，由此你能确定十位 的数字是            ；

（4） 用上述方法确定 110592 的立方根是                ．

拓展02 复杂二次根式的化简问题

典例2．观察下列分母有理

，……

从计算结果中找出规律

        ．

跟踪训练1．阅读与思考

请你阅读下列材料，并完成相应的任务．

裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：．

在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，．

(1)模仿材料中的计算方法，化简：______．

(2)观察上面的计算过程，直接写出式子______．

(3)利用根式裂项求解：．

跟踪训练2．细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题：

，（是的面积）；

，（是的面积）；

，（是的面积）；

…

(1)请用含有n（n为正整数）的式子填空：______，______；

(2)求的值；

(3)在线段、、、…、中，长度为正整数的线段共有______条．

一、单选题

1．在实数，，﹣，0.0，π，，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．关于无理数，下列说法错误的是（　　）

A．无理数是无限小数 B．所有的无理数都可以用数轴上的点表示

C．无理数不都是带根号的数 D．两个无理数的和还是无理数

3．如果一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是（　　）

A．0 B．1 C．0或1 D．﹣1或0或1

4．下列结论正确的是（    ）

A．是的立方根 B．64的立方根是±4

C．立方根等于本身的数只有0和1 D．

5．若+|2y+1|＝0，则x+y的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣ D．

6．下列说法中错误的有（    ）

①实数和数轴上的点是一一对应的；

②负数没有立方根；

③算术平方根和立方根均等于其本身的数只有0；

④49的平方根是±7，用式子表示是49＝±7

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．下列计算：①（）2＝2，②＝﹣2，③（﹣2）2＝12，④＝2，⑤，⑥＝﹣1，其中结果正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．设4+的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b的值为（　　）

A．4﹣ B．4+ C．6﹣ D．8﹣

9．若y＝﹣3，则（x+y）2021等于（　　）

A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1

10．已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值为（    ）

A．0 B．1 C． D．

二、填空题

11．用计算器计算：≈     ．（精确到0.01）

12．若一个正方形的面积为，则它的边长可表示为      ．

13．已知和是一个正数的平方根，则这个正数为           ．

14．计算的结果等于          ．

15．如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是2和6，那么两个长方形的面积和是          ．

16．若化简的结果是，则x的取值范围是          

17．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是       ．

18．如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣3，则最后输出的结果是    ．

三、解答题

19．（1）计算：﹣12021+|1﹣|﹣；

（2）已知（2x﹣1）3＝﹣8．求x的值．

20．计算：

（1）

（2）    

（3）

21．

22．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．

（1）实数的值是______；

（2）求的值；

（3）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．

23．如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．

（1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ；

（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．

24．阅读理解：因为，所以36的平方根为，即，所以36的算术平方根为6，即，

（1）计算：________，________；________，________．

结论：________；________．（填“＞”，“=”，“＜”）

（2）计算：①；

②．

（3）已知：，，请用含a，b的式子表示．

25．【发现】

①；

②；

③；

④；

   ；

根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：________．

【归纳】

等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则；

【应用】

根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：若与的值互为相反数，求的值．

26．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．

(1)仿照以上方法计算：= ；= ．

(2)若，写出满足题意的x的整数值 ．

如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．

(3)对100连续求根整数， 次之后结果为1．

(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．

27．若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|．

例如：＝＝|++|＝请解决下列问题：

（1）求的值．

（2）设S＝++…+，求S的整数部分．

（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围．