2022-2023学年福建省漳州五中八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省漳州五中八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省漳州五中八年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）在0.4，﹣8，，，1.6，，，0.3131131113…（相邻两个3之间的个数逐次加1）中，无理数的个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）下列各式中计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．5，12，17
C．8，15，17 D．1，2，
5．（4分）下列说法不正确的是（　　）
A．的平方根是±2
B．﹣2是4的一个平方根
C．﹣64的立方根是4
D．0.01的算术平方根是0.1
6．（4分）若直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为（　　）
A．5 B．6 C．5或 6 D．5或
7．（4分）一个圆柱底面周长为16cm，高为6cm，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（　　）cm．

A．8 B．10 C．8π D．10π
8．（4分）若为连续的整数），则的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
9．（4分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣6＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2+62＝（10﹣x）2
10．（4分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝72，则S2的值是（　　）

A．48 B．36 C．24 D．25
二、填空题（共5小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）比较大小：　 　（填“＞”“＜”“＝”）．
12．（4分）如图，字母B所代表的正方形的面积为 　 　．

13．（4分）一艘轮船以20km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以48km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 　 　km．
14．（4分）已知实数a，b，c在数轴上的对应点，如图所示，化简＝　 　．

15．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是CD的中点，P，Q为BC边上的两点，且PQ＝1，则四边形APQE周长的最小值为 　 　．

三、解答题（共86分）
16．（24分）计算：
（1）3+﹣4；
（2）；
（3）；
（4）×；
（5）；
（6）（2）2．
17．（6分）已知2a+1的平方根为±3，2a+b+1的立方根为2．求a+b的算术平方根．
18．（8分）一架云梯长25m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7m．
（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了9m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少？

19．（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样．下面是一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c．
（1）摆成图1所示的正方形，
①大正方形的面积可以表示为 　 　，还可以表示为 　 　．
②可得到，a，b，c之间的关系式为 　 　．
（2）摆成图2所示的正方形，请你验证勾股定理．

20．（10分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．
（1）求证：△AFE≌△CDE；
（2）若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．

21．（10分）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．
例如：化简：
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．
问题：
（1）填空：＝　 　，＝　 　；
（2）化简：（请写出计算过程）；
（3）化简：．
22．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度匀速运动．设点P的运动时间为ts．
（1）连接AP，当BP＝AP时，求t的值；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）若在动点P出发的同时，动点Q从点A出发，沿射线AC方向以1cm/s的速度匀速运动，当S△BPQ＝S△PCQ时，求PQ的值．


2022-2023学年福建省漳州五中八年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）在0.4，﹣8，，，1.6，，，0.3131131113…（相邻两个3之间的个数逐次加1）中，无理数的个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据无理数的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：在0.4，﹣8，，，1.6，，，0.3131131113…（相邻两个3之间的个数逐次加1）中，无理数的个数有，，0.3131131113…（相邻两个3之间的个数逐次加1），共有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
2．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、＝，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、＝2，故C不符合题意；
D、＝|a|，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3．（4分）下列各式中计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质，二次根式加减的运算方法，逐一判断即可．
【解答】解：＝3，故选项A正确，符合题意；
＝6，故选项B错误，不符合题意；
3和不能合并，故选项C错误，不符合题意；
和﹣不能合并，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查平方根、算术平方根以及二次根式加减的运算，掌握平方根、算术平方根和二次根式加减的运算是正确判断的前提．
4．（4分）下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．5，12，17
C．8，15，17 D．1，2，
【分析】利用勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：A、因为0.3，0.4，0.5都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意；
B、因为172≠52+122，所以它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、因为172＝82+152，所以它们是勾股数，故本选项符合题意；
D、因为不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股数，勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
5．（4分）下列说法不正确的是（　　）
A．的平方根是±2
B．﹣2是4的一个平方根
C．﹣64的立方根是4
D．0.01的算术平方根是0.1
【分析】求出各个选项中的数的平方根或立方根，然后进行判断即可
【解答】解：A．∵，∴的平方根是±2，故此选项不符合题意；
B．∵4的平方根是±2，∴﹣2是4的平方根是正确的，故此选项不符合题意；
C．∵﹣64的立方根是﹣4，∴﹣64的立方根是4是错误的，故此选项符合题意；
D．∵0.01的算式平方根是0.1，∴0.01的算式平方根是0.1是正确的，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方根和立方根，解题关键是熟练掌握求一个数的平方根和立方根．
6．（4分）若直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为（　　）
A．5 B．6 C．5或 6 D．5或
【分析】因为直角三角形没说明3和4是直角边和斜边，所以要分两种情况进行讨论：4是斜边或第三边是斜边，根据勾股定理计算．
【解答】解：当4为斜边时，第三边＝＝，
当3和4为直角边时，则第三边为斜边，
第三边＝＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，要知道如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2；如果直角三角形中没确定哪一条边是斜边或直角边时，要分情况讨论，不要丢解．
7．（4分）一个圆柱底面周长为16cm，高为6cm，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（　　）cm．

A．8 B．10 C．8π D．10π
【分析】圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为矩形BCDE的边DC的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出AB的长即得到问题的答案．
【解答】解：如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为矩形BCDE的边DC的中点到顶点B的距离，
∵∠C＝90°，AC＝DC＝×16＝8（cm），BC＝6cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
故选：B．

【点评】此题重点考查圆柱的侧面展开图、勾股定理、平面展形﹣最短路径问题的求解等知识与方法，正确地画出图形是解题的关键．
8．（4分）若为连续的整数），则的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
【分析】先求出的范围，即可求出a、b的值，最后代入求出即可．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴a＝4，b＝5，
∴＝＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值的应用，能根据的范围求出a、b的值是解此题的关键．
9．（4分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣6＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2+62＝（10﹣x）2
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．
故选：D．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
10．（4分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝72，则S2的值是（　　）

A．48 B．36 C．24 D．25
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝72得出3GF2＝72，求出GF2的值即可．
【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG＝KG，CF＝DG＝KF，
∴S1＝（CG+DG）2
＝CG2+DG2+2CG•DG
＝GF2+2CG•DG，
S2＝GF2，
S3＝（KF﹣NF）2＝KF2+NF2﹣2KF•NF，
∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF＝3GF2＝72，
∴GF2＝24，
∴S2＝24．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出3GF2＝72是解决问题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）比较大小：　＞　（填“＞”“＜”“＝”）．
【分析】因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算的整数部分，然后根据整数部分即可解决问题．
【解答】解：∵﹣1＞1，
∴＞．
故填空结果为：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．
12．（4分）如图，字母B所代表的正方形的面积为 　144　．

【分析】根据已知两个正方形的面积169和25，求出各个的边长，然后再利用勾股定理求出字母B所代表的正方形的边长，然后即可求得其面积．
【解答】解：∵169﹣25＝132﹣52＝122，
∴字母B所代表的正方形的面积＝122＝144．
故答案为：144．
【点评】此题主要考查勾股定理这一知识点，比较简单，要求学生应熟练掌握．
13．（4分）一艘轮船以20km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以48km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 　26　km．
【分析】先算出它们离开港口半小时后各自航行的路程，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：由题意可知，两艘轮船航行的路线成垂直关系，
它们离开港口半小时后各自航行的路程分别为20×（km）、48×＝24（km），
∴它们离开港口半小时后相距＝26（km），
故答案为：26．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．（4分）已知实数a，b，c在数轴上的对应点，如图所示，化简＝　﹣b　．

【分析】根据＝|a|化简即可．
【解答】解：∵a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|
＝﹣a﹣c+a+c﹣b
＝﹣b．
故答案为：﹣b．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握＝|a|是解题的关键．
15．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是CD的中点，P，Q为BC边上的两点，且PQ＝1，则四边形APQE周长的最小值为 　5+1　．

【分析】由题意可知，AE，PQ为定长，四边形APQE周长最小只要AP+EQ最小即可，将EQ平移到点Q与点P重合的位置E′P，AP+EQ最小，即AP+E′P最小，作点A关于BC的对称点A′，连接E′A′交BC于点P′，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，点E为CD中点，
∴AE为定长，
∴AE＝＝＝2，
∵PQ＝1，
∴四边形APQE周长最小只要AP+EQ最小即可；

取AB中点F，连接EF，在EF上取EE′＝PQ＝1，连接E′P，
则四边形BCEF是矩形，四边形EE′PQ为平行四边形，BF＝AB＝2，
∴E′P＝EQ，
∴AP+EQ＝AP+E′P，
∴AP+EQ最小，只要AP+E′P最小即可；
作点A关于BC的对称点A′，连接E′A′交BC于点P′，
则PA′＝PA，A′B＝AB＝4，
∴AP+E′P＝PA′+PE′≥E′A′
即AP+E′P最小时，点P位于P′处，
∴A′E′的长即为所求．
由作图可知，E′F＝EF﹣EE′＝4﹣1＝3，A′F＝A′B+BF＝4+2＝6，
∴A′E′＝＝3，
∴四边形APQE周长的最小值＝3+1+2＝5+1，
故答案为：5+1．

【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，确定出四边形APQE周长最小时，点P的位置是解题的关键．
三、解答题（共86分）
16．（24分）计算：
（1）3+﹣4；
（2）；
（3）；
（4）×；
（5）；
（6）（2）2．
【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先算乘法，再算除法即可；
（3）根据二次根式的除法法则进行计算即可；
（4）把括号中的每一项分别乘以，再把结果相加即可；
（5）利用平方差公式进行计算即可；
（6）利用完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝6+3﹣2
＝（6+3﹣2）
＝7；
（2）原式＝
＝
＝
＝
＝6；
（3）原式＝
＝
＝﹣；
（4）原式＝×+×
＝+
＝+
＝5+3
＝8；
（5）原式＝（）2﹣22
＝5﹣4
＝1；
（6）原式＝（2）2+1﹣4
＝12+1﹣4
＝13﹣4．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
17．（6分）已知2a+1的平方根为±3，2a+b+1的立方根为2．求a+b的算术平方根．
【分析】先根据平方根及立方根的定义求出a、b的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵2a+1的平方根为±3，2a+b+1的立方根为2，
∴2a+1＝9，2a+b+1＝8，
∴a＝4，b＝﹣1，
∴a+b＝4﹣1＝3，
∴a+b的算术平方根是．
【点评】本题考查的立方根，平方根及算术平方根，先根据题意求出a、b的值是解题的关键．
18．（8分）一架云梯长25m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7m．
（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了9m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少？

【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度，此题得解；
（2）在Rt△DBE中，利用勾股定理可求出BE的长度，用其减去BC的长度即可得出结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25m，BC＝7m，
∴AB＝＝24（m）．
答：这个梯子的顶端A距地面24m．
（2）在Rt△DBE中，BD＝24﹣9＝15m，DE＝25m，
∴BE＝＝＝20（m），
∴CE＝BE﹣BC＝20﹣7＝13（m）．
答：如果梯子的顶端下滑了9m，那么梯子的底部在水平方向滑动了13m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出AB；（2）利用勾股定理求出BE．
19．（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样．下面是一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c．
（1）摆成图1所示的正方形，
①大正方形的面积可以表示为 　（a+b）2　，还可以表示为 　4×ab+c2　．
②可得到，a，b，c之间的关系式为 　c2＝a2+b2　．
（2）摆成图2所示的正方形，请你验证勾股定理．

【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．
【解答】解：（1）①大正方形的面积可以表示为（a+b）2，还可以表示为4×ab+c2，
②可得到，a，b，c之间的关系式为c2＝a2+b2．
故答案为：（a+b）2，4×ab+c2，c2＝a2+b2．
（2）∵S大正方形＝c2，S大正方形＝4S△+S小正方形＝4×ab+（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（b﹣a）2，
整理，得2ab+b2﹣2ab+a2＝c2，
∴c2＝a2+b2．
【点评】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
20．（10分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．
（1）求证：△AFE≌△CDE；
（2）若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据矩形的性质得到AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到∠F＝∠B，AB＝AF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CE，EF＝DE，根据勾股定理得到DE＝3，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，
∴∠F＝∠B，AB＝AF，
∴AF＝CD，∠F＝∠D，
在△AEF与△CDE中，，
∴△AFE≌△CDE；
（2）∵AB＝4，BC＝8，
∴CF＝BC＝8，AF＝CD＝AB＝4，
∵△AFE≌△CDE，
∴AE＝CE，EF＝DE，
∴DE2+CD2＝CE2，
即DE2+42＝（8﹣DE）2，
∴DE＝3，
∴EF＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S△ACF﹣S△AEF＝×4×8﹣×4×3＝10．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
21．（10分）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．
例如：化简：
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．
问题：
（1）填空：＝　　，＝　　；
（2）化简：（请写出计算过程）；
（3）化简：．
【分析】（1）把4﹣2化为3﹣2+1，把5﹣2化为3﹣2+2，然后再用完全平方公式分解因式，最后化简；
（2）把19﹣4化为15﹣4+4，然后再用完全平方公式分解因式，最后化简；
（3）根据前两问的规律先把原式化为++++的形式，再分母有理化，最后计算．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
原式＝
＝
＝；
故答案为：；；
（2）原式＝
＝
＝；
（3）原式＝++++
＝1++2﹣+﹣2+
＝﹣1．
【点评】主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简，其中拆项法进行化简是解题关键．
22．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度匀速运动．设点P的运动时间为ts．
（1）连接AP，当BP＝AP时，求t的值；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）若在动点P出发的同时，动点Q从点A出发，沿射线AC方向以1cm/s的速度匀速运动，当S△BPQ＝S△PCQ时，求PQ的值．

【分析】（1）由勾股定理可求出答案；
（2）分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案；
（3）求出t的值，由勾股定理可求出答案．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，
由勾股定理得AC＝＝3cm．
由题意得BP＝2tcm，CP＝（4﹣2t）cm，
∵CP2+AC2＝AP2，
∴（4﹣2t）2+32＝（2t）2，
解得t＝；
（2）由题意知：BP＝2tcm．
①当∠APB＝90°时，如图1，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，

∴t＝4÷2＝2；
②当∠BAP＝90°时，如图2，CP＝BP﹣BC＝（2t﹣4）cm，AC＝3cm．

在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2＝32+（2t﹣4）2，
在Rt△BAP中，AP2＝BP2﹣AB2＝（2t）2﹣52，
∴32+（2t﹣4）2＝（2t）2﹣52，
解得t＝．
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为2或．
（3）当点P在BC上时，点Q在AC上，
∵S△BPQ＝S△PCQ，
∴BP＝CP，
∴t＝1，
∴CQ＝2cm，
∴PQ＝＝2（cm）．
当点P在BC的延长线上时，S△BPQ＞S△PCQ，不满足题意．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理，正确进行分类是解题的关键．
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