2024襄阳宜城一中高二上学期9月月考数学试题含答案

宜城一中2023-2024学年高二年级9月月考数学试卷

时间：120分钟  满分：150分

一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知直线过，，且，则直线的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 如图，等腰梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形ABCD的面积为（    ）

A.  B. 12 C.  D. 6

4. 已知四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 在跳水比赛中，有8名评委分别给出某选手原始分，在评定该选手的成绩时，从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分（最高分和最低分不相等），得到6个有效分，这6个有效分与8个原始分相比较，下列说法正确的是（    ）

A. 中位数，平均分，方差均不变 B. 中位数，平均分，方差均变小

C. 中位数不变，平均分可能不变，方差变小 D. 中位数，平均分，方差都发生改变

6. 在中，已知，，若有两解，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传.某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形.若该同学从这七块小木板中随机抽取2块，这两块的面积相等的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 在三棱锥中，已知底面ABC，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题（每小题5分，共20分）

9. 若向量，满足，，则（    ）

A.   B. 与的夹角为

C.   D. 在上的投影向量为

10. 小明参加文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互不影响，文学社面试成功的概率为，话剧社面试成功的概率为，辩论社面试成功的概率为，则（    ）

A. 文学社和话剧社均面试成功的概率为 B. 话剧社与辩论社均面试成功的概率为

C. 有且只有辩论社面试成功的概率为 D. 三个社团至少一个面试成功的概率为

11. 已知不同直线a，b，不同平面，，，下列说法正确的是（    ）

A. 若，，，，则

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，则

12. 已知在棱长为4的正方体中，点O为正方形的中心，点P在棱上，下列说法正确的有（    ）

A.

B. 当直线AP与平面所成角的正切值为时，

C. 当时，点到平面的距离是

D. 当时，以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线长为

三、填空题（每小题5分，共20分）

13. 假设，，且A与B相互独立，则______.

14. 已知直线l过点且与以，为端点的线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为______.

15. 已知，，则的取值范围为______.

16. 如图，在矩形ABCD中，，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，AC与BD交于点O，现将，，，分别沿EH，EF，FG，GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与D重合，B与C重合，重合后的点分别记为M，N，Q为MN的中点，则多面体MNEFGH的体积为______；若点P是该多面体表面上的动点，满足时，点P的轨迹长度为______.

四、解答题（17题10分，18-22题每小题12分，共70分）

17. 如图所示，在平行六面体中，，，，P是的中点，M是的中点，N是的中点，用基底表示以下向量：

（1）；（2）；（3）.

18. 如图：正方体，E为棱的中点.

（1）求直线CE与直线所成角的余弦值；

（2）在棱上是否存在一点P，满足？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请说明理由.

19. 为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如下频率分布直方图：

（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的中位数及平均数；

（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率.

20. 如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点.将沿AD折到位置（如图2），连结PC，PB构成一个四棱锥.

图1                      图2

（Ⅰ）求证；

（Ⅱ）若平面ABCD.

①求二面角的大小；

②在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值.

21. 中，有，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边.

（1）求角A的大小；

（2）设点D是BC的中点，若，求的取值范围.

22. 如图，直三棱柱的体积为4，点D，E分别为AC，的中点，的面积为.

（1）求点A到平面EBC的距离；

（2），平面平面，求平面DBE与平面所成角的余弦值.

参考答案

13. 0.92     14.      15.     16.  

17.（1）

（2）

（3）

（1）；

（2）；

（3）

.

18.（1）；（2）存在，点P在棱上靠近的四等分点处.

【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，

，

所以直线CE与直线所成角的余弦值为；

（2）棱上是否存在一点P的坐标可设为，则

，

，，

故在棱上存在点P，满足，这点P在棱上靠近四等分点处.

19.（1），中位数为，平均数为41.5  （2）

【详解】（1）由频率分布直方图性质知：，解得：；

∵，，

∴中位数位于，设中位数为m，

则，解得：，即中位数为；

平均数为.

（2）∵第1，2组的频率之比为，

∴抽取的5人中，第1组应抽取2人，记为A，B；第2组应抽取3人，记为C，D，E，

则从5人中随机抽取2人，有，，，，，，，，，，共10个基本事件；

其中满足两人恰好属于同一组别的有，，，，共4个基本事件；

∴两人恰好属于同一组别的概率.

20.（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①，②或.

【详解】证明：（Ⅰ）在图1中，∵，，

∴ABCD为平行四边形，∴，

∵，∴，

当沿AD折起时，，，即，，

又，面PAB，面PAB，∴平面PAB，

又∵平面PAB，∴.

图1                       图2

解：（Ⅱ）①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

由于平面ABCD，

则，，，，，

设平面PBC的法向量为，

则，取，得，

设平面PCD的法向量，

则，取，得，

设二面角的大小为，可知为钝角，

则，∴.

∴二面角的大小为.

②设AM与面PBC所成角为，

，

平面PBC的法向量，

∵直线AM与平面PBC所成的角为，

∴，

解得或.

21.（1）   （2）

【详解】（1）解：在中，因为，

由正弦定理可得，因为A、，则，，

所以，，则，

所以，，故.

（2）解：如图，延长AD到E满足，连接BE、CE，

则ABEC为平行四边形，则，，

，，

在中，由余弦定理得：

，

则，可变形为，即，

由基本不等式可得，即，

可得，当且仅当时，等号成立，

由三角形三边关系可得，则，故的取值范围是.

22.（1）  （2）

【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面EBC的距离为h，

点E为的中点，所以，直三棱柱的体积为4，

所以三棱锥的体积为，

又的面积为，

故三棱锥的体积，解得，

所以点A到平面EBC的距离为.

（2）取EB的中点F，连接AF，如图，

由题意知，故，所以，

又平面平面，平面平面，

且平面，所以平面EBC，

由平面EBC，故，在直三棱柱中，

平面ABC，平面ABC，可得，

又AF，平面且AF，为相交直线，

否则若，则F点在落在上，与BE不垂直，则与矛盾，

所以平面，BA，平面，故，，

所以BC，BA，两两垂直，以B为原点，以BC，BA，为x，y，z轴，

建立如图空间直角坐标系，

由于平面EBC，故点A到平面EBC的距离即为AF，由（1）知，

故，∴，，

因为平面，平面，所以，

由的面积为，则，∴，

则，，，，则，，

设平面BDE的法向量为，则，

即，令，则，，故；

，设平面的法向量为，则，即，

令，则，，可得，故，

由原图可知平面DBE与平面所成角为锐角，