2022-2023学年广东省江门市台山市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省江门市台山市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

2.  如图，延长正方形的一边至，使，连接交于，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为(    )

A.
B.
C.
D. 无法计算

4.  如图所示，在中，，，垂直平分斜边，交于，是垂足，连接若，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  将直线向上平移两个单位，所得的直线是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知一组数据：，，，，的平均数是，那么这组数据的方差是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在▱中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后结果如表，某同学分析表中数据得出如下结论：甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数每分钟输入汉字个为优秀；甲班成绩的波动情况比乙班成绩的波动小上述结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，直线与轴、轴交于、两点，的平分线所在的直线的解析式是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，若，，则下列结论：
，；
≌；
四边形是菱形；
：：．
其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  比较大小：______填“”，“”，“”号

12.  已知一次函数，若，则的最小值是______．

13.  若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是______写出一个符合条件的即可．

14.  如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，，过，两点作直线交于点，则的长是______．

15.  若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
已知与成正比，且当时，．
求与之间的函数关系式；
若点在这个函数图象上，求的值．

18.  本小题分
如图，过点的直线：与直线：交于．
求直线对应的表达式；
求四边形的面积．

19.  本小题分
如图，以一边为直角边构造，且，，，．
求证：为直角三角形．
若点为上一动点，连接，，求最小值．

20.  本小题分
电子政务、数字经济、智慧社会一场数字革命正在神州大地激荡、在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如图统计图表不完整．

请观察上面的图表，解答下列问题：
统计表中 ______ ；统计图中 ______ ，组的圆心角是______ 度
组的名学生中，有名男生和名女生从组随机抽取名学生参加体验活动，请你画出树状图或用列表法求；
恰好名男生和名女生被抽取参加体验活动的概率；
至少名女生被抽取参加体验活动的概率．

21.  本小题分
如图，▱对角线，相交于点，过点作且，连接，，．
求证：▱是菱形；
若，，求的长．
 

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，三点，点在轴上方，点在轴正半轴上，且，连接，，已知．
求直线的表达式；
求点的坐标；
在线段，上分别取点，，使得轴，在轴上取一点，连接，，，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

23.  本小题分
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，显然，，请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：______，______，______，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】如图，河道上，两点看作直线上的两点相距米，，为两个菜园看作两个点，，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为______米．
【知识迁移】借助上面的思考过程，求代数式的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：


，
，
，即，
的值应在和之间．
故选：．
利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．
本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．

2.【答案】 

【解析】解：是正方形的对角线，
，
，
又
，
；
故选A．
根据正方形的对角线的性质，可得，进而可得的大小，再根据三角形外角定理，结合，易得，再由三角形外角定理可得的大小．
此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质．

3.【答案】 

【解析】解：在中，，
由勾股定理得，，
正方形和正方形的面积和为，
故选：．
根据勾股定理得，从而得出答案．
本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
垂直平分斜边，
，
，
，
在中，，，，
，
由勾股定理得：，
在中，，，，
，
故选：．
求出，根据线段垂直平分线的性质求出，推出，求出，即可求出、，根据含角的直角三角形性质求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出的长．

5.【答案】 

【解析】解：原直线的，；向上平移两个单位得到了新直线，
那么新直线的，．
新直线的解析式为．
故选A．
平移时的值不变，只有发生变化．
求直线平移后的解析式时要注意平移时和的值发生变化．

6.【答案】 

【解析】解：数据：，，，，的平均数是，
，
解得，
这组数据的方差是：
；
故选：．
先根据平均数求出的值，再根据方差公式列出算式，进行计算即可求出这组数据的方差．
此题考查了方差，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，关键是根据平均数求出的值．

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，
，，，
是等边三角形，
，
的周长，
故选：．
由平行四边形的性质可得，，与折叠的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，即可求解．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是本题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：表中甲乙两班的参赛同学的平均数相同，甲、乙两班学生成绩的平均水平相同，则选项正确；
甲乙两班参赛人数相等，而乙班的中位数大于甲班的中位数，且乙班的中位数为，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数，则选项正确；
甲班的方差数大于乙班的方差数，方差越大，数据的波动越大，
甲班成绩的波动情况比乙班大，则选项错误．
故选：．
在题目中，通常用样本平均数去估计总体平均数，结合表格中的数据相信你能判断的正误；
对于，中位数是一组按照从小到大依次排列的数据中处在最中间的一个数据或最中间两个数据的平均数，所以乙班同学中成绩高于分数的人数多于甲班，据此即可判断；
方差是用来衡量一组数据的波动大小，方差越大，说明这组数据的波动越大．
本题考查的知识点是方差，解题的关键是熟练的掌握方差．

9.【答案】 

【解析】解：对于直线，
令，求出；令求出，
，，即，，
根据勾股定理得：，
在轴上取一点，使，连接，
为的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，
在中，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，即，
设直线解析式为，
将与坐标代入得：，
解得：，
则直线解析式为．
故选：．
对于已知直线，分别令与为求出对应与的值，确定出与的坐标，在轴上取一点，使，连接，由为的平分线，得到，利用得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，设，可得出，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出坐标，设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，即可确定出直线解析式．
此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是矩形，
，、互相平分，
为中点，
也过点，
，
，，
是等边三角形，
，，
在与中，

≌，
与关于直线对称，
，；
正确，
≌，
，，，
，
是等边三角形，
，
在和中，

，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故正确，
≌≌，
≌B错误．
错误，
，，
，由勾股定理得，，
，由勾股定理得，，，
，
，
：：，
正确；
故选：．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理等的知识．

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
本题考查了实数的大小比较法则和二次根式的性质，能选择适当的方法比较大小是解此题的关键．

12.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数，属于基础题．
根据一次函数的性质得出其增减性，进而解答即可．
【解答】
解：一次函数，
随的增大而减小，
，
当时，的最小值是，
故答案为：

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
直接利用二次根式的性质得出符合题意的答案．
此题主要考查了二次根式的乘除法，正确掌握二次根式的性质是解题关键．

14.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，，，
，
由作法得垂直平分，
，
设，则，
在中，，解得，
即的长为．
故答案为：．
连接，如图，先利用勾股定理计算出，利用基本作图得到垂直平分，所以，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

15.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象不经过第二象限，
且，
解得，
的取值范围是．
故答案为：．
由一次函数的图象不经过第二象限可以得到，，由此即可求出的取值范围．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．

16.【答案】解：原式

． 

【解析】先进行二次根式的除法运算，然后化简二次根式后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．

17.【答案】解：设，
把，代入得：，
解得：，
则该函数关系式为：；
点在函数图象上，
，
． 

【解析】根据题意设，把，代入求出的值，即可确定出与的函数关系式；
把代入函数解析式求出的值即可．
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

18.【答案】解：把代入得，
则点坐标为；
把，代入得，解得，
所以直线的表达式为；
交轴于，交轴于，
，，
四边形的面积． 

【解析】先把代入求出得到点坐标为，然后把点，代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值即可得到直线的表达式；
根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．

19.【答案】证明：，，
，
，
，，
，
，
为直角三角形；
解：延长至，使得，连接，，过点作于点，如图，

则，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
当、、三点共线时，取最小值为，
最小值为． 

【解析】根据勾股定理的逆定理进行证明便可；
延长至，使得，连接，，过点作于点，则，，，，所以，当、、三点共线时，取最小值为，求出此时的便可．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，两点之间线段最短性质，关键是确定的最小是．

20.【答案】     

【解析】解：被调查的总人数为，
则，
，即，
组的圆心角是，
故答案为：、、；
设男同学标记为、；女学生标记为、，可能出现的所有结果列表如下：

共有  种可能的结果，且每种的可能性相同，其中刚好抽到一男一女的结果有种，
恰好名男生和名女生被抽取参加体验活动的概率为；
至少名女生被抽取参加体验活动的有种结果，
至少名女生被抽取参加体验活动的概率为．
先根据组人数及其所占百分比求出总人数，由各组人数之和等于总人数求出组人数的值，用乘以组人数所占比例可得；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题考查了频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率．

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形，
，
，
▱是菱形；
解：四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由可知，四边形是矩形，
，，
，
即的长为：． 

【解析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论；
证是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解决问题．

22.【答案】解：将点，代入，
得，
解得，
线段的表达式；
已知，且点在轴正半轴上，
点，，
，
设点的坐标为，如解图，过点作轴的垂线交轴于点，则，
，
即，
解得，
点的坐标为；
存在，点的坐标为或，设直线的表达式为，
将点，代入，
得，
解得，
直线的表达式．
已知点在线段：上，设点的坐标为，则，
轴，且点在上，
将代入，
得，，
解得．
点的坐标为，
分三种情况讨论：

如解图，当为直角顶点时，点的坐标为
，
，
解得：，
点的坐标为 ，
如解图，当为直角顶点时，点的坐标与中情况相同；
如解图，当为直角顶点时，，，过点作轴，交于点，易得点为的中点，且，点的坐标为，
，
，
，
解得，
，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或． 

【解析】利用待定系数法求直线的解析式；
根据三角形面积公式得到到的距离等于点到的距离的倍，即点的纵坐标为，然后利用直线的解析式计算函数值为所对应的自变量的值，从而得到点坐标．
先求出直线的表达式，再求出点的坐标为，分情况讨论即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数的性质，解题关键是分情况进行讨论．

23.【答案】解：【小试牛刀】，，，．
【知识运用】．
【知识迁移】
如图所示：

先作出点关于的对称点，连接，使，，，
设，则，
在中，．
在中，．
当，，三点共线时，最短，即最小，
作交的延长线于．
在中，
，，
．
最小值为． 

【解析】【小试牛刀】：根据梯形的面积公式，三角形面积公式计算即可解决问题．
【知识运用】：作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求．
【知识迁移】：先作出点关于的对称点，连接，使，，，的长就是代数式的最小值，
本题考查轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：【小试牛刀】：，，，则它们满足的关系式为，
故答案为：，，，．
【知识运用】：作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求．

作交的延长线于．
在中，米，米，
米．
故答案为：．
【知识迁移】见答案．