2024天津市第九十六中学高三上学期开学考试数学试题含解析

高三检测数学学科试卷

8.27

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.

第Ⅰ卷（共45分）

一､选择题（每题只有一个选项符合题意，每题5分共45分）

1. 已知集合，则 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合，再由交集的定义即可得出答案.

【详解】因为或，

所以.

故选：C.

2. 命题“”的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定结论，即可得答案.

【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为.

故选：A

3. 下列函数中，定义域是且为增函数的是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.

【详解】对于，，是上的减函数，不合题意；

对于，是定义域是且为增函数，符合题意；

对于，，定义域是，不合题意；

对于，，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B.

【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题.

4. 若，则“”是“”的（     ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由不等式，可得，可得，即充分性成立；

反之：由，可得，又因为，所以，所以必要性不成立，

所以是充分不必要条件.

故选：A.

5. 函数的大致图象为（    ）

A.    B.  

C.    D.  

【答案】D

【解析】

【分析】先根据奇偶性排除A选项，再根据函数值正负排除C选项，最后根据无穷大的极限排除即可判断.

【详解】因为的定义域为，

又，

所以为奇函数，其图像关于原点对称，A选项错误；

因为，所以当时，，C选项错误；

又当时，，

由复合函数的单调性可知，在上单调递增，故B选项错误；

而D选项满足上述性质，故D正确.

故选：D.

6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】分析：由题意结合对数函数性质整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意结合对数函数的性质可知：

，，，

据此可得：.

本题选择D选项.

点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．

7. 若函数，则函数的单调递减区间为（    ）．

A. ， B. ，

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出函数的定义域，由，求函数的单调递减区间.

【详解】，函数定义域为，

，

令，解得，

则函数的单调递减区间为.

故选：C.

8. 下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是（    ）

A. 是无理数 B. ，使为偶数

C. 对任意，都有 D. 所有菱形的四条边都相等

【答案】D

【解析】

【分析】

利用全称命题的定义及命题的真假即可判断结论，

【详解】解：对于A，是特称命题；

对于B，是特称命题，是假命题；

对于C，是全称命题，而，所以是假命题；

对于D，是全称命题，是真命题，

故选：D

9. 函数的零点落在的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据零点存在性定理判断即可.

【详解】因为，，，，，，

所以函数的零点落在区间上.

故选：B.

第Ⅱ卷（共105分）

二､填空题（每小题5分，（共30分）

10. 函数，则的值是__________．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】先求得，再代入求解.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

故答案为：

11. 函数的定义域为__________．

【答案】

【解析】

【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围．

【详解】由题意，解得且，所以定义域为．

故答案：．

12. 曲线在点处的切线方程为____.

【答案】

【解析】

【分析】对函数求导，可求出，又点在曲线上，结合导数的几何意义，可求出切线方程.

【详解】由题意，，

因为，所以，

故曲线在点处的切线方程为.

故答案为：.

【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

13. 化简____________

【答案】2

【解析】

【分析】结合、换底公式化简计算即可

【详解】原式

.

故答案为：2.

14. 函数的最大值是___________.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】根据二次函数的单调性求最值即可.

【详解】二次函数在上单调递增，上单调递减，所以当时取得最大值，最大值为.

故答案为：.

15. 已知是偶函数，且在上单调递减，，则的解集是________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，由是偶函数推得的图象关于直线对称，进而分析可得在上单调递增，结合函数的特殊值分析，利用单调性，将不等式进行转化，列出等价的不等式，求解即可.

【详解】因为是偶函数，

所以的图象关于y轴对称，

所以的图象关于直线对称，

因为在上单调递减，

所以在上单调递增．

由，可得，

所以由可得，或，

解得．

所以的解集是．

故答案为：.

【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数图象及性质以及函数的单调性，考查了数形结合思想和化归与转化思想，属于中档题.

三､解答题（共5题，共75分）

16. 已知全集，集合，，．

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）或

【解析】

【分析】（1）分别求出集合与,然后将和集合取交集即可;

（2）先求出,再由,可分和两种情况讨论,可求出的取值范围.

详解】（1）由题意,,解得,

即集合,则或,

又,所以;

（2）,,

若,则,解得;

若,则,解得.

故的取值范围是或.

【点睛】本题考查了集合间的交集、并集和补集的运算,考查了不等式的解法,考查了集合间的包含关系,考查了学生的运算求解能力,属于中档题.

17. 已知角α的终边经过点P.

（1）求sinα的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

分析】（1）由正弦函数定义计算；

（2）由诱导公式，商数关系变形化简，由余弦函数定义计算代入可得.

【详解】（1）因为点P，

所以|OP|=1，sinα=.

（2）

由三角函数定义知cosα=，故所求式子的值为．

18. 若函数的定义域为，求实数的取值范围.

【答案】.

【解析】

【分析】由f（x）的定义域为R，转化为不等式kx2﹣6kx+k+8≥0，恒成立，利用判别式法求解.

【详解】∵f（x）的定义域为R，

∴不等式kx2﹣6kx+k+8≥0的解集为R.

①k＝0时，80恒成立，满足题意；

②k≠0时，则，

解得0＜k≤1.

综上，实数k的取值范围为[0，1].

19. 已知函数,

（1）求函数的单调区间;

（2）求函数的极值;

（3）若任意,不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）单调增区间为单调减区间为；

（2）极小值为，极大值为；

（3）[2,+∞）

【解析】

【分析】

【详解】试题分析：（1）先求出的定义域，然后求，再分别令去求单调区间；（2）根据（1）的单调性可求函数的极值，（3）由题意知，恒成立，整理得，然后构造函数，求其最大值即可．

试题解析：（1）定义域为R．

令， 令

令，得，

，得

所以函数的单调增区间为单调减区间为

（2）由（1）可知，当时，函数取得极小值，函数的极小值为

当时，函数取得极大值，函数的极大值为

（3）若,不等式恒成立，即对于任意,不等式恒成立，

设，，则

，恒成立，

在区间上单调递增，

∴的取值范围是[2,+∞）

考点：利用求函数的极值、单调区间，利用参变量分离、构造函数求参数的取值范围．

20. 已知函数.

（1）若是的极值点，求的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.

【答案】（1）1    （2）答案见解析   

（3）.

【解析】

【分析】（1）由题意，求导得，然后根据，即可得到结果；

（2）由题意，求导得，然后分与两种情况讨论，即可得到结果；

（3）由题意，构造函数，将函数零点问题转化为两个图像交点问题，结合图像即可得到结果.

【小问1详解】

因为

则，即，所以，经检验符合题意

【小问2详解】

，则.

当时，，在上单调递增；

当时，由，得，

若，则；若，则.

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的增区间为；

当时，函数的增区间为，减区间为.

【小问3详解】

当时，由可得，令，其中，

则直线与函数在上的图像有两个交点，

，当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减.

所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数在上的图像有两个交点，