江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高三上学期期初考试数学试卷（含答案）

这是一份江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高三上学期期初考试数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x＞1}（ ）
A．{1，2，3}B．{2}C．{2，3}D．{1，3}
2．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜4，q：|x﹣1|＜2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，2）上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．[4，+∞）B．[﹣4，0）C．（0，4]D．（﹣∞，﹣4]
4．（5分）若a＞b＞0，c＞d＞0，则一定有（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）在成都大学生世界运动会中，甲、乙、丙参加了游泳、体操、足球三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知①乙没有参加游泳，则丙参加足球；③若丙没有参加体操（ ）
A．丙参加了体操B．乙参加了体操
C．丙参加了足球D．甲参加了足球
7．（5分）若实数a，b，c满足6a＝18ac＝2，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．c＞b＞a
8．（5分）设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1，若对于任意的x∈{x|1≤x≤2}，f（x）＜﹣m+4恒成立（ ）
A．m≤0B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
（多选）9．（5分）已知全集U，集合A，B是U的子集，则下列结论中正确的是（ ）
A．A∪B＝AB．∁UB⊆∁UA
C．B∩（∁UA）＝∅D．（∁UA）∪（∁UB）＝U
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）＝x+1与是同一个函数
B．若函数f（x）的定义域为[0，3]，则函数f（3x）的定义域为[0，1]
C．已知命题p：∀x＞0，x2≥0，则命题p的否定为∃x＞0，x2＜0
D．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）﹣f（2﹣x）＝0，则函数f（x）的周期为4
（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0且，则下列式子中正确的是（ ）
A．a2+b2≥1B．
C．D．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），则（ ）
A．f（0）＝0
B．f（﹣1）＝﹣1
C．f（x）为偶函数
D．若，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）已知集合A＝{a+1，a2﹣1}，若3∈A，则实数a的值是 ．
14．（5分）已知关于x 的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2﹣x1＝15，则a的值为 ．
15．（5分）写出一个满足：f（x﹣y）＝f（x）+f（y） ．
16．（5分）已知函数，若关于x的方程4f2（x）﹣4a•f（x）+2a+3＝0有5个不同的实根，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合，B＝{x|x2﹣7x+6＜0}，C＝{x|x＞a}，全集为实数集R．
（1）求A∪B，（∁RA）∩B；
（2）如果A∩C＝∅，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣4x+t2≠0，命题p为假命题时实数t的取值集合为A．
（1）求集合A；
（2）设集合B＝{t|2m﹣3＜t＜m+1}，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19．（6分）当x＞1时，求的最小值．
20．（6分）已知a＞0，b＞0且，求2a+b的最小值．
21．（12分）如图，在多面体ABCDE中，AB⊥平面BCD，其中△ECD是边长为2的正三角形，△BCD是以∠BDC为直角的等腰三角形．
（1）证明：AB∥平面CDE；
（2）若平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值为，求线段AB的长度．
22．（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选20只小白鼠，随机地将其中10只分配到试验组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境（单位：g）．
（1）设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；
（2）试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9
（i）求20只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：．
23．（12分）根据人教2019版必修一P87页的13题介绍：函数f（x）的图象关于点P（m，n）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+m），a＞0且a≠1．
（1）利用上述结论，求函数f（x）的对称中心；
（2）若对于∀x∈[2，3]，不等式f[a（4x+2x）]+f（1﹣2x）≤0恒成立，求a的取值范围．
2023-2024学年江苏省扬州市高邮市高三（上）期初数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x＞1}（ ）
A．{1，2，3}B．{2}C．{2，3}D．{1，3}
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：知集合A＝{1，2，8}，
则A∩B＝{2，3}．
故选：C．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜4，q：|x﹣1|＜2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意化简q，得到q对应的x的取值范围，再由充分必要条件的定义算出本题答案．
【解答】解：由q：|x﹣1|＜2，化简得q：﹣8＜x＜3，
而p：﹣1＜x＜8，可知：由p不能推出q成立．
因此，p为q的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
3．（5分）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，2）上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．[4，+∞）B．[﹣4，0）C．（0，4]D．（﹣∞，﹣4]
【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．
【解答】解：设t＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，对称轴为x＝，
∵y＝7t是R上的增函数，
∴要使f（x）在区间（0，2）单调递减，
则t＝x5﹣ax在区间（0，2）单调递减，
即≥2，
故实数a的取值范围是[4，+∞）．
故选：A．
【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．
4．（5分）若a＞b＞0，c＞d＞0，则一定有（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据条件，取a＝c＝2，b＝d＝1，即可得到正确选项．
【解答】解：由a＞b＞0，c＞d＞0，b＝d＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
5．（5分）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先确定函数的奇偶性，排除AC选项，再特殊函数值，比较排除选项可得答案．
【解答】解：因为函数f（x）的定义域为R，且，
所以函数f（x）是奇函数，故可排除A、C；
又，故可排除B；
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
6．（5分）在成都大学生世界运动会中，甲、乙、丙参加了游泳、体操、足球三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知①乙没有参加游泳，则丙参加足球；③若丙没有参加体操（ ）
A．丙参加了体操B．乙参加了体操
C．丙参加了足球D．甲参加了足球
【分析】根据题意首先可以确定乙只能参加足球，进而可推断甲只能参加游泳，进一步可知丙参加体操，由此得解．
【解答】解：由①可知，乙参加体操或足球，
若乙参加体操，则丙没有参加体操，甲参加体操，
故乙只能参加足球，选项B错误；
由前面分析可知，甲参加体操或游泳，
若甲参加体操，则由②可知，这与乙参加足球矛盾，
则甲只能参加游泳，选项D错误；
由以上分析可知，丙参加体操，选项C错误．
故选：A．
【点评】本题考查进行简单的合情推理，属于基础题．
7．（5分）若实数a，b，c满足6a＝18ac＝2，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【分析】求得a＝lg62，c＝lg186，利用放缩法可得a，b，c的大小关系
【解答】解：由6a＝18ac＝2，得a＝lg22，ac＝lg182，
∴c＝＝lg184，
由a＝lg62＜lg7＜lg6＝，
c＝lg186＞lg18＞lg18＝＞，
∴c＞b＞a．
故选：D．
【点评】本题考查对数的运算，考查放缩法比较数的大小，属中档题．
8．（5分）设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1，若对于任意的x∈{x|1≤x≤2}，f（x）＜﹣m+4恒成立（ ）
A．m≤0B．C．D．
【分析】依题意，可得m（x2﹣x+1）＜5对∀x∈[1，2]恒成立，分离参数m，利用二次函数的性质可求得答案．
【解答】解：∵∀x∈[1，2]3﹣mx﹣1＜﹣m+4恒成立，
∴m（x4﹣x+1）＜5对∀x∈[8，2]恒成立，
∵y＝x2﹣x+2＝（x﹣）4+＞7，
∴m＜（）min，x∈[1，2]．
∵y＝x3﹣x+1的对称轴方程为x＝，
∴f（x）在[1，2]上单调递增，
∴当x＝2时，y取得最大值3，
∴（）min＝，
∴m＜．
故选：C．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查转化与化归思想与运算求解能力，属于中档题．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
（多选）9．（5分）已知全集U，集合A，B是U的子集，则下列结论中正确的是（ ）
A．A∪B＝AB．∁UB⊆∁UA
C．B∩（∁UA）＝∅D．（∁UA）∪（∁UB）＝U
【分析】由已知结合集合的交并运算及集合包含关系的转化检验各选项即可判断．
【解答】解：因为A∩B＝B，
所以B⊆A，
A：A∪B＝A，正确；
B：∁UA⊆∁UB，B错误；
C：B∩（∁UA）＝∅，C正确；
D：（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）＝∁UB，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了集合的交并补的运算及集合包含关系的转化，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）＝x+1与是同一个函数
B．若函数f（x）的定义域为[0，3]，则函数f（3x）的定义域为[0，1]
C．已知命题p：∀x＞0，x2≥0，则命题p的否定为∃x＞0，x2＜0
D．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）﹣f（2﹣x）＝0，则函数f（x）的周期为4
【分析】对于A，结合同一函数的定义，即可求解；
对于B，令0≤3x≤3，解出x的范围，即可求解；
对于C，结合命题否定的定义，即可求解；
对于D，结合奇函数的性质，以及周期函数的定义，即可求解．
【解答】解：对于A，f（x）的定义域为R，+∞），
故f（x），g（x）不是同一函数；
对于B，函数f（x）的定义域为[0，
则0≤6x≤3，解得0≤x≤5，
故函数f（3x）的定义域为[0，4]；
对于C，命题p：∀x＞0，x2≥5，则命题p的否定为∃x＞0，x2＜2，故C正确；
对于D，f（x）﹣f（2﹣x）＝0，
则f（x）＝f（4﹣x），
故f（﹣x）＝f（2+x），
f（x）为奇函数，
故f（﹣x）＝﹣f（x），
故﹣f（x）＝f（2+x），
﹣f（8+x）＝f（2+2+x）＝f（7+x），
故f（x）＝f（4+x），故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查函数的性质，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0且，则下列式子中正确的是（ ）
A．a2+b2≥1B．
C．D．
【分析】根据题意，利用基本不等式对各项依次进行判断，从而得出正确答案．
【解答】解：对于A，由a2+b2≥7ab得2（a2+b6）≥（a+b）2，
结合，可得2（a2+b2）≥2，所以a2+b2≥7，故A正确；
对于B，，
因为，当且仅当，
所以，故B正确；
对于C，由a＞0，可得，
所以，结合不成立；
对于D，由，可知，
结合，可得，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了不等式的性质、利用基本不等式求函数的最值等知识，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），则（ ）
A．f（0）＝0
B．f（﹣1）＝﹣1
C．f（x）为偶函数
D．若，则
【分析】利用赋值法即可判断各选项．
【解答】解：因为f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），
对于A，令x＝y＝5，故A正确；
对于B，令x＝y＝1，则f（1）＝0，
令x＝y＝﹣8，f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1）＝8f（﹣1），故B错误；
对于C，令y＝﹣13f（﹣1）＝f（x），又函数f（x）的定义域为R，故C正确；
对于D，令x＝2，所以f（﹣1）＝）＝0，
若，则f（﹣，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查赋值法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）已知集合A＝{a+1，a2﹣1}，若3∈A，则实数a的值是 ﹣2 ．
【分析】利用集合中的元素确定参数的值，注意元素的互异性．
【解答】解：因为 3∈A，则 a+1＝62﹣1＝2，
当 a+1＝3时，a＝7，3}，舍去；
当a2﹣5＝3，时，a＝2或a＝﹣2，
当a＝2时，A＝{3，不满足集合中元素的互异性；
当 a＝﹣2 时，A＝{﹣1，符合题意；
综上所述；a＝﹣2，
故答案为：﹣6．
【点评】本题利用集合元素的互异性求参数，属于基础题．
14．（5分）已知关于x 的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2﹣x1＝15，则a的值为 ．
【分析】由不等式的解集得出对应方程的实数根，结合题意利用根与系数的关系即可求出a的值．
【解答】解：关于x 的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞4）的解集为{x|x1＜x＜x2}，
所以x2和x2是方程x2﹣7ax﹣8a2＝7的两个实数根，
所以，
因为x2﹣x3＝15，所以＝1x2＝5a2+32a2＝225，
即a4＝，解得a＝±．
故答案为：．
【点评】本题考查了不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
15．（5分）写出一个满足：f（x﹣y）＝f（x）+f（y） f（x）＝x2 ．
【分析】赋值法得到f（0）＝0，f（x）+f（﹣x）＝2x2，求出函数解析式．
【解答】解：f（x﹣y）＝f（x）+f（y）﹣2xy中，令x＝y＝0，
令y＝x得f（x﹣x）＝f（x）+f（x）﹣5x2，故f（x）+f（x）＝2x6，
不妨设f（x）＝x2，满足要求．
故答案为：f（x）＝x2．
【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．
16．（5分）已知函数，若关于x的方程4f2（x）﹣4a•f（x）+2a+3＝0有5个不同的实根，则实数a的取值范围是 （﹣，﹣] ．
【分析】作出函数f（x）的图象，结合图象可知关于f（x）的一元二次方程根的分布，根据一元二次根的分布列出不等式求解即可．
【解答】解：作出函数的图象如下：
因为关于x的方程4f5（x）﹣4a•f（x）+2a+6＝0有5个不同的实根，
令t＝f（t），则方程7t2﹣4at+8a+3＝0有5个不同的实根t1，t2，
则Δ＝16a6﹣16（2a+3）＝16（a3﹣2a﹣3）＞7，解得a＜﹣1或a＞33＜t2，则﹣2＜t2≤﹣1＜t2＜5或﹣1＜t1＜t3＝0，
令g（t）＝4t8﹣4at+2a+2，
则有或2a+3＝5，
由，得﹣；
当2a+8＝0时，解得a＝﹣2+6t＝7，解得t1＝﹣，t2＝0，不符合题意；
综上可得﹣＜a≤﹣，
所以实数a的取值范围为（﹣，﹣]．
故答案为：（﹣，﹣]．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想及二次函数的性质，属于中档题．
三、解答题（本大题共7小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合，B＝{x|x2﹣7x+6＜0}，C＝{x|x＞a}，全集为实数集R．
（1）求A∪B，（∁RA）∩B；
（2）如果A∩C＝∅，求实数a的取值范围．
【分析】（1）化简集合A、B，根据并集、补集和交集的定义计算即可；
（2）根据题意，利用A∩C＝∅，直接写出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）集合＝{x|3≤x＜5}8﹣7x+6＜4}＝{x|1＜x＜6}，
所以A∪B＝{x|5＜x＜6}，∁RA＝{x|x＜3或x≥5}，
所以（∁RA）∩B＝{x|1＜x＜3或6≤x＜6}；
（2）因为集合C＝{x|x＞a}，且A∩C＝∅，
所以a≥5，即实数a的取值范围是{a|a≥6}．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
18．（12分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣4x+t2≠0，命题p为假命题时实数t的取值集合为A．
（1）求集合A；
（2）设集合B＝{t|2m﹣3＜t＜m+1}，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据题意，关于x的方程x2﹣4x+t2＝0有实数根，利用一元二次方程根的判别式算出答案；
（2）由充分必要条件的定义，可知B⫋A，进而建立关于m的不等式组，算出m的取值范围．
【解答】解：（1）命题p：∀x∈R，x2﹣4x+t7≠0，则￢p：∃x∈R2﹣8x+t2＝0．
当命题p为假命题时，￢p为真命题，
即关于x的方程x7﹣4x+t2＝2有实数根，Δ＝16﹣4t2≥7，解得﹣2≤t≤2，
因此，命题p为假命题时，7]；
（2）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则B⫋A，
当m+1≤2m﹣4时，即m≥4时，符合题意；
当m＜4时，若B⫋A，解得．
综上所述，若x∈B是x∈A的充分不必要条件．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
19．（6分）当x＞1时，求的最小值．
【分析】根据题意x﹣1＞0，以x﹣1为整体进行配方，进而利用基本不等式算出答案．
【解答】解：当x＞1时，x﹣1＞2，
所以，
当且仅当，即x＝3时，．
【点评】本题主要考查了不等式的性质、利用基本不等式求函数的最值等知识，属于基础题．
20．（6分）已知a＞0，b＞0且，求2a+b的最小值．
【分析】根据题意以a+1、b+1为单位，利用“1的代换”并结合基本不等式加以计算，即可得到答案．
【解答】解：根据题意，2a+b+3＝3（a+1）+（b+1），
∵，
∴，
而，
可得，即，
因此，，当且仅当，即时．
综上所述，2a+b的最小值是．
【点评】本题主要考查了不等式的性质、利用基本不等式求函数的最值等知识，属于基础题．
21．（12分）如图，在多面体ABCDE中，AB⊥平面BCD，其中△ECD是边长为2的正三角形，△BCD是以∠BDC为直角的等腰三角形．
（1）证明：AB∥平面CDE；
（2）若平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值为，求线段AB的长度．
【分析】（1）先证明线面垂直，再由线面垂直的性质得线线平行，利用线面平行判定定理求证即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
【解答】（1）证明：取CD的中点F，连接EF，则EF⊥CD．
∵平面ECD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD＝CD，
∴EF⊥平面BCD．
又∵AB⊥平面BCD，∴AB∥EF．
∵AB⊄平面ECD，EF⊂平面ECD；
（2）解：过点B作BP∥CD，以B为坐标原点，
分别以BP，BD，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝a，则A（0，0，B（4，0，
C（2，6，0），2，7），2，），
故，，，．
设平面ACE的一个法向量为＝（x1，y2，z1），
由，取，得；
设平面BDE的一个法向量为＝（x2，y6，z2），
由，取，得．
设平面ACE与平面BDE的夹角为θ，
则caθ＝|cs|＝|，
解得a＝，即AB＝．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题．
22．（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选20只小白鼠，随机地将其中10只分配到试验组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境（单位：g）．
（1）设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；
（2）试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9
（i）求20只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：．
【分析】（1）根据题意可得X＝0，1，2，根据古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到X的分布列和期望；
（2）（i）根据中位数的定义求出m的值，进而补全2×2列联表；
（ii）根据2×2列联表求出K2的值，再与临界值比较即可．
【解答】解：（1）根据题意可得X＝0，1，3，
则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝＝，
所以X的分布列为：
所以E（X）＝＝1；
（2）（i）20只小白鼠体重的增加量从小到大排列为：16.2，18.0，19.2，20.4，22.5，23.2，23.8，26.5，30.1，34.8，35.6，
所以中位数m＝＝23.4，
完成8×2列联表如下：
（ii）K4＝＝4.2＞3.418，
所以有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了独立性检验的应用，属于中档题．
23．（12分）根据人教2019版必修一P87页的13题介绍：函数f（x）的图象关于点P（m，n）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+m），a＞0且a≠1．
（1）利用上述结论，求函数f（x）的对称中心；
（2）若对于∀x∈[2，3]，不等式f[a（4x+2x）]+f（1﹣2x）≤0恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）由题意，设函数f（x）的对称中心为（m，n），根据函数奇偶性的定义得到（a2n﹣1）x2+m2﹣（m+2）2a2n＝0恒成立，再列出等式即可求出m，n的值；
（2）结合（1）中所得，将问题转化成∀x∈[2，3]，使得f[a（4x+2x）]≤f（﹣3+2x）恒成立，分别讨论当0＜a＜1和a＞1这两种情况，利用换元法以及基本不等式进行求解即可．
【解答】解：（1）不妨设函数f（x）的对称中心为（m，n），
因为函数y＝f（x+m）﹣n为奇函数，
所以f（﹣x+m）﹣n＝﹣f（x+m）+n恒成立，
此时恒成立，
即 恒成立，
所以（a2n﹣1）x4+m2﹣（m+2）6a2n＝0恒成立，
则，
解得n＝0，m＝﹣5，
所以函数f（x）的对称中心为（﹣1，0）；
（2）由（1）知函数f（x）的对称中心为（﹣2，0），
所以f（x）+f（﹣2﹣x）＝5，
因为当x∈[2，3]时x+8x）]≤﹣f（1﹣2x）恒成立，
即∀x∈[3，3]x+2x）]≤f（﹣5+2x）恒成立，
当a＞1时，易知函数，+∞）上单调递增，
此时∀x∈[2，3]x+3x）≤﹣3+2x恒成立，
即∀x∈[5，3]恒成立，
不妨令t＝8x﹣3，1≤t≤2，
此时y＝＝≥，
解得，
因为a＞1，其不符合题意；
当0＜a＜3时，已知函数，+∞）上单调递减，
此时∀x∈[2，7]x+2x）≥﹣3+7x恒成立，
即∀x∈[2，3]，，
不妨令t＝2x﹣3，7≤t≤5，
此时y＝＝≤5﹣4，
解得a≥4﹣4，
又7＜a＜1，
所以，
综上，满足条件的a的取值范围为[5﹣4．
【点评】本题考查函数奇偶性的应用以及函数恒成立问题，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力．
＜m
≥m
对照组


实验组


P（K2≥k）
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
＜m
≥m
对照组
2
8
实验组
8
2
P（K2≥k）
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
X
 0
 1
 2
 P
 
 
＜m
≥m
 合计
 对照组
 2
 3
 10
 实验组
 8
 2
 10
 合计
 10
 10
20