初中数学人教版八年级下册19.1.1 变量与函数教案设计

课题：19.1.1 变量与函数（2）

【知识目标】

（1）基于生活经验，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题．能指出具体问题中的常量、变量．

（2）借助简单实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来刻画．能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系．

（3）借助简单实例，初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系．能判断两个变量间是否具有函数关系．

【过程与方法目标】

借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.

【情感与态度目标】

(1)从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.

(2) 借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣．

【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念．

【教学难点】怎样理解“唯一对应”．

【教学关键】

借助实例，明确由哪一个量的变化引起另一个量的变化，进而指出由哪一个变量确定另一个变量；“唯一对应”是一种特殊的对应关系，包括“一对一”、“多对一”．“一对多”不是函数关系．

五、教学过程

导言：

讲一个小故事：（王爷爷中风住院在重症监护室里护士小李填写表格）

表一

表二

上述两个问题中都涉及两个量的关系，这一节课我们研究两个量的关系，研究怎样由一个量来确定另一个量．

板书课题：两个__量的关系：

说明：从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间(一两分钟)内指明本节课的学习内容．空格中将来填上变量的“变”字．现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关系注一类简单的问题．

活动一、概念的引入

1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元.

（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是       元；

（2）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入是       元；

（3）若一场售出310张电影票，则该场的票房收入是       元；

（4）若一场售出张电影票，则该场的票房收入元，则       .

思考：

（1）票房收入随售出的电影票变化而变化，即随    的变化而变化；

（2）当售出票数取定一个确定的值时，对应的票房收入的取值是否唯一确定？

(例如，当=150时，的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．

2．如图，是某班同学一次数学测试中的成绩登记表：这一数学测试中，

（1）13号的成绩为______；

（2）17号的成绩为______；

（3）18号的成绩为______；

（4）23号的成绩为______．

思考：

（1）测试成绩随________的变化而变化；

（2）任意确定一个学号x，对应的成绩f的取值是否唯一确定？

(例如，当学号=13时，所得成绩f的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．

3.温度变化问题：如图一，是抚顺春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：

（1）这天的8时的气温是      ℃，14时的气温是      ℃，22时的气温是        ℃；

（2）这一天中，最高气温是       ℃，最低气温是       ℃；

思考：

（1）天气温度随            的变化而变化，即随    的变化而变化；
（2）当时间取定一个确定的值时，对应的温度的取值是否唯一确定？

(例如，当=12时，所得温度的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．

设计意图：这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过研究这些问题引出常量、变量、函数等概念，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程.问题的形式有填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.

活动二、概念的定义

1.上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？

答：票房收入问题中，涉及票价(10元)、售出票数、票房收入，票数的变化会引起票房收入的变化，如图所示：

类似的，有：

在上面的四个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值．

以气温问题为例，时间的变化引起温度的变化，

(1) 当t=0点时，T=2;

当t=2点时，T=0;

(2) 当t=12点时，T=8;

 当t=12点1分时，T=8;

 当t=12点2分时，T=8;

 …

 当t=14点时，T=8;

情况（1）（2）中，时间取定一个值时，所得T的对应值只有一个（可能是“一对一”，也可能是“多对一”），即通过时间t,能把温度T“唯一确定”.

反之，当T=8时，所得t的值为12~14点之间的任一时刻（“多对一”），通过温度T，不能把时间t “唯一确定”.

在这个问题中，我们把温度T称为时间t的函数．（但时间t不是温度T的函数，因为通过温度T，不能把时间t “唯一确定”.）

一般地，

在一个变化过程中：

（1）发生变化的量叫做        ；

（2）不变的量叫做       ；

（3）如果有两个变量和，对于的每一个值，都有       的值与之对应，称是          ，是的      ；

（4）如果当时，，叫做当时的函数值.

说明：如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键．这里提出的问题“上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？”是一个关键的“脚手架”，通过“脚手架”引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义．

活动三、概念解读：

1、在上述概念中如何理解“确定”、“唯一”这些字眼？

   教师给出讲解：“确定”有两层含义：①具体的，确实的  ②有意义的，符合要求的。（由此引入确定自变量取值范围）

“唯一”意思是“有且只有”

  2、如何理解“对应”？怎样体现出“对应”？

教师给出讲解：“对应”指的是自变量与函数之间的一种数量关系，体现函数关系常用的方法有：关系式法（由此介绍“解析式”）、表格、图像

活动四、初步运用：上述所研究的4个问题中，哪些量是自变量？哪些量是函数？并写出用自变量表示函数的式子.

活动五、概念巩固

•         购买一些签字笔，单价3元，总价为元，签字笔为支，根据题意填表：

（1）随变化的关系式           ，     是自变量，    是     的函数；

（2）当购买8支签字笔时，总价为      元.

2.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里.他离开家后的距离（千米）与时间（时）的关系如图所示.

（1）当时，；当时，；

（2）小李从______时开始第一次休息，休息时间为____小时，此时离家______千米.

（3）距离是时间t的函数吗？

（4）***时间是距离的函数吗？

设计意图：1.例题和巩固练习，巩固变量与函数等概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.2. 练习二2(4)涉及反函数的知识，不少教师认为超纲不应涉及，本人的实践证明，提出这样的问题更有利于学生理解函数的“单值对应关系”，有利于学生明确“由哪一个量能唯一确定另一个量”，从而更好地理解自变量与函数的关系，更重要的是让学生养成逆向思维的习惯．当然，不宜在反函数的概念上作过多的拓展．

活动六、概念辨析

1.两个变量x、y满足关系式，填表并回答问题：

是的函数吗？为什么？

活动七、交流总结

（一）小组交流:

通过学习你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.

（二）班级展示与教师点拔：

展示一：1.说一说你对自变量、函数、函数值这些概念的理解.

2.下列式子中的y是x的函数吗？如果是，请讨论自变量x的取值范围.并求出当x＝4时的函数值.

  ①  y＝2x＋5         ② y＝1＋        ③  y ＝

展示二：（教师结合学生情况自主生成）

活动八、应用新知,解决问题：

例1:一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．

(１)写出表示y与x的函数关系式．

(２)指出自变量x的取值范围．

(３)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？

解：（1）                  （2）                      （3）

注意：1.自变量取值范围的确定，不仅要考虑           ，而且还要注意            .

2.表示         与         之间关系的数学式子叫做函数解析式.

活动九、巩固新知,当堂训练：

（见导学案）

活动十、概念升华

我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.

    （1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；

    （2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？

活动十一、反思小结

本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？（小组交流，互助解决）

【自我检测】

见导学案