重庆市石柱回龙中学校2023-2024学年高二上学期9月质量检测数学试题

2023-2024学年度石柱回龙中学高二数学9月质量检测试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ）

A． B． C． D．

2．在正方体中，可以作为空间向量的一组基的是（    ）

A．，，B．，，C．，，D．，，

3．已知向量，，且，那么实数等于（　　）

A．3 B．-3 C．9 D．-9

4．在空间中，下列结论正确的是（　　）

A．＝＋ B．＝＋＋

C．＝＋－ D．＝＋

5．已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（    ）

A． B． C．与相交但不垂直 D．

6．给出下列命题：①零向量没有方向；

②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

③若空间向量满足，则；④若空间向量满足，则；

⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（    ）

A．4B．3C．2D．1

7．已知，，，四点在平面内，且任意三点都不共线，点在外，且满足，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

8．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（    ）

A． B． C．4 D．2

9．如图，在四面体中，，，.点在上，且，为中点，则等于（   ）

A．B．

C．D．

10．已知，，，则下列结论正确的是（    ）

A．B．C．D．以上都不对

11．在中，已知，则（     ）

A．B．C．D．

12．如图，在棱长为1的正方体中，点分别在线段和上．给出下列四个结论中所有正确结论的个数有（    ）个

①的最小值为1②四面体的体积为

③存在无数条直线与垂直

④点为所在边中点时，四面体的外接球半径为

A．1 B．2 C．3 D．4

二、多选题

13．已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（    ）

A． B． C． D．

14．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中不能确定点M，A，B，C共面的是（    ）

A． B．

C． D．

15．已知是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，则下列说法正确的是（    ）．

A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则

16．给出下列命题，其中正确的是（    ）

A．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面

B．若，是两个不共线的向量，且（，，，），则构成空间的一个基底

C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线

D．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则

17．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（    ）

A．两条不重合直线的方向向量分别是，则

B．直线的方向向量，平面的法向量是，则

C．两个不同的平面的法向量分别是，则

D．直线的方向向量，平面的法向量是，则

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且，，则（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

19．如图，平行六面体中，，，则线段的长度是.

20．下列关于空间向量的命题中，正确的有．

①若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则；

②若非零向量、、满足，，则有；

③若、、是空间向量的一组基底，且，则、、、四点共面；

④若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底．

21．已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为．

22．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．则与所成角的余弦值为．

23．已知直三棱柱，，，点为此直三棱柱表面上一动点，且，当取最小值时，的值为.

四、解答题

24．已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.

25．设.

(1)若//，求的值；

(2)若，求的值．

26．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，是的中点，在上，且，则向量与向量所成角的余弦值为．

 参考答案：

1．B

【分析】根据对称的性质即可求解.

【详解】点关于xOz平面的对称点是,

故选：B

2．C

【分析】根据不共面的三个向量即可作为空间向量的一组基底，即可得到结果.

【详解】因为向量，，不共面，所以可以作为空间向量的一组基，而其它三组向量都共面，

故选：C.

3．D

【分析】运用空间向量共线列式计算即可.

【详解】∵，，且，

∴，

解得，，

∴．

故选：D．

4．B

【分析】利用向量的加减法法则逐个分析判断即可.

【详解】对于A，因为，所以A错误，

对于B，因为，所以B正确，

对于C，因为，所以C错误，

对于D，因为，所以D错误，

故选：B

5．A

【分析】根据面法向量与直线方向向量的线性关系判断线面关系即可.

【详解】由题设，则，故.

故选：A

6．D

【分析】根据空间向量的有关定义判断可得答案.

【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；

当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；

根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误；

命题④显然正确；

对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．

故选：D.

7．B

【分析】根据空间向量的共面定理可求的值.

【详解】因为点在外，由空间向量的共面定理可知且；

由题意，所以；

所以，解得.

故选：B.

8．C

【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】由二面角的平面角的定义知，

∴，

由，得，又，

∴

，

所以，即.

故选：C.

9．B

【分析】根据空间向量线性运算直接求解即可.

【详解】连接，

.

故选：B.

10．C

【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标，逐项判断作答.

【详解】由，，，知，即，B错误；

又，因此，同理，AD错误，C正确.

故选：C

11．D

【分析】先计算出得到，从而求出.

【详解】，

因为，所以，

所以.

故选：D

12．B

【分析】由公垂线的性质判断A;由线面平行的性质及锥体的体积公式判断B;根据线面垂直的判定及面面平行的判定定理结合条件判断C;利用坐标法，根据正弦定理及球的性质结合条件可求四面体的外接球半径判断D.

【详解】对于A:因为是正方体，

所以平面,平面,

又因为平面,平面,

所以,

，即是与的公垂线段，

因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，

所以当分别与重合时，最短为1，故A正确;

对于B,因为是正方体，

所以平面平面，且平面

所以平面，

当点在上运动时，点到平面的距离不变，距离，

由可知，当点在上运动时，到的距离不变，

所以的面积不变，

所以所以B错误;

对于C,连接，因为平面，平面，

且,所以，

又平面，

所以平面，当不在线段端点时，

过作交于 ，过作交于，

平面交线段于,

因为平面，平面 ,

故平面，同理平面,

又平面，

所以平面平面，

故平面，又平面，

所以，因为点在线段上，

所以存在无数条直线，故C正确;

对于D,如图,以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则,

所以,

则的外接圆的半径为

所以可得等腰的外接圆圆心为,

设四面体的外接球球心为，则平面，

所以可设四面体的外接球球心为，

由，

可得,解得，

所以四面体的外接球的半径为故D错误.

故选:AC.

13．AD

【分析】由平行平面的法向量共线，可求解.

【详解】设平面的法向量可能为，则由题意可得，

对于选项，，满足题意；

对于选项，设，无解，所以不符合题意；

对于选项，设，无解，所以不符合题意；

对于选项，，满足题意．

故选：AD．

14．ABC

【分析】利用向量四点共面的结论进行判断即可.

【详解】设，

若点与点共面，则，

逐一检验各选项，可知只有选项D确定点M，A，B，C共面.

故选：ABC.

15．AD

【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的关系逐一判断即可.

【详解】若，则，得，得，A正确，B错误．

若，则，得，得，C错误，D正确．

故选：AD

16．CD

【分析】对于A选项：由四点共面的充要条件即可验证；对于B选项：由构成基底的条件即可判断；对于C选项：由三点共线的充要条件即可判断；对于D选项：若两个平面平行，则它们的法向量也对应平行，然后由向量平行的充要条件即可判断.

【详解】对于A选项：若P，A，B，C四点共面，由于A，B，C三点不共线，

所以由平面向量基本定理有，

进一步有，整理得，

所以此时的系数之和恒为1，

若，则有的系数之和；故A选项不符合题意.

对于B选项：若，是两个不共线的向量，且（，，，），则 共面，

所以不能构成空间的一个基底；故B选项不符合题意.

对于C选项：若，则有，整理得，即，

所以A，B，C三点共线；故C选项符合题意.

对于D选项：若，则它们对应的法向量与也平行，

所以，有，即，解得；故D选项符合题意.

故选：CD.

17．AC

【分析】对于，由不重合两直线方向向量平行可判断直线相互平行；对于B，要考虑直线可能在面内；对于C，由两法向量垂直可得两平面垂直；对于D，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直.

【详解】对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，

则，所以，即，故正确；

对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，

则，所以，即或，故B错误；

对于C，两个不同的平面，的法向量分别是，

则，所以，故C正确；

对于D，直线的方向向量，平面的法向量是，

则，所以，即，故D错误．

故选：AC．

18．BD

【分析】利用数量积的定义和运算律，结合图形，即可求解.

【详解】因为底面ABCD，所以垂直于平面内的任何一条直线，

因为四边形ABCD是边长为1的菱形，且，所以和是等边三角形，

A. ，故A错误；

B. ，故B正确；

C.

，故C错误；

D.

，故D正确.

故选：BD

19．

【分析】由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可求解.

【详解】由题知，

所以，

所以，即，所以线段的长度是.

故答案为：

20．①③④

【分析】利用反证法可判断①④；利用空间向量的位置关系可判断②；利用共面向量的基本定理可判断可判断③.

【详解】对于①，假设、不共线，则存在空间向量，使得当与、不共线，

此时，、、能构成空间向量的一组基底，与题设矛盾，假设不成立，

所以，若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基，则，①对；

对于②，若非零向量、、满足，，则与不一定共线，②错；

对于③，若、、是空间向量的一组基，且，

则，

即，

所以，、、、四点共面，③对；

对于④，因为向量、、是空间向量的一组基底，

假设、、共面，若，不妨设，设存在、，使得，，

所以，，，，

此时，向量、、共线，与题设矛盾；

若、、共面，且、不共线，则存在、，使得，

则，，

所以，、、共面，与题设矛盾，故、、也是空间向量的一组基底，④对.

故答案为：①③④.

21．

【分析】将平行四边形分成两个三角形，利用三角形的面积公式结合向量的夹角公式进行求解.

【详解】设的夹角为，则，故，根据夹角公式，，于是，

不妨设，，以为邻边的平行四边形为，

连接，则，而根据三角形的面积公式，，

故.

故答案为：

22．

【分析】由题设是棱长为2的正四面体，数形结合可得、，利用向量数量积的运算律及向量夹角公式求向量与向量所成角的余弦值.

【详解】由题意，是棱长为2的正四面体，

而，

，

所以

，

，

又

，

所以.

故答案为：

23．/

【分析】首先由可得是在以为球心半径为4的球面上，进而得到其在平面的交线，故取值最小时，，，三点共线，利用平面几何的运算可计算出在上的投影，进而得到答案.

【详解】由可得是在以为球心半径为4的球面上，

由于，，

取值最小时，其在平面内，

其在平面的交线为如图所示的圆弧.

故取值最小时，，，三点共线，

通过点往作垂线，垂足为，则，

则，故，

代入解得，从而，

因此

.

故答案为：.

关键点点睛：本题考查立体几何中点的轨迹问题，解题关键是找到点在平面的运动轨迹．进而得到取值最小时，，，三点共线，然后通过点往作垂线，垂足为，进而可计算出在上的投影，进而得到答案.

24．答案见解析

【分析】根据空间坐标系分别写出对应点的坐标，再利用向量的坐标运算法则即可得出结果.

【详解】根据题意可得，

又E，F分别为棱，的中点，可得，

利用向量坐标运算法则可得，即；

，即；

，即；

所以可得，，.

25．(1)

(2)

【分析】先求出和的表达式，然后根据向量的平行和垂直列式求解.

【详解】（1）依题意得，，，

若//，则，

解得.

（2）由，则，

解得

26．(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的长.

（2）利用向量法求得与所成角的余弦值.

【详解】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

所以，即线段的长为.

（2），，，，

所以，，

，．

所以，

所以．

所以，与所成角的余弦值为．