天津市新华中学2024-2025学年高三上学期开学测试数学试卷（解析版）

这是一份天津市新华中学2024-2025学年高三上学期开学测试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再根据交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：A.
2. 已知命题，总有，则为（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ，总有D. ，总有
【答案】B
【解析】
【分析】直接写出命题的否定即可.
【详解】因为，总有，则为，使得
故选:B
3. 设、，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】设，分析函数在上的单调性，结合函数的单调性以及充分条件、必要条件判断可得出合适的选项.
【详解】设，则函数在、上均为增函数，
又因为函数在上连续，故函数在上单调递增，
若，则，即；
若，则，可得.
因此，“”是“”的充要条件.
故选：C.
4. 设函数，则函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据函数的奇偶性和函数值特征进行鉴别即可解决.
【详解】函数的定义域为
则为偶函数，图像关于y轴轴对称，排除选项AC；
又，则排除选项D.
故选：B
5. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，因为，，
则，则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
6. 已知角终边经过点，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式化简，再进行弦化切代入即可.
【详解】
因为角的终边经过点，则，则，
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. 25B. 5C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
8. 已知，，，则的大小关系为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】，
，
，故，
所以．
故选A．
【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．
9. 设函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分段函数单调性及一次函数，二次函数的单调性计算即可.
【详解】由题意可得：，
故实数的取值范围是.
故选：A.
10. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案.
【详解】因数满足.
所以的图象关于对称.
因为函数对任意，且，都有成立，
所以在上为增函数.
又因为的图象关于对称，，
所以在为减函数，且.
用折线图表示函数的单调性，如图所示：
由图知：.
故选：D.
11. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 2025
【答案】C
【解析】
【分析】由函数奇偶性，确定为周期函数，再结合，求得，即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称，
又为偶函数，所以关于直线对称，
所以为周期函数且周期，
∴，∵，∴，∴.
故选:C．
12. 设函数若方程恰有2个实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简，进行参变分离，求出，画出图像根据图像得出结论.
【详解】化简得
当时，设
∴，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
，且当时， ；
当时，设
易知函数在分别单调递减，
画出函数图像

根据图像可得.
故选：D.
【点睛】本题采取的是数形结合的思想，在进行分离变量的时候要探讨参数的取值范围.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 已知集合A={x∈R||x+2|<3}，集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}，且A∩B=(-1，n)，则m+n=________.
【答案】0
【解析】
【分析】
解绝对值不等式求出集合A，由A∩B的结果得m的范围，解一元二次不等式求出集合B即可求得A∩B从而求得n.
【详解】A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|5由A∩B=(1，n)得m<1，
则B={x|m所以m+n=0.
故答案为：0
【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及绝对值不等式、一元二次不等式，属于基础题.
14. =_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算以及指数运算求解即可.
【详解】，，
原式
故答案为：
15. 函数的单调递减区间为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的定义域，确定由复合而成，判断这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数，
令，则，
则即由复合而成，
由于在上单调递减，
故要求函数的单调递减区间，
即求的单调递增区间，
而的对称轴为，
则的单调递增区间为，
则函数的单调递减区间为，
故答案为：
16. 已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
函数求导，由切线方程可得，再利用基本不等式求得最值.
【详解】的导数为，
由切线的方程可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为，切点为，
代入，得，
为正实数，
则，
当且仅当，即时，取得最小值.
故答案为：
【点睛】本题考查导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题.
17. 已知，当取到最小值时，___________．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】先将化为，再结合基本不等式即可求出最小值及此时的值.
【详解】知，当取到最小值时，
由题意知：
，
当且仅当，即时取等，
故当取到最小值时，.
故答案为：.
18. 设函数是定义在R上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性求得函数的解析式，然后根据函数的单调性列出不等式，转化为最值问题，即可求得结果.
【详解】设，则，因为当时，，则，
且函数是定义在R上的奇函数，则
所以，则．
因此，原不等式等价于．
因为在R上是增函数，所以，即．
又，所以当时，取得最大值．
因此，，解得．
故a的取值范围是．
故答案为:
三、解答题（本大题共2小题，共28分）
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求的零点个数.
（3）在区间上有两个零点，求的范围?
【答案】（1）的单调减区间为：；单调增区间为：，
（2）1个 （3）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；
（2）结合(1)问单调性，求出函数的值域，结合零点存在定理即可求解.
（3）将零点问题转化为函数交点问题，求出在区间上的值域即可求解.
【小问1详解】
由题可得：，
令，解得：或，
令f'x<0，解得：；
令，解得：或；
所以的单调减区间为：；单调增区间为：，
【小问2详解】
因为单调减区间为：；单调增区间为：，，
由于，则在上无零点；
由于，则在上无零点；
由于，则在上存在唯一零点；
综上，函数在上存在唯一零点.
【小问3详解】
若在区间上有两个零点，则函数与在区间上有两个交点；
由(1)知，在上单调递增，上单调递减；
，，，
所以函数与在区间上有两个交点，则，
即在区间上有两个零点，则的范围为
20. 已知函数，，其中．
（1）若，求实数a的值
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导可得f'x，由代入计算，即可求解；
（2）求导可得，然后分讨论，即可求解；
（3）根据题意，由分离参数可得，然后构造函数求导得最值即可得到结果.
【小问1详解】
因为，则，
由可得，解得.
【小问2详解】
函数的定义域为0,+∞，
且，
当时，令，可得或，
①当，即时，
对任意的，，的单调递增区间为0,+∞．
②当，即时，
，得或，，得，
的单调递增区间为和，单调递减区间为
③当，即时
，得或；，得，
的单调递增区间为0,2和，单调递减区间为，
综上所述，时，函数的单调增区间为0,+∞；
时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
时，函数的单调增区间为0,2和，单调减区间为.
【小问3详解】
由，可得，即，其中，
令，，
若存在，不等式成立，则，，
，令，得，
当时，，当时，，
所以函数hx在上递增，在上递减，
所以函数hx在端点或处取得最小值．
因为，，所以，
所以，所以，
因此，实数的取值范围是．