天津市武清区黄花店中学2023-2024学年高三上学期第一次阶段性练习数学试题

2023-2024学年度第一学期高三年级第一次阶段性练习试卷

数学学科

（知识范围：三角函数和平面向量  总分：150    时长： 120分钟 ）

一、单选题

1．化为角度是（    ）

A． B． C． D．

2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．在中，“”是“为直角三角形”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

5．在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（    ）

A．无解 B．有一解

C．有两解 D．解的个数不确定

6．在中，是边上一点，且，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知向量，，，则实数k的值为（    ）

A． B． C． D．1

8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．为锐角三角形

C．若，则的面积是

D．若外接圆半径是R，内切圆半径为r，则

9．将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的有（    ）个

①函数的最小正周期为；

②函数在区间上单调递增；

③函数在区间上的最小值为；

④是函数的一条对称轴.

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

10．=        

11．已知，则      .

12．已知向量，，且，则     ．

13．设平面向量，满足，，则在方向上的投影为           .

14．已知，，，则向量与的夹角为        .

15．已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形的半径为     ，弧长为      .

四、解答题

16．（1）已知．求的值．

（2）已知函数.求的解析式及最小正周期.

17．在中，三个内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，且.

(1)求B；

(2)若，三角形的面积，求b.

18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（1）求角B的大小；

（2）设a=2，c=3，求b和的值.

19．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的最小正周期及解析式；

(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最值

20．已知，设．

(1)求当取最大值时，对应的x的取值；

(2)若，且，求的值．

参考答案：

1．B

【分析】根据弧度化角度公式直接求解即可.

【详解】.

故选：B

2．D

【分析】根据三角函数的定义求解即可.

【详解】由题意，.

故选：D.

3．A

【详解】考点：三角形的形状判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断．

分析：先证明充分性，设 与的夹角为α，利用平面向量的数量积运算法则化简? ，由已知? =0，得到cosα值为0，由α的范围，利用特殊角的三角函数值求出α为直角，可得三角形ABC为直角三角形；反过来，若三角形ABC为直角三角形，但不一定B为直角，故必要性不一定成立．

解：当? =0时，

设与的夹角为α，

可得? =ac?cos（π-α）=-ac?cosα，

又? =0，

∴-ac?cosα=0，即cosα=0，

∵α∈（0，π）

∴α=，

则△ABC为直角三角形；

而当△ABC为直角三角形时，B不一定为直角，

故? 不一定等于0，

则在△ABC中，“? =0”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．

故选A

4．A

【分析】根据诱导公式求解即可.

【详解】.

故选：A

5．C

【分析】利用正弦定理解出再根据，得到，可得角有两个解.

【详解】由正弦定理，得，解得.

因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解.

故选：C.

6．D

【分析】根据图形的特征，则向量的线性运算，把用表示，得到的值.

【详解】中，是边上一点，且，如图所示，

则，

所以的值为.

故选：D

7．B

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可.

【详解】由题意可得：，

所以.

故选：B

8．D

【分析】根据条件求出三角形三边的比值，利用正弦定理和余弦定理可以判断选项错误；对于求出三边长后，可利用三角形面积公式求解；对于利用正弦定理和等面积法可求出外接圆半径R，内切圆半径，可判断正确.

【详解】设则

对于故错误；

对于角为钝角，故错误；

对于若，则

所以的面积故错误；

对于由正弦定理

的周长所以内切圆半径故正确.

故选：.

9．A

【分析】由题可得.对于①,由最小正周期计算公式可判断选项；对于②③，利用的单调性可判断选项正误；对于④，验证是否在处取最值可判断选项正误.

【详解】由题.

对于①，由题可得其最小正周期为，故①错误；

对于②，由，则，

因在上单调递增，在上单调递减，

则不在区间上单调递增，故②错误；

对于③，时，.

因在上单调递增，在上单调递减，

则此时.故③正确；

对于④，注意到，则不是的一条对称轴，故④错误.

故选：A

10．

【分析】利用特殊角的三角函数值来计算.

【详解】

.

故答案为：.

11．

【分析】根据诱导公式及同角关系,即可得到结果.

【详解】∵

∴

当在第一象限时,,即；

当在第二象限时,,即.

∴

故答案为:

【点睛】本题考查同角的三角函数的关系,本题解题的关键是诱导公式的应用,熟练应用诱导公式是解决三角函数问题的必备技能．

12．

【分析】根据向量平行的坐标运算求解.

【详解】因为，则，解得.

故答案为：.

13．6

【分析】根据投影的定义即可结合数量积求解.

【详解】在方向上的数量投影，

故答案为：6

14．

【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果.

【详解】设向量与的夹角为，

，

因为，所以.

故向量与的夹角为.

故答案为：

15．     /1.5    

【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可.

【详解】设扇形的半径为，

因为扇形AOB的面积为，圆心角为，

由扇形的面积，可得：，解得：，

可得扇形的弧长.

故答案为：；．

16．（1）；（2），最小正周期为.

【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系化简求值；

（2）利用诱导公式、降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，根据周期公式求最小正周期.

【详解】（1）已知，

则

（2）

.

最小正周期为.

17．(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理，结合已知条件即可求解；

（2）利用三角形面积公式可得，然后结合和即可求解.

【详解】（1）在中，由余弦定理可得，

又，所以，

又因为，故.

（2）由可得，

又因为，，

所以，

所以.

18．(Ⅰ)；(Ⅱ)，.

【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．

（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得

详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，

又由，得，

即，可得．

又因为，可得B=．

（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，

有，故b=．

由，可得．因为a<c，故．

因此，

所以，

点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

19．(1)，

(2).

【分析】（1）由图象可知，相邻的对称中心和对称轴距离相差，再代入关键点可得解析式；

（2）根据图象的变换得到解析式，再根据正弦函数的图象与性质可得其在区间上最值.

【详解】（1）由图象可知的最大值为1，最小值-1，故；

又∴，

将点代入，

∴，

∵∴

故答案为：，.

（2）由的图象向右平移个单位长度得到函数

∵

∴

∴当时，即，；

当时，即，

故答案为：

20．(1)

(2)

【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换得，结合正弦型函数得性质求取最大值时对应的x取值.

（2）由题设可得，再由及差角正切公式列方程求.

【详解】（1），

所以取最大值时，，则.

所以

（2）由题设，又，则，

所以，

由，

所以，即，

所以.