13_专题五52三角恒等变换（习题+十年高考）

5.2　三角恒等变换

基础篇

考点　三角恒等变换

考向一　两角和与差的三角函数公式

1.(2022海南北京师范大学附中月考,3)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= (　　)

A.-

答案　D　

2.(2023届福建漳州质检,5)已知cos,则sin 2α= (　　)

A.

答案　D　

3.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2sin β,则 (　　)

A.tan(α-β)=1　　　　B.tan(α+β)=1

C.tan(α-β)=-1　　　　D.tan(α+β)=-1

答案　C　

4. (2022广东江门陈经纶中学月考,6)已知α,β为锐角,sin α=,cos(α+β)=-,

则cos β=(　　)

A.

答案　B　

5.(2023届河北衡水部分学校月考,14)已知tan,则cos=　　　　. 

答案　

6.(2018课标Ⅱ理,15,5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　. 

答案　-

7.(2017课标Ⅰ文,15,5分)已知α∈,tan α=2,则cos=　　　　. 

答案　

考向二　二倍角公式的应用

1.(2011福建,3,5分)若tan α=3,则的值等于 (　　)

A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6

答案　D　

2.(2022湖北黄冈中学三模,2)已知cos θ=,则sin= (　　)

A.-

答案　A　

3.(2023届重庆南开中学月考,13)已知sin,则sin=　　　　. 

答案　

4.(2020江苏,8,5分)已知sin2,则sin 2α的值是　　　　. 

答案　

5.(2022广东江门陈经纶中学月考,17)已知cos α=,且α是第四象限角.

(1)求sin 2α和cos 2α的值;

(2)求tan的值.

解析　(1)由cos α=,sin 2α+cos 2α=1得,sin 2α=1-cos 2α=,又∵α是第四象限角,

∴sin α=-,∴sin 2α=2sin αcos α=-,cos 2α=cos 2α-sin 2α=-.

(2)由(1)可知tan α=,

∴tan.

考向三　辅助角公式的应用

1.(2022湖南益阳三模,4)已知sin α-cos α=,则cos= (　　)

A.-

答案　B　

2.(2020课标Ⅲ文,5,5分)已知sin θ+sin=1,则sin= (　　)

A.

答案　B　

3.(2023届哈尔滨师大附中月考,15)4cos 50°-tan 40°=　　　　. 

答案　

综合篇

考法　三角函数式的求值和化简

考向一　给角求值

1.(2021江苏盐城二模,5)计算所得的结果为 (　　)

A.1　　　　B.　　　　D.2

答案　C　

2.(2021全国乙,6,5分)cos2=(　　)

A.

答案　D　

3.(2023届辽宁鞍山质量监测,14)的值为　　　　. 

答案　1

4.(2022湖南新高考教学教研联盟联考,13)tan 67.5°×(1-tan222.5°)=　　　　. 

答案　2

5.(2022江苏南通如皋教学质量调研,14)=　　　　. 

答案　

6.(2022辽宁滨城期中,13)tan 70°cos 10°·(tan 20°-1)等于　　　　. 

答案　-1

考向二　给值求角

1.(2022武汉部分重点中学联考,6)已知0<α<<β<π且sin α=,cos(β-α)=,则β= (　　)

A.

答案　D　

2.(2022辽宁滨城期中,4)已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,则2α+β的值为 (　　)

A.　　　　B.π　　　　C.

答案　B　

3.(2022沈阳期中,6)已知α为锐角,β为钝角且cos α=,tan β=-3,则α+β的值为 (　　)

A.π　　　　B.π　　　　C.

答案　A　

4.(2022湖北部分重点中学联考,7)已知tan α=,tan β=-,且α,β∈(0,π),则2α-β= (　　)

A.　　　　

C.-

答案　C　

5.(2023届哈尔滨师大附中月考,18)已知2sin α=2sin2-1.

(1)求sin αcos α+cos 2α的值;

(2)已知α∈(0,π),β∈,且tan2β-6tan β=1,求α+2β的值.

解析　(1)由已知得2sin α=-cos α,所以tan α=-,

则sin αcos α+cos 2α=.

(2)由tan2β-6tan β=1,可得tan 2β=,

则tan(α+2β)==-1.

因为β∈,所以2β∈(0,π),又tan 2β=-,则2β∈,因为α∈(0,π),

tan α=-,所以α∈,则α+2β∈,所以α+2β=.

考向三　给值求值

1.(2023届甘肃张掖诊断,4)已知sin 2α=,则cos2= (　　)

A.

答案　D　

2.(2023届辽宁六校期初,6)若tan=-2,则= (　　)

A.

答案　C　

3.(多选)(2022重庆巴蜀中学月考八,10)已知cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,则              (　　)

A.sin 2α=　　　　B.cos(α-β)=

C.cos αcos β=

答案　ABC　

4.(2020浙江,13,6分)已知tan θ=2,则cos 2θ=　　　　,tan=　　　　. 

答案　-

5.(2023届重庆八中入学考,17)已知α,β∈,cos α=,cos(α+β)=.

(1)求sin β的值;

(2)求cos(α+2β)的值.

解析　(1)因为α,β均为锐角,cos α=,所以0<α+β<π,sin α=,又cos(α+β)=>0,所以0<α+β<,sin(α+β)=.

所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)·sin α=.

(2)因为sin β=,且β为锐角,

所以cos β=,

所以cos(α+2β)=cos[(α+β)+β]

=cos(α+β)cos β-sin(α+β)sin β=.

6.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-.

(1)求cos 2α的值;

(2)求tan(α-β)的值.

解析　(1)因为tan α=,tan α=,所以sin α=cos α.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,

所以cos 2α=2cos2α-1=-.

(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).

又因为cos(α+β)=-,

所以sin(α+β)=,因此tan(α+β)=-2.因为tan α=,

所以tan 2α=.

因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=.