2010年杭州市中考数学试卷与答案

2010年浙江省杭州市中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．计算（﹣1）2+（﹣1）3=（　　）        

 A．﹣2    B．﹣1   C．0    D．2

2．4的平方根是（　　）                  

 A．±2     B．2     C．﹣2   D．16

3．方程x2+x﹣1=0的根是（　　）          

A．1﹣ B． C．﹣1+ D．

4．“a是实数，|a|≥0”这一事件是（　　）

A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件

5．若一个所有棱长相等的三棱柱，它的主视图和俯视图分别是正方形和正三角形，则左视图是（　　）

A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．正三角形

6．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（　　）

A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差

7．如图，5个圆的圆心在同一条直线上，且互相相切，若大圆直径是12，4个小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为（　　）                     

 A．48π  B．24π  C．12π D．6π

8．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（　　）                

A．30°   B．35°  C．40°   D．50°

9．已知a，b为实数，则解可以为﹣2＜x＜2的不等式组是（　　）

A．    B．    C．   D．

10．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：

①当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；

②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；

③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；

④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（　　）

A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．至2009年末，杭州市参加基本养老保险约有3 422 000人，用科学记数法表示应为　　人．

12．分解因式：m3﹣4m=　　．

13．如图，已知∠1=∠2=∠3=62°，则∠4=　　度．

14．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要　　位．

15．先化简﹣（﹣），再求得它的近似值为　　（精确到0.01，≈1.414，≈1.732）．

16．如图，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°．O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则CG=　　．

三、解答题

17．（6分）常用的确定物体位置的方法有两种．如图，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两点．请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置．

18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8），点B（6，8）．

（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边的距离相等．

（2）在（1）作出点P后，写出点P的坐标．

19．（6分）给出下列命题：

命题1：点（1，1）是直线y=x与双曲线y=的一个交点；

命题2：点（2，4）是直线y=2x与双曲线y=的一个交点；

命题3：点（3，9）是直线y=3x与双曲线y=的一个交点；

（1）请观察上面命题，猜想出命题n（n是正整数）；（2）证明你猜想的命题n是正确．

20．（8分）统计2010年上海世博会前20天日参观人数，得到如下频数分布表和频数分布直方图（部分未完成）：

上海世博会前20天日参观人数的频数分布表：

（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；

（2）求出日参观人数不低于22万的天数和所占的百分比；

（3）利用以上信息，试估计上海世博会（会期184天）的参观总人数．

21．（8分）已知直四棱柱的底面是边长为a的正方形，高为h，体积为V，表面积等于S．

（1）当a=2，h=3时，分别求V和S；

（2）当V=12，S=32时，求+的值．

22．（10分）如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．

（1）求证：△ABD∽△CAE；

（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长．

23．（10分）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米．

（1）说明本次台风是否会影响B市；（2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间．

24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y=+1，点C的坐标为（﹣4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上．（1）写出点M的坐标；（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．

①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；

②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值．

2010年浙江省杭州市中考数学试卷答案

1． C．2． A．3． D．4． A．5． A．6． C．7． B．8． C．9． D．10． B．

11． 3.422×106．12． m（m﹣2）（m+2）．13． 118°．14． 4．15． 5.20

16． 3+3．

三、17．解：方法1：用有序实数对（a，b）表示．

比如：以点A为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，则B（3，3）．

方法2：用方向和距离表示．

比如：B点位于A点的东北方向（北偏东45°等均可），距离A点3处．

18．解：（1）作图如右，点P即为所求作的点．

（2）设AB的中垂线交AB于E，交x轴于F，

由作图可得，EF⊥AB，EF⊥x轴，且OF=3，

∵OP是坐标轴的角平分线，

∴P（3，3），

同理可得：P（3，﹣3），

综上所述：符合题意的点的坐标为：（3，3），（3，﹣3）．

19．解：（1）命题n：点（n，n2）是直线y=nx与双曲线y=的一个交点（n是正整数）；

（2）把代入y=nx，左边=n2，右边=n•n=n2，

∵左边=右边，

∴点（n，n2）在直线上．

同理可证：点（n，n2）在双曲线上，

∴点（n，n2）是直线y=nx与双曲线y=的一个交点，命题正确．

20．解：（1）（14.5+21.5）÷2=18，

1﹣0.25﹣0.3﹣0.3=0.15，

上海世博会前20天日参观人数的频数分布表：

频数分布表，频数分布直方图；

（2）依题意得，日参观人数不低于22万有6+3=9天，

所占百分比为9÷20=45%；

（3）∵世博会前20天的平均每天参观人数约为==20.45（万人），

∴上海世博会（会期184天）的参观总人数约为20.45×184=3762.8（万人）．

21．解：（1）当a=2，h=3时，

V=a2h=12；

S=2a2+4ah=32；

（2）∵a2h=12，2a（a+2h）=32，

∴h=，a+2h=，

∴+===．

22．（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，

∴∠DBA=∠CAE，

又∵==3，∴△ABD∽△CAE；

（2）连接BC，

解：∵AB=3AC=3BD，AD=2BD，∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，∴∠D=90°，

由（1）得△ABD∽△CAE∴∠E=∠D=90°，

∵AE=BD，EC=AD=BD，AB=3BD，∴在Rt△BCE中，BC2=（AB+AE）2+EC2

=（3BD+BD）2+（BD）2=BD2=12a2，∴BC=2a．（6分）

23．解：（1）作BH⊥PQ于点H．

在Rt△BHP中，由条件知，PB=480，∠BPQ=75°﹣45°=30°，

∴BH=480sin30°=240＜260，∴本次台风会影响B市．

（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．

由（1）得BH=240，由条件得BP1=BP2=260，

∴P1P2=2=200，

∴台风影响的时间t==5（小时）．

故B市受台风影响的时间为5小时．

24．解：（1）∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB=OC=4，

∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，

∴A，B的横坐标分别是2和﹣2，

代入y=+1得，A（2，2），B（﹣2，2），

∴M（0，2），

（2）①过点Q作QH⊥x轴，连接MC．

∵CM∥PQ，

∴∠QPC=∠MCO，

∵∠COM=∠PHQ=90°，

∴△HQP∽△OMC，

设垂足为H，则HQ=y，HP=x﹣t，

由△HQP∽△OMC，得：=，即：t=x﹣2y，

∵Q（x，y）在y=+1上，

∴t=﹣+x﹣2．

当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t=﹣4，解得x=1±，

当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x=±2

∴x的取值范围是x≠1±，且x≠±2的所有实数；

②分两种情况讨论：

（1）当CM＞PQ时，则点P在线段OC上，

∵CM∥PQ，CM=2PQ，∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2=2（+1），解得x=0，

∴t=﹣+0﹣2=﹣2；

（2）当CM＜PQ时，则点P在OC的延长线上，

∵CM∥PQ，CM=PQ，∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2×2，

解得：x=±2；（2分）

当x=﹣2时，得t=﹣﹣2﹣2=﹣8﹣2，

当x=2时，得t=2﹣8．